重視角在解三角函數題中的作用

文/薛存義

摘 要：三角函數是高考數學中的一個重要知識點，它有其自身的特殊性，角的應用會對解三角函數題起到積極作用。

關鍵詞：三角函數；角；例題

三角函數在江蘇高考中占到了很大的分值，而由于三角函數公式繁多，學生記憶比較困難，就更不用提靈活運用公式去處理題目。今天筆者希望能夠通過一些題目，提供關于三角函數的學習方法。

因為三角函數是一個特殊的函數，也就是說它既具有三角函數的特性，也具有函數的性質。而三角函數區別于其他的函數就在于它的自變量是角，所以求解三角函數的題目時可以抓住“角”，以此來把握解三角函數題的思路，靈活運用公式。下面通過幾個例題從不同的側面來闡述重視角的作用對解題的好處。

例1.設sin（■+α）=■，求sin2α。

思路一：運用兩角和的正弦公式對sin（■+θ）=■展開，求出sinα+cosα=■，然后再兩邊平方，抓住sin2α+cos2α=1，求出2sinα cosα=-■，即sin2α=-■。

解：sin（■+α）=sin■cosα+cos■sinα=■，得sinα+cosα=■，（sinα+cosα）2=sin2α+2sinα cosα+cos2α=■，得2sinα cosα=

-■，即sin2α=-■。

思路二：通過觀察已知角和未知角之間的關系，發現已知角■+α的兩倍減去■等于未知角2α，再運用誘導公式和二倍角公式直接解題。

解：sin2α=sin［2（■+α）-■］=-2cos2（■+α）=-［1-2sin2（■+α）］=-■。

點評：這題思路一和思路二都可以將題目解出來，但是從思路二的解題過程，可以清晰地發現這道題目使用的公式，使我們用公式更加有的放矢。

例2.（2012年江蘇高考題）設α為銳角，若cos（■+α）=■，求sin（2α+■）。

思路一：運用兩角和的余弦公式，求出■cosα-■sinα=■，再與sin2α+cos2α=1聯立方程組，求出sinα和cosα，進而求出sin2α和cos2α，再利用兩角和的正弦公式求出sin（2α+■）。

思路二：通過觀察，發現已知角■+α與未知角2α+■滿足2（■+α）-（2α+■）=■，所以sin（2α+■）=sin［2（■+α）-■］=sin2（■+α）cos■+cos2（■+α）sin■=■sin2（■+α）+■cos2（■+α），所以現在只要求到sin2（■+α）和cos2（■+α）即可。此時，sin2（■+α）=2sin（■+α）cos（■+α），只需要求到sin（■+α），而sin（■+α）和cos（■+α）滿足同角三角函數直接的關系；對于cos2（■+α）可運用二倍角公式cos2（■+α）=2cos2（■+α）-1求得。

點評：思路一，從理論上講是可行的，但在解■cosα-■sinα=■與sin2α+cos2α=1形成的方程組時，發現運算量很大，根本無法很快求出sinα和cosα，更加不要說求出sin2α和cos2α了。但如果運用思路二，就可以很清晰地求出函數的值，而且運算量也不是很大，同時也可以有的放矢地使用公式。

從上述兩道例題，可以清晰地看出通過觀察已知角和未知角直接的關系去求解三角函數題，不僅可以簡化計算，而且可以使我們更靈活地運用公式。所以，在解三角函數題時要重視角的作用。

編輯 董慧紅

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摘 要：三角函數是高考數學中的一個重要知識點，它有其自身的特殊性，角的應用會對解三角函數題起到積極作用。

關鍵詞：三角函數；角；例題

三角函數在江蘇高考中占到了很大的分值，而由于三角函數公式繁多，學生記憶比較困難，就更不用提靈活運用公式去處理題目。今天筆者希望能夠通過一些題目，提供關于三角函數的學習方法。

因為三角函數是一個特殊的函數，也就是說它既具有三角函數的特性，也具有函數的性質。而三角函數區別于其他的函數就在于它的自變量是角，所以求解三角函數的題目時可以抓住“角”，以此來把握解三角函數題的思路，靈活運用公式。下面通過幾個例題從不同的側面來闡述重視角的作用對解題的好處。

例1.設sin（■+α）=■，求sin2α。

思路一：運用兩角和的正弦公式對sin（■+θ）=■展開，求出sinα+cosα=■，然后再兩邊平方，抓住sin2α+cos2α=1，求出2sinα cosα=-■，即sin2α=-■。

解：sin（■+α）=sin■cosα+cos■sinα=■，得sinα+cosα=■，（sinα+cosα）2=sin2α+2sinα cosα+cos2α=■，得2sinα cosα=

-■，即sin2α=-■。

思路二：通過觀察已知角和未知角之間的關系，發現已知角■+α的兩倍減去■等于未知角2α，再運用誘導公式和二倍角公式直接解題。

解：sin2α=sin［2（■+α）-■］=-2cos2（■+α）=-［1-2sin2（■+α）］=-■。

點評：這題思路一和思路二都可以將題目解出來，但是從思路二的解題過程，可以清晰地發現這道題目使用的公式，使我們用公式更加有的放矢。

例2.（2012年江蘇高考題）設α為銳角，若cos（■+α）=■，求sin（2α+■）。

思路一：運用兩角和的余弦公式，求出■cosα-■sinα=■，再與sin2α+cos2α=1聯立方程組，求出sinα和cosα，進而求出sin2α和cos2α，再利用兩角和的正弦公式求出sin（2α+■）。

思路二：通過觀察，發現已知角■+α與未知角2α+■滿足2（■+α）-（2α+■）=■，所以sin（2α+■）=sin［2（■+α）-■］=sin2（■+α）cos■+cos2（■+α）sin■=■sin2（■+α）+■cos2（■+α），所以現在只要求到sin2（■+α）和cos2（■+α）即可。此時，sin2（■+α）=2sin（■+α）cos（■+α），只需要求到sin（■+α），而sin（■+α）和cos（■+α）滿足同角三角函數直接的關系；對于cos2（■+α）可運用二倍角公式cos2（■+α）=2cos2（■+α）-1求得。

點評：思路一，從理論上講是可行的，但在解■cosα-■sinα=■與sin2α+cos2α=1形成的方程組時，發現運算量很大，根本無法很快求出sinα和cosα，更加不要說求出sin2α和cos2α了。但如果運用思路二，就可以很清晰地求出函數的值，而且運算量也不是很大，同時也可以有的放矢地使用公式。

從上述兩道例題，可以清晰地看出通過觀察已知角和未知角直接的關系去求解三角函數題，不僅可以簡化計算，而且可以使我們更靈活地運用公式。所以，在解三角函數題時要重視角的作用。

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摘 要：三角函數是高考數學中的一個重要知識點，它有其自身的特殊性，角的應用會對解三角函數題起到積極作用。

關鍵詞：三角函數；角；例題

三角函數在江蘇高考中占到了很大的分值，而由于三角函數公式繁多，學生記憶比較困難，就更不用提靈活運用公式去處理題目。今天筆者希望能夠通過一些題目，提供關于三角函數的學習方法。

因為三角函數是一個特殊的函數，也就是說它既具有三角函數的特性，也具有函數的性質。而三角函數區別于其他的函數就在于它的自變量是角，所以求解三角函數的題目時可以抓住“角”，以此來把握解三角函數題的思路，靈活運用公式。下面通過幾個例題從不同的側面來闡述重視角的作用對解題的好處。

例1.設sin（■+α）=■，求sin2α。

思路一：運用兩角和的正弦公式對sin（■+θ）=■展開，求出sinα+cosα=■，然后再兩邊平方，抓住sin2α+cos2α=1，求出2sinα cosα=-■，即sin2α=-■。

解：sin（■+α）=sin■cosα+cos■sinα=■，得sinα+cosα=■，（sinα+cosα）2=sin2α+2sinα cosα+cos2α=■，得2sinα cosα=

-■，即sin2α=-■。

思路二：通過觀察已知角和未知角之間的關系，發現已知角■+α的兩倍減去■等于未知角2α，再運用誘導公式和二倍角公式直接解題。

解：sin2α=sin［2（■+α）-■］=-2cos2（■+α）=-［1-2sin2（■+α）］=-■。

點評：這題思路一和思路二都可以將題目解出來，但是從思路二的解題過程，可以清晰地發現這道題目使用的公式，使我們用公式更加有的放矢。

例2.（2012年江蘇高考題）設α為銳角，若cos（■+α）=■，求sin（2α+■）。

思路一：運用兩角和的余弦公式，求出■cosα-■sinα=■，再與sin2α+cos2α=1聯立方程組，求出sinα和cosα，進而求出sin2α和cos2α，再利用兩角和的正弦公式求出sin（2α+■）。

思路二：通過觀察，發現已知角■+α與未知角2α+■滿足2（■+α）-（2α+■）=■，所以sin（2α+■）=sin［2（■+α）-■］=sin2（■+α）cos■+cos2（■+α）sin■=■sin2（■+α）+■cos2（■+α），所以現在只要求到sin2（■+α）和cos2（■+α）即可。此時，sin2（■+α）=2sin（■+α）cos（■+α），只需要求到sin（■+α），而sin（■+α）和cos（■+α）滿足同角三角函數直接的關系；對于cos2（■+α）可運用二倍角公式cos2（■+α）=2cos2（■+α）-1求得。

點評：思路一，從理論上講是可行的，但在解■cosα-■sinα=■與sin2α+cos2α=1形成的方程組時，發現運算量很大，根本無法很快求出sinα和cosα，更加不要說求出sin2α和cos2α了。但如果運用思路二，就可以很清晰地求出函數的值，而且運算量也不是很大，同時也可以有的放矢地使用公式。

從上述兩道例題，可以清晰地看出通過觀察已知角和未知角直接的關系去求解三角函數題，不僅可以簡化計算，而且可以使我們更靈活地運用公式。所以，在解三角函數題時要重視角的作用。

編輯 董慧紅

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