不同采樣頻率下的偽碼同步性能分析

賀岷玨　鄭小亮

【摘要】 針對無線通信系統中的偽碼同步問題，本文以滑動相關法為基礎，分析了在不同采樣頻率下實現同步時的信號檢測概率、虛警概率，同時結合克拉美羅限分析了采樣頻率對同步精度的影響。分析與仿真結果表明：增加采樣頻率可以提高信號的檢測概率；在高接收信噪比下可以縮小符號定時偏差，提高系統同步的精度。但當采樣頻率足夠高時，繼續提高采樣頻率獲得的性能提升很小，同時會增加信號處理的復雜度。因此，在無線通信系統中實現同步時，采樣頻率的選取需要在性能與復雜度上折中考慮。

【關鍵詞】 同步 采樣頻率 檢測概率 定時偏差

一、引言

數字信號的同步是進行后續解調的前提條件，是現代無線通信中的一個關鍵環節。其中偽碼同步的方法憑借其強大的抗干擾性被廣泛采用。偽碼同步的主要思想是通過偽隨機同步序列對期望信號的到達時間進行估計。現有的方法有：在滑動相關法的基礎上發展出來的廣義加權相關法[1]，相關譜時延估計[2]和自適應時延估計[3]；以及現代信號處理方法，如高階統計量分析[4]，時頻分析[5]，小波變換和模糊函數[6]等估計方法。此外，文獻[7]等還討論了干擾場景下的時延估計方法。

雖然目前業界對同步算法的研究已經很充分，但已有算法幾乎都是在基帶速率上實現的[1]～[7]，缺乏對信號過采樣時同步方法的討論與性能分析。針對這一問題，本文介紹了高采樣頻率下的同步方法，分析了不同采樣頻率對同步性能的影響，并給出了相應的建議。

本文其余部分安排如下：第二部分給出系統模型，第三部分進行理論分析，仿真結果與分析在第四部分給出。第五部分為本文結論。

二、系統模型

如圖1所示，本文采用通用的無線通信系統同步模型。發射端采用長度為L的偽碼作為同步序列，與用戶符號一起組幀，經過上采樣、低通濾波、上變頻，以及數模（DA）變換后得到發射信號s（t），其中上采樣的倍數為M。發射信號經過無線信道到達接收端后，接收端對接收信號r（t）進行模數（AD）變換，下變頻、濾波和下采樣，將本地存儲的同步序列與接收的過采樣信號進行滑動相關，通過檢測峰均比輸出同步位置。在下采樣過程中，通過改變下采樣倍數N來確定接收信號的過采樣率，較小的N值對應較高的過采樣率。

2.1 發射機

發射機將長度為L的同步序列置于長度為K的用戶數據塊前，形成幀結構的發射數據。其中同步序列用以向接收端提供時間，頻率和相位同步信息。信號經過上采樣、濾波處理后，進行上變頻以及DA變換，得到發射數據s（t）。其數學表達如式所示：

其中an表示數據幀中的第n個元素，T為一個數據符號的持續時間，g（t）表示成型濾波器的時域響應。

s（t）經過射頻處理后，饋入天線發射。

2.2 信道

考慮加性白高斯噪聲（AWGN）信道，其等效的低通沖激響應為：

則接收信號可表示為：

其中A表示信號的幅度衰減；τ為信號的傳輸時延；n（t）表示接收信號中疊加的高斯白噪聲。

2.3 接收機

接收機接收到信號后，首先對接收信號進行AD變換以及下變頻處理，然后通過低通濾波，以及下采樣模塊。如圖1所示，此時接收機獲得的是過采樣信號。接收機通過調節下采樣倍數N來改變接收信號的過采樣率ε，較小的N值對應較高的過采樣率。

將本地存儲的同步序列與上述過采樣信號進行滑動相關，通過檢測峰均比輸出同步位置，完成接收機的同步操作。

三、性能分析

3.1 檢測概率和虛警概率

假設收發雙方均采用根升余弦成型濾波器，將接收信號中期望信號的功率歸一化，則接收信號中期望信號相關值C與定時偏差的關系可寫為[8]：

其中R為根升余弦成型濾波器的滾降因子。

根據式可以得到，不同過采樣率下的期望信號相關值為：

其中M/N表示接收端過采樣的倍數，CM/N（）表示在M/N的過采樣率下，接收端相關峰C與定時偏差的關系。圖2描繪了R=0.2時，不同過采樣倍數下，接收端相關峰與定時偏差的關系。從圖中可以看出，隨著采樣率的增加，相關峰的峰值點有所降低。

結合公式，在加性高斯噪聲信道下，滑動相關器輸出結果模方Z的概率密度函數為[9]：

其中，H0表示接收同步序列與本地序列未對齊；H1表示接收同步序列與本地序列大概對齊，即符號定時偏差滿足∈[-Ts/2，Ts/2]，其中Ts表示采樣間隔；σ2為滑動相關器輸出中噪聲分量的功率；I0為0階修正貝塞爾函數。由此可以得到任意門限VT下的檢測概率PD：

結合式（7）、式（8），當采樣率較高時，Ts較小，式中的積分區域較小，結合圖2可以看出，此時檢測概率提高。此外，通過對比圖2中的三條曲線可以看出，隨著采樣率的增加，相關峰曲線的變化越來越小。同理，可以得到任意門限VT下的虛警概率Pf：

從式（9）可以看出，由于虛警概率只與噪聲功率有關，所以采樣頻率的改變不會對虛警概率造成影響。

3.2 同步定時偏差分析

同步定時的偏差主要來自兩個方面：隨機噪聲、時間量化誤差。

雖然額定工作點上的隨機噪聲是無法消除的，但其統計特性可以得到。根據文獻[10]的推導，AWGN信道下定時偏差的方差的克拉美羅限（CRLB）如下式所示：

其中N0為白噪聲的單邊功率譜密度，β2為信號的等效帶寬。

由于在采樣過程中采樣點之間存在時間間隔，采樣點通常都不是信噪比最大值點，采樣點與信噪比最大值點之間的時間偏差定義為時間量化誤差，即觀測誤差。時間量化誤差的降低可以通過減小采樣點之間時間間隔，即增加采樣率來實現。

綜上所述，同步定時偏差與接收信噪比、信號等效帶寬和采樣率有關。提高采樣率可以減小時間量化誤差，但同時也成倍的增加了接收端的運算量。

四、仿真結果與分析

本文利用Matlab仿真軟件對不同采樣頻率下的同步方法進行了仿真驗證。同步序列采用長度為512的偽隨機序列，發射端基帶速率為62.5MHz。接收端分別在62.5MSPS，125MSPS，250MSPS，500MSPS和1GSPS的采樣率上采用滑動相關法進行同步。其中門限設置滿足恒定虛警概率為0.001。

檢測概率的曲線如圖3所示。從圖中可以看到，檢測概率隨著采樣率的提高而增加，其中兩倍過采樣率可以帶來約1.5dB的增益；與兩倍過采樣率相比，四倍過采樣率帶來約0.2dB的增益；但在此基礎上繼續提升采樣率所帶來的增益已經不明顯。這與3.1節中的分析結果一致。

為方便分析，假設粗同步的定時偏差在區間[-T/2，T/2]上均勻分布。接下來分別給出四倍及以上的采樣率下，精同步定時偏差的仿真結果。本部分采用精同步后符號定時偏差的均方根值（RMS）來評價精同步性能。

從圖4可以看出，當接收碼片信噪比大于-13dB時，高采樣率下的定時偏差RMS值略小于低采樣率時的RMS值；但是當接收碼片信噪比為-15dB時，高采樣率下的定時偏差RMS值比低采樣率時的RMS值大。這是因為在低信噪比下噪聲較大，采樣率越高，精同步時比較的采樣點越多，誤判的幾率越大，因而其定時偏差RMS值越大。隨著信噪比的增加，采樣率高時的誤判幾率降低，同時由于采樣時間間隔更小，其定時偏差RMS值將比采樣率低時的RMS值小。

綜上所述，增加采樣頻率可以提高信號的檢測概率；在高接收信噪比下可以縮小符號定時偏差，提高系統同步的精度，但是，當采樣頻率足夠高時，繼續提高采樣頻率獲得的性能提升并不大，同時成倍的增加了接收端的運算量。所以綜合上述因素，在本文仿真條件下，若工作點為-11dB時，在四倍基帶的采樣速率下進行同步可以兼顧同步性能和處理復雜度。

五、結束語

考慮現代數字通信系統中的同步問題，本文從檢測概率和同步誤差性能的角度分析了不同采樣頻率對同步性能的影響，并進行了仿真驗證，分析與仿真結果表明提高采樣率可以提高同步性能，但同時會增加接收端的處理復雜度。此外，當采樣頻率足夠高時，繼續提高采樣頻率獲得的性能提升并不大。因此，在工程實現時，同步環節的采樣頻率選取需要在同步性能與復雜度上折中考慮。