中考復習函數型應用問題題型分析

吳金有

初中階段所學的函數主要有一次函數、正比例函數、二次函數、反比例函數，在解決函數問題的時候要注意每種函數的時候要注意各自的特點形式：

“靠近課本，貼近生活，聯系實際”是近年中考函數應用題編題原則，因此在廣泛的社會生活、經濟生活中，抽取靠近課本的數學模型是近年來中考的熱點問題，解決次類問題經常使用待定系法求解析問題，但這類問題蘊含有代入消元法等重要的數學思想方法，又極易與方程、不等式、幾何等初中數學中的重要知識相融合。

類型之一、分段函數應用題

分段函數是指自變量在不同的取值范圍內，其關系式（或圖象）也不同的函數，分段函數的應用題多設計成兩種情況以上，解答時需分段討論。在現實生活中存在著很多需分段計費的實際問題，因此，分段計算的應用題成了近幾年中考應用題的一種重要題型。

例1：2013年春節前夕，南方地區遭遇罕見的低溫雨雪冰凍天氣，贛南臍橙受災滯銷。為了減少果農的損失，政府部門出臺了相關補貼政策：采取每千克補貼0.2元的辦法補償果農。

下圖是“綠蔭”果園受災期間政府補助前、后臍橙銷售總收入y（萬元）與銷售量x（噸）的關系圖。請結合圖象回答以下問題：

（1）在出臺該項優惠政策前，臍橙的售價為每千克多少元？

（2）出臺該項優惠政策后，“綠蔭”果園將剩余臍橙按原售價打九折趕緊全部銷完，加上政府補貼共收入11.7萬元，求果園共銷售了多少噸臍橙？

（3）①求出臺該項優惠政策后y與x的函數關系式；②去年“綠蔭”果園銷售30噸，總收入為10.25萬元；若按今年的銷售方式，則至少要銷售多少噸臍橙？總收入能達到去年水平。

【分析】從函數圖象容易看出前面一段是出臺該項優惠政策前的情況，后面一段是出臺該項優惠政策后的情況，前面一段所有的量已經知道，容易求出該果園共銷售臍橙的重量，為后面一段的求值奠定了基礎。

（1）政策出臺前的臍橙售價為

；

（2）設剩余臍橙為x噸,則 103×（3×9+0.2）x=11.7×104

∴

該果園共銷售了10 +30 = 40噸臍橙 ；

（3）①設這個一次函數的解析式為y=mx+n(10≤x≤40)，

代入兩點（10，3）、（40，11.7）

得：

解得：函數關系式為y=0.29x+0.1(10≤x≤40)，

②令y≥10.25(萬元)，則10.25≤0.29x+0.1

解得x≥35（噸）

答：（1）原售價是3元/千克；（2）果園共銷售40噸臍橙；（3）①函數關系式為y=0.29x+0.1(10≤x≤40)；

②今年至少要銷售35噸，總收入才達到去年水平。

類型之二、與二次函數有關的最優化問題

二次函數是一描述現實世界變量之間關系的重要數學模型，二次函數在人們的生產、生活中有著廣泛的應用，求最大利潤、最大面積的例子就是它在最優化問題中的應用。

例2：枇杷是浙江名果之一，李大伯果園有100棵枇杷樹。每棵平均產量為40千克，現準備多種一些枇杷樹以提高產量，但是如果多種樹，那么樹與樹之間的距離和每一棵數接受的陽光就會減少，根據實踐經驗，每多種一棵樹，投產后果園中所有的枇杷樹平均每棵就會減少產量0.25千克，問：增種多少棵枇杷樹，投產后可以使果園枇杷的總產量最多？最多總產量是多少千克？

注：拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標是

【分析】先建立函數關系式，把它轉化為二次函數的一般形式，然后根據二次函數的頂點坐標公式進行求極值.

解：設增種x棵樹，果園的總產量為y千克，依題意得：y=(100 + x)(40 – 0.25x ) =4000 – 25x + 40 x – 0,25x2 = - 0.25 x2 + 15x + 4000

因為a= - 0.25<0，

所以當，

y有最大值

y最大值

答：增種30棵枇杷樹，投產后可以使果園枇杷的總產量最多，最多總產量是4225千克。

類型之三、存在探索性函數問題

存在型探索題是指在一定的前提下，需探索發現某種數學關系是否存在的題目。解存在性探索題先假設要探索的問題存在，繼而進行推導與計算，若得出矛盾或錯誤的結論，則不存在，反之即為所求的結論。探索性問題由于它的題型新穎、涉及面廣、綜合性強、難度較大，不僅能考查學生的數學基礎知識，而且能考查學生的創新意識以及發現問題、提出問題、分析問題并解決問題的能力，因而倍受關注。