隨機產出和需求下的定價與庫存控制研究綜述

王東紅

（1.北京交通大學 經濟管理學院，北京 100081；2.廣西財經學院 管理科學與工程學院，廣西 南寧 530003）

1 引言

現實生活中，由于受到市場環境的影響，對產品的需求往往具有很大的不確定性，因此，在供應鏈的生產、庫存和定價問題的研究中，更多的是考慮到需求的不確定性。但實際上，供應商的供應和生產商的生產能力或產出(Yield)的不確定性對庫存和定價問題的研究同樣有著重要的影響。因此，在過去的幾十年里，隨機產出也成為生產和庫存領域的一個重要研究對象，同時也是一個難點問題。產出的隨機性往往是由于一些難以預測的突發事件引發的，比如無法預料的自然災害、機器的損壞、經濟事件（例如工人罷工）、未計劃的設備維修導致的停產或系統故障等因素。Chopra和Sodhi(2004)，Serel(2008)討論了一些與產出隨機性相關的問題，并列舉了大量的現實例子。例如，在半導體和電子產品制造業中，由于產品制造過程和工藝特性使得某些電子產品的有效產量是具有隨機性的。又比如，一些農產品(蔬菜、瓜果等)，其生產種植和銷售都受到季節和天氣的嚴重影響，在投入一定農資數量的情況下，其產量卻是難以確定的。除此之外，采購全球化(Global Sourcing)趨勢引入了更多的不確定性因素，例如金融市場波動、訂貨提前期(lead-time)延長、各種可能的供貨延遲等，都無疑增加了供應和產出的不確定性。

傳統的庫存控制模型一般把需求率看成固定的常數，產出也是確定的，價格又是一個外生變量，這種類型的庫存決策模型沒有辦法真正解決實際中隨機環境下的庫存補貨策略和定價問題。近年來，許多學者對隨機環境下的庫存控制模型及定價問題作了大量的探索，因此，本文對這些研究進行一個詳細的綜述，通過對文獻的梳理，指出其中存在的問題，并提出進一步的研究方向，希望為該領域的研究提供參考。

2 隨機產出和需求下的定價與庫存控制

2.1 生產批量與庫存控制問題

在隨機供應（產出）的模型中，庫存管理者所訂購的數量無法完全確定地收到，而是收到一個依賴于訂單數量的隨機數量。Karlin(1958)最早建立了在隨機需求下考慮隨機供應的庫存模型。之后Shih(1980)，Noori和Keller(1986)，Lee和Yano(1988)均對該問題做了研究。大量的研究（例如：Parlar和Berkin(1991)，Parlar和Wang(1993)，Anupindi和Akella(1993),Gupta(1996)，Parlar和Perry(1996)，Parlar(1997)，Arifoglu和

（1）單周期生產和庫存控制。Karlin(1958)建立了在隨機需求下考慮隨機供應的庫存模型，他選擇的決策變量是訂購量，如果發出訂貨，收獲量卻是一個隨機的數量。他證明了如果庫存持有成本和缺貨成本函數分別是凸的遞增函數，那么存在唯一一個臨界點，當初始庫存低于臨界點就發出訂貨，反之，最優策略就是不訂貨。Shih(1980)假定消費者可以自費將次品返回給生產商，庫存持有成本和缺貨成本是線性的，且次品占有率不隨生產水平改變，還假定次品的比例是一個已知概率分布的隨機變量，并推導出成本函數，證明了它的凸性。他推導出在需求量和次品比例是一般概率分布情況下的最優性必要條件，證明了最優的生產或訂購量可以通過一個Newsvendor模型的變形求得。

Noori和Keller(1986)考慮當收貨量是一個隨機變量且具有隨機需求的單周期庫存模型，研究了在需求函數均勻分布和指數分布以及實際收獲量在不同的分布情形下，求解最優訂購量的封閉式解。Ehrhardt和Taube(1987)推廣了Shih(1980)的模型，在假設持有成本和缺貨成本是一般形式而不是線性的情形下推導出最優性條件。對于需求均勻分布，他們得出了一個收貨量的封閉解的表達式。Gerchak等(1986)通過利潤最大化獲得同樣的結果。他們假定需求和產出連續，并考慮一個具有初始庫存I的模型。他們允許成本正比于計劃量Q或凈產出，并證明期望成本函數對I和Q是凹的。他們證明當初始庫存大于一個臨界點時就不發出訂貨，且這個臨界水平是一個和確定產出情況下相同，但又不像確定產出的情況，在隨機產出下的最優策略不再是“order-up-to”類，即當初始庫存低于這個臨界點時，相應訂購量的期望值將不是通常簡單地等于臨界點與初始庫存的差額。

在單周期庫存系統的仿真研究上，Why-bark和Williams(1976)證明了安全庫存(safety stock)比安全時間(safety time)更有效，更能有效緩沖來抵制數量上的不確定性(包括隨機產出)。具有不確定產出的生產控制研究的文獻(例如：Porteus(1986)，Sepehri等(1986)，Lee和Rosen-blatt(1986))也都局限于單周期系統。

Inderfurth(2004)探索了通過期望總成本函數的一階偏導求出一個需求和產出都是隨機情形下的單周期生產-庫存問題的最優生產策略。他證明了與現有文獻結果相比，隨機產出模型的最優策略對于均勻分布的需求和產出可以是一個非線性類型的。最優生產策略是在需求和產出相互獨立，需求和產出服從均勻分布的特殊情況下推導得出。他的分析考慮到了諸如收獲量的標準差正比于訂購量的一些誤差。

Keren等(2006)在假定一個生產商生產一種單周期產品供應給一個零售商且零售商所面臨的需求是確定的前提下，考慮了生產商和銷售商的最優生產訂購決策問題，分析了不同產出隨機函數對生產商和銷售商最優決策的影響。Yuanjie He則在隨機產出和需求隨機的情形下，分別建立確定最優計劃生產量的模型。Keren(2009)研究了一個需求已知情形下，隨機產出的特殊的單周期庫存問題（報童模型問題）。分析求解在加和式(additive)和乘法式(multiplicative)兩種類型的產出風險下的最優策略，并用數值例子描述了產出風險均勻分布的特殊例子的求解，還分析了在一個零售商和生產商的兩階段供應鏈中，零售商能夠找到最優的大于所需的訂購量，而這個較大的訂購量增加了生產商的最優生產量。

Dada等(2007)對經典的報童模型進行擴展，討論了多供應商的選擇和訂單分配的問題。他們在分析中假設每一個供貨商或者完全可信，或者完全不可信。該模型只考慮了單周期問題，也不包括供貨商的固定訂貨成本。

（2）多周期生產和庫存控制。Lee和Yano(1988)研究了一個具有隨機產出的多周期系統的生產控制，通過開發的一套程序得出在一個串行生產系統中，每階段的生產都具有隨機性的條件下的最優輸入量。這套程序采用了LED顯示器的生產制造系統中的實際隨機性數據。他們還通過量化的數據分析了在生產階段減少產出的可變性所獲得的成本上的節約。

Henig和Gerchak(1990)討論了在許多一般性的關于隨機補貨量分布和成本結構假設下的單周期和多周期模型，他們證明對一個單周期模型，存在一個獨立于補貨量隨機性的最優訂貨點。還證明了這種具有不確定性產出的庫存系統在多周期情形最優的策略不是基本存儲策略(base-stock policy)，并通過模型分析求解得出多周期下最優庫存水平的下界。

Bassok和Yano(1992)研究了當需求是一個確定的但在每周期必須是一個特定概率的情形下，一個具有隨機產出率下的庫存問題。他們證明在確定條件下，最優生產批量是一個整數周期的凈需求量的倍數值，并給出了最優策略的充分條件。

Ciarallo等(1994)考慮在模型中的隨機產出，它是一個穩定的成本和穩定的需求分布下隨機生產能力所導致的，他們證明了一個“order-up-to”策略在有限和無限周期的模型中都能夠最小化期望總成本。

Wang和Gerchak(1996)研究了一個多周期具有周期檢查（periodic review）的生產模型，同時考慮了產能的可變性、隨機產出和不確定需求。他們證明了總的貼現期望成本的目標函數是擬凸的(quasi-convex)，最優策略是一個“re-order point”類，即如果經考慮產能的可變性，可簡化為“order-up-to”類的一個最優策略。Erdem等(2002)也做了類似的研究。

Rekik等(2007)參考了Inderfurth(2004)所分析的乘式誤差（multipicative errors），給出了一個具有不確定供給情況下的Newsvendor模型的廣泛分析。他們的分析有助于研究在系統參數的所有值存在誤差情況下的最優訂購量。他們還評價了通過對比在沒有誤差的模型和有誤差干擾從供應商處有效收貨量的模型中，減少收貨量的不確定性對系統參數的好處。

Tagaras和Vlachos(2001)分析了周期檢查(periodic review)的訂貨和庫存策略。他們主要考慮了兩種供應模式（常規供應模式和緊急供應模式），該研究也仍然集中在針對需求不確定性情形下的訂貨-庫存策略的分析。Qi等(2004)分析了由一個供應商和一個制造商組成的供應鏈，對于供貨中斷所造成的不確定性供應合作問題進行了研究。Zhao等(2007)研究了有限期的訂貨-庫存問題，在面臨需求不確定性時，供應商的數量和采購成本的期望值之間的關系。該研究同時考慮缺貨拖后(back-order)和缺貨不補(lost sales)兩種情況。在工業品供應鏈中，Guler和Bilgic(2009)專門對隨機產出和隨機需求下的供應鏈協調問題開展了研究，文中決策變量為生產商定購的零部件數量，產品銷售價格為外生變量。

2.2 聯合定價與庫存控制問題

聯合定價與庫存控制的研究在近些年已成為學術界的熱點。Thomas(1974)考慮一個具有固定訂購成本的模型，并提出了一個簡單的(s，S，p)策略。Chen和Simchi-Levi(2002)證明該策略在需求不確定且為加和式函數的情形下是最優的，但在乘法式函數情形下卻不是最優。Thowsen(1975)考慮了一個零固定訂購成本的模型，證明了“a base-stock-list-price”策略是最優的，且該價格是初始庫存的一個減函數。Federgruen和Heching(1999)擴展Thowsen的模型到一個更一般的情形，他們證明，在一般的隨機需求情形下，當價格可以隨意改變或只降低時，“the base-stock-list-price”策略仍然最優。Elmaghraby和Keskinocak(2003)，Yano和Gilbert(2003)分別給出了該領域研究的文獻綜述。

由于報童定價問題可以協調供應鏈系統的收益和市場需求不確定環境，近年來受到越來越多的關注，不少學者對經典報童模型(Newsvendor Model)考慮了定價決策問題進行模型擴展研究。Whitin(1955)最早對報童模型的研究考慮了定價決策問題，他主要研究了在不確定需求環境下同時決策庫存數量和銷售價格優化問題，Mills(1959)，Karlin和Carr(1962)也做了類似的研究。Petruzzi和Dada(1999)對單產品報童模型的定價問題進行了一個全面的綜述，并提出了一些有意義的擴展。Petruzzi和Dada(2001)對一個兩周期/兩個市場零售情況下的聯合庫存和定價決策的報童模型進行研究。Karakul(2008)研究了在一個出清市場上時尚產品的聯合定價和采購策略。Granot和Yin(2008)分析了采用乘法式的、加和式價格依賴的需求，分析了一個集中的報童模型的定價和訂購延遲的效果。Chen和Bell(2009)研究了當消費者可以退貨時的聯合定價和庫存補貨決策。Pan等(2009)構建了一個兩階段模型，對需求隨機和降價環境下一個供應鏈中地位劣勢的零售商聯合定價和訂購策略進行了研究。He等(2009)考慮了需求不確定，且需求對零售價格和銷售努力敏感下的報童模型的擴展問題。Khouja(1999)對經典的報童模型及它的11種擴展做了一個非常全面的綜述，總結了從20世紀50年代至1999年以來的相關文獻的主要貢獻和模型的擴展研究。例如擴展到不同的目標和效用函數；擴展到不同的供應商定價策略、折扣問題；需求規律和信息的缺乏度問題；隨機產出以及多產品庫存問題等。并提出了進一步的研究方向，認為將上述擴展兩個或多個相結合對報童模型來說會更加實際。總之，目前大多數文獻探討報童模型在不同的供應鏈環境下的應用，并獲得了一些管理見解。

近年來，學者對假定產出為隨機變量的研究進行了一定的研究。Hening和Gerchak(1990)給出了一個具有隨機產出的一般的周期檢查(periodic review)的庫存系統的研究綜述，他們證明了最優策略具有一個閾值的特征，他們還討論了產出隨機性的含義。Yano和Lee(1995)在綜述中對生產商產出隨機下的供應鏈模型進行了分析，并歸納了3種主要的生產商隨機產出函數。而在Grosfeld-Nir和Gerchak(2004)的研究中也對此做了一定的概述。Qing Li(2007)等研究了一個生產系統的隨機產出和需求下的聯合庫存補貨和定價問題。需求在連續的周期內是相互獨立的隨機變量，且它們是對價格敏感的。產出是不確定的，因此一次補貨的收獲量是一個隨機變量且依賴于生產量，缺貨量完全拖后(backlogged)。目標是同時決策每周期的補貨量和價格的最優動態策略以最大化總的貼現利潤，并證明了最優補貨策略是一個閾值類型，即當且僅當一周期的起初庫存量低于該閾值時，最優的策略是生產，且最優的生產量和價格在每周期內對起初庫存是一個遞減函數。作者還進一步研究了隨機產出對生產運作的影響，證明了單周期情況下，補貨的閾值是獨立于產出的可變性的，而在多周期情況下，具有隨機產出系統下的補貨閾值比在單周期情況下的要高。此外，具有隨機產出的系統的價格總是比較高。Li等(2009)以最大化企業效用為目標，得出了產出和需求都為隨機的情況下再制造系統的最優收購價格。

Santoso等(2005)針對供應鏈網絡設計的問題建立了隨機規劃模型，采用取樣平均近似方法 (Sample Average Approximation，SAA)結合改進Benders分解算法(Benders decomposition)進行求解，并通過計算檢驗了其求解方法在解決實際規模問題時的可行性和有效性。而在隨機規劃模型中，他們考慮了需求、供應和生產能力等方面的不確定性，但在具體算例中仍主要集中于需求的不確定性。

由于庫存決策在不同決策期間的相互關聯性，對周期檢查(periodic-review)類庫存策略，當決策期間為長期（多周期），并且需求或其他因素為不確定的情況下，庫存決策體現的是隨機動態規劃特征。當各類成本為訂貨量的線性函數時，Clark和Scarf(1960)指出，最優的庫存策略為(order-up-tolevel)類，也稱Base-stock。如果需求和其他隨機變量的分布為穩態的(stationary)，最優的庫存水平(level)可以容易求得，反之，如果需求和其他的隨機變量的分布非穩態的(non-stationary)，就會由于狀態空間的增大而使求解的難度加大。需求不確定且分布隨時間變化下的periodic-review類庫存策略是近年來庫存管理領域研究的熱點，關注點在于算法（策略）的提出。

Anupindi和Akella(1993年)研究了供貨不確定性時的原材料或零部件采用雙供應商的訂單分配策略，討論了其對庫存策略的影響。他們研究了3種基于不同交貨合同的模型，并且從單周期和多周期角度分別分析了這3種模型。在多周期角度的分析中，他們采用了動態規劃求解法。但是，這些分析主要集中于雙供貨商的問題，而當供應商數量多于兩個時的模型及分析方法的復雜性顯著提高。

Herer等(2006)考慮了不確定需求服從正態分布情況下的零售商間的同級轉運問題，證明了最優的“order-up-to”補貨策略的存在，并采用樣本路徑算法(IPA)求得最優策略。Zhao和Sen(2006)采用兩階段隨機規劃模型對同樣的零售商之間的同級轉運問題進行了建模，證明了Herer等(2006)中的IPA算法和隨機偽梯度算法(Stochastic Quasi-Gradient，SOG)的等價關系。他們還采用帶有二次項的隨機分解算法（Regularized Stochastic Decomposition，RSD）求解出該問題。試驗計算的結果表明了SOG和RSD所得到的解的質量非常相似，但由于RSD利用了兩階段隨機線性模型的特定結構的優勢，其求解的計算時間明顯少于SOG。

3 文獻評述

定價與庫存控制問題涉及到方方面面，是一個十分困難且具有挑戰性的研究領域。目前，有關該領域的研究主要集中在兩個方面：一方面是在確定性條件下的庫存控制問題，典型的經濟批量訂貨模型(Economic Order Quantity)就是考慮了在確定性條件下如何制定最優訂購量、最優訂購周期和總的費用最低等問題。雖然已有多種成熟的方法解決這一問題，但是，多數庫存管理的數學模型是在假定的理想條件下建立的，當外界條件、環境發生變化，甚至擾動存在時，該數學模型已遠不能適應上述諸多變化的要求，因此，根據理想條件制定的最優策略自然就不準確；另一方面，考慮了隨機因素的定價與庫存控制的問題，該問題的一個方向就是考慮基準庫存(base-stock)策略問題和由基準庫存拓展的基準庫存-價格(base-stock-list-price)策略問題的研究，該問題考慮了周期檢查情況下的庫存補貨策略，研究的方法多采用動態規劃法；另一個方向則是在報童模型(Newsvendor Model)基礎上延伸出來的補貨和定價問題，這方面的研究已經具有較豐富的理論成果，主要是隨機需求條件下單產品單周期庫存控制問題以及單產品多周期下的補貨策略問題，但多數研究假定產出是確定的。如果只考慮需求的隨機性，那么可以想象在執行供應鏈的庫存控制時所涉及到的成本并不能達到最低。產出隨機性是在生產和庫存管理過程中一個不容忽視的問題，其對生產和庫存管理造成的影響也是相當大的。近年來，學者展開了對隨機產出情形下的報童模型的研究。然而，在具有不確定性或隨機性條件下制定的庫存控制策略雖然在一定程度上解決了部分存儲問題，但多數存儲模型過于復雜且不符合庫存管理實際，絕大多數隨機條件下的庫存模型所制定的存儲策略也只停留在理論探討階段。而企業的管理者一直所面臨的問題就是如何平衡好商品的供應和需求以獲取更多的利潤，企業在實現定價和庫存控制決策時，不可避免地要考慮到需求和供給的動態變化的影響。因此，如果要使供應鏈績效達到最優，庫存成本達到最低，產品定價達到最優，就要充分考慮供應鏈中的隨機因素，主要包括產出和需求的不確定性等因素。因此，進一步研究的方向集中在考慮隨機產出和隨機需求情況下的聯合定價與庫存控制策略，另外，考慮到市場競爭激烈、產品的多樣化等特點，對多產品的聯合定價與庫存控制的研究也是一個更貼近實際的研究方向。但考慮到隨機因素及多產品等問題，使得研究的模型變得更為復雜，求解難度增加，因此，對該問題求解算法的研究更是未來必然的研究方向，其中，針對求解最優解或近似最優解的啟發式算法的研究無疑勢在必行。

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