用U—I圖像突破電路疑難問題劉小訓

須雪忠

摘 要：圖像法是解決物理問題的直觀而有效的工具。結合具體實例運用U-I圖像巧妙而成功地突破了“分析電路的恒量與變量”“分析電路的功率與效率”“確定非線性元件的工作點”“分析電學實驗的系統誤差”等電路疑難問題。

關鍵詞：U-I圖像；電路；問題

一、U-I圖像的意義

1.電阻的U-I圖像

對于線性電阻，U-I圖像為過原點的直線，圖像的斜率即為各狀態下導體的電阻值，由圖像可知R===tan？茲，而對于非線性電阻（如小燈泡的燈絲電阻），U-I圖像為過原點的曲線，圖像上各點與坐標原點的連線（過原點的割線）的斜率即為各狀態下導體的電阻值，由圖像可知R=tan？茲≠=tanα。

2.電源的U-I圖像

由函數式U=E-Ir可知，電源的U-I圖像（也稱電源的外特征曲線）通常為向下傾斜的直線，圖像上各點與坐標原點的連線的斜率即為各狀態下外電阻的阻值，而圖像的斜率則為電源的內電阻。由圖像可以看出：tan？茲1==R1≠tan？茲2==R2、tan？琢===r，即不同狀態下外電阻的阻值各不相同，但同一電源的內電阻是不變的（中學階段電路所用電源通常認為是理想電源）。此外，電源的U-I圖像（外特征曲線）還有著更為豐富的內涵，反映著電源多方面的特性：如圖2乙所示，圖線與縱軸的交點表示電源電動勢的大小（斷路狀態時的路端電壓）；圖線與橫軸的交點表示短路電流；斜畫線所示“面積”表示某一工作狀態下的輸出功率，四邊形U斷OI0所圍“面積”表示電源的總功率，四邊形U斷OPU所圍“面積”則表示電源內阻消耗的熱功率，當U=時，電源的輸出功率最大。

二、U-I圖像的應用

1.用U-I圖像分析電路的恒量與變量

例1.（2006 上海物理卷）在如圖3所示電路中，閉合電鍵S，當滑動變阻器的滑動觸頭P向下滑動時，四個理想電表的示數都發生變化，電表的示數分別用I、U1、U2和U3表示，電表示數變化量的大小分別用ΔI、ΔU1、ΔU2和ΔU3表示，下列比值正確的是

（ ）。

A.U1/I不變，ΔU1/ΔI不變 B.U2/I變大，ΔU2/ΔI變大

C.U2/I變大，ΔU2/ΔI不變 D.U3/I變大，ΔU3/ΔI不變

解析：由于是串聯回路，電流表測得的是流經各部分電路的電流，電壓表測得的是定值電阻R1兩端的電壓，由線性電阻的U-I圖像（如圖1甲所示）可知：U1/I=ΔU1/ΔI=R1是不變的；電壓表測得的是電源兩端的電壓（即路端電壓），由電源的U-I圖像可知：U3/I為外電路的總電阻R1+R2，將隨滑動觸頭P向下滑動而增大，但ΔU3/ΔI為電源的內電阻r，顯然是不變的；電壓表測得的是可變電阻R2兩端的電壓，若將定值電阻R1等效地放入電源內電阻，則測得的電壓將變成等效路端電壓，同樣由電源的U-I圖像可知：U2/I為等效外電阻R2，也將隨滑動觸頭P向下滑動而增大，但ΔU2/ΔI為電源的等效內電阻r+R1，顯然也是不變的。故正確答案為A、C、D。

點評：本題很好地考查了學生對內外電路局部與整體關系的

把握能力以及電路變化過程中恒量與變量的分析水平。不少學生能分析U1/I、ΔU1/ΔI、U2/I、U3/I的變化情況，但分析ΔU2/ΔI、ΔU3/ΔI是否改變則感到非常困難。采用U-I圖像輔助分析則使學生對這一錯綜復雜的疑難問題有了直觀而本質的認識。

2.用U-I圖像分析電路的功率與效率

例2.如圖4所示，R1為定值電阻，R2為可變電阻，E為電源電動勢，r為電源內電阻，若R1>r，可變電阻的總阻值為R2>R1+r，則當R2調至何值時，（1）電源的輸出功率最大？（2）R2獲得的功率最大？（3）R1獲得的功率最大？（4）電源的工作效率最高？

解析：如圖5甲所示，a為外電阻的U-I圖線，b為電源的U-I圖線，由數學知識不難得到當a圖線的傾角？茲與b圖線的傾角？琢越接近的時候斜畫線所示“面積”越大，即外電阻越接近內電阻的

時候，電源的輸出功率越大；而當甲圖線的傾角？茲與乙圖線的傾角？琢相等的時候斜畫線所示“面積”最大，即外電阻等于內電阻的時候，電源的輸出功率最大。因此當R2調至零（外電阻R1+R2最接近內阻r）時，電源的輸出功率為實際的最大值；當R2調至R2=R1+r時，R2獲得的功率最大（將定值電阻R1等效地放入電源內電阻，R2獲得的功率即為等效電源的輸出功率，此時圖線a的斜率為R2，圖線b的斜率為R1+r）；當R2調至零時，R1獲得的功率最大[將可變電阻R2等效地放入電源內電阻，如圖5乙所示，a為定值外電阻R1的U-I圖線，b為內阻可變等效電源（電動勢E，內阻R2+r）的U-I圖線，當b圖線的斜率越小即等效內阻越小時，工作點越高，斜畫線所示面積越大，外電阻R1獲得的功率越大]；電源的工作效率？濁=×100%=×100%，由圖5甲不難看出，當a圖線的斜率越大即外電阻越大時，工作電壓（路端電壓）U越大，電源的工作效率越高，因此當R2調至阻值最大時，電源的工作效率最高。

點評：解答此題的一般思路是先研究輸出功率與外電阻的關系：P出=I2R=≤，得出當R=r時，輸出功率最大為P出max=。但在回答第一問時就會遇到無法獲得理論上最大輸出值的疑難，為了讓學生直觀地認識到輸出功率與外電阻的定性與定量關系，教師往往要介紹P出-R圖像。由前述函數式可知，輸出功率與外電阻是非線性關系，圖線較難描繪，若給出大致的圖線，學生將信將疑，不利于知識的有效順應。如果運用U-I圖像進行分析，則可以通過工作點的變化動態把握電路的供電與供能情況。

3.用U-I圖像確定非線性元件的工作點

例3.（2004 上海物理卷）小燈泡燈絲的電阻會隨溫度的升高而變大。某同學為研究這一現象，用實驗得到如下數據（I和U分別表示小燈泡上的電流和電壓）：endprint

（1）在左下框中畫出實驗電路圖。可用的器材有：電壓表、電流表、滑線變阻器（變化范圍0～10 Ω）、電源、小燈泡、電鍵、導線

若干。

（2）在右圖中畫出小燈泡的U-I曲線。

（3）如果將本題中的小燈泡接在電動勢是1.5 V，內阻是2.0 Ω的電池兩端，小燈泡的實際功率是多少？（簡要寫出求解過程；若需作圖，可直接畫在第（2）小題的方格圖中）

解析：根據實驗數據繪出小燈泡的U-I圖線，如圖6所示，顯然是非線性的，即不同工作狀態下其電阻值是變化的，因此要計算其實際功率，工作狀態的確定是一難點。我們可在同一坐標系中作出電源的U-I圖線，該圖線與小燈泡的U-I曲線的交點即為反映此電源對上述小燈泡供電時工作狀態的工作點，由此可得小燈泡的工作電流為0.35 A，工作電壓為0.80 V，實際功率為0.28 W。

點評：本題第（3）問對實驗數據的處理進行了拓展、延伸，很好地考查了學生對電阻和電源的U-I圖線的理解和應用能力，那些只知道死套公式的學生，面對這樣非常規的問題往往是束手無策的。

4.用U-I圖像分析電學實驗的系統誤差

例4.試分析以下兩種“測定電池的電動勢和內阻”實驗電路的系統誤差。

解析：采用圖7甲所示電路進行測量時，由于電壓表的分流作用，電流表讀數將小于通過電池的電流，從而產生系統誤差。設電壓表讀數為U測，電流表讀數為I測，電壓表的內阻為RV，通過電壓表的電流為IV，電池電動勢的真實值為E，電池內阻的真實值為r，則由圖7甲電路分析可得U測=E-（I測+IV）r，其中IV=，所以有U測=E-（I測+）r，整理可得U測=E-I測，由此函數式可知，在由實驗測得的多組U測、I測數據描點畫出的U-I圖像上，圖線縱截距和斜率大小分別為E測=E， r測=，與理論上的圖線比較可以看出：電動勢和內阻的測量值均偏小；而采用圖7乙所示電路進行測量時，系統誤差則主要來源于電流表的分壓作用（電壓表讀數小于路端電壓）。設電流表的內阻為RA，電壓表和電流表的讀數分別為U測和I測，則由圖7乙電路分析可得U測=E-I測（RA+r），由此函數式可知，在由實驗測得的多組U測、I測數據描點畫出的U-I圖像上，圖線縱截距和斜率大小分別為E測=E，r測=r+RA，與理論上的圖線比較可以看出：電動勢的測量值是準確的，內阻的測量值偏大。

點評：電學實驗系統誤差的分析是學生學習中的難點，借助于電源的U-I圖像，可以使學生在領會“測定電池的電動勢和內阻”實驗原理的基礎上，直觀而又深刻地認識到系統誤差的產生以及相應實驗電路的優化選擇（設計）：為了減小系統誤差，當電壓表內阻遠大于電池內阻時（如實驗室常用的干電池），應采用圖7甲所示電路；而當電流表內阻遠小于電池內阻時（如水果電池），應采用圖7乙所示電路。

（作者單位 浙江省杭州市第四中學）

編輯 謝尾合endprint

（1）在左下框中畫出實驗電路圖。可用的器材有：電壓表、電流表、滑線變阻器（變化范圍0～10 Ω）、電源、小燈泡、電鍵、導線

若干。

（2）在右圖中畫出小燈泡的U-I曲線。

（3）如果將本題中的小燈泡接在電動勢是1.5 V，內阻是2.0 Ω的電池兩端，小燈泡的實際功率是多少？（簡要寫出求解過程；若需作圖，可直接畫在第（2）小題的方格圖中）

解析：根據實驗數據繪出小燈泡的U-I圖線，如圖6所示，顯然是非線性的，即不同工作狀態下其電阻值是變化的，因此要計算其實際功率，工作狀態的確定是一難點。我們可在同一坐標系中作出電源的U-I圖線，該圖線與小燈泡的U-I曲線的交點即為反映此電源對上述小燈泡供電時工作狀態的工作點，由此可得小燈泡的工作電流為0.35 A，工作電壓為0.80 V，實際功率為0.28 W。

點評：本題第（3）問對實驗數據的處理進行了拓展、延伸，很好地考查了學生對電阻和電源的U-I圖線的理解和應用能力，那些只知道死套公式的學生，面對這樣非常規的問題往往是束手無策的。

4.用U-I圖像分析電學實驗的系統誤差

例4.試分析以下兩種“測定電池的電動勢和內阻”實驗電路的系統誤差。

解析：采用圖7甲所示電路進行測量時，由于電壓表的分流作用，電流表讀數將小于通過電池的電流，從而產生系統誤差。設電壓表讀數為U測，電流表讀數為I測，電壓表的內阻為RV，通過電壓表的電流為IV，電池電動勢的真實值為E，電池內阻的真實值為r，則由圖7甲電路分析可得U測=E-（I測+IV）r，其中IV=，所以有U測=E-（I測+）r，整理可得U測=E-I測，由此函數式可知，在由實驗測得的多組U測、I測數據描點畫出的U-I圖像上，圖線縱截距和斜率大小分別為E測=E， r測=，與理論上的圖線比較可以看出：電動勢和內阻的測量值均偏小；而采用圖7乙所示電路進行測量時，系統誤差則主要來源于電流表的分壓作用（電壓表讀數小于路端電壓）。設電流表的內阻為RA，電壓表和電流表的讀數分別為U測和I測，則由圖7乙電路分析可得U測=E-I測（RA+r），由此函數式可知，在由實驗測得的多組U測、I測數據描點畫出的U-I圖像上，圖線縱截距和斜率大小分別為E測=E，r測=r+RA，與理論上的圖線比較可以看出：電動勢的測量值是準確的，內阻的測量值偏大。

點評：電學實驗系統誤差的分析是學生學習中的難點，借助于電源的U-I圖像，可以使學生在領會“測定電池的電動勢和內阻”實驗原理的基礎上，直觀而又深刻地認識到系統誤差的產生以及相應實驗電路的優化選擇（設計）：為了減小系統誤差，當電壓表內阻遠大于電池內阻時（如實驗室常用的干電池），應采用圖7甲所示電路；而當電流表內阻遠小于電池內阻時（如水果電池），應采用圖7乙所示電路。

（作者單位 浙江省杭州市第四中學）

編輯 謝尾合endprint

（1）在左下框中畫出實驗電路圖。可用的器材有：電壓表、電流表、滑線變阻器（變化范圍0～10 Ω）、電源、小燈泡、電鍵、導線

若干。

（2）在右圖中畫出小燈泡的U-I曲線。

（3）如果將本題中的小燈泡接在電動勢是1.5 V，內阻是2.0 Ω的電池兩端，小燈泡的實際功率是多少？（簡要寫出求解過程；若需作圖，可直接畫在第（2）小題的方格圖中）

解析：根據實驗數據繪出小燈泡的U-I圖線，如圖6所示，顯然是非線性的，即不同工作狀態下其電阻值是變化的，因此要計算其實際功率，工作狀態的確定是一難點。我們可在同一坐標系中作出電源的U-I圖線，該圖線與小燈泡的U-I曲線的交點即為反映此電源對上述小燈泡供電時工作狀態的工作點，由此可得小燈泡的工作電流為0.35 A，工作電壓為0.80 V，實際功率為0.28 W。

點評：本題第（3）問對實驗數據的處理進行了拓展、延伸，很好地考查了學生對電阻和電源的U-I圖線的理解和應用能力，那些只知道死套公式的學生，面對這樣非常規的問題往往是束手無策的。

4.用U-I圖像分析電學實驗的系統誤差

例4.試分析以下兩種“測定電池的電動勢和內阻”實驗電路的系統誤差。

解析：采用圖7甲所示電路進行測量時，由于電壓表的分流作用，電流表讀數將小于通過電池的電流，從而產生系統誤差。設電壓表讀數為U測，電流表讀數為I測，電壓表的內阻為RV，通過電壓表的電流為IV，電池電動勢的真實值為E，電池內阻的真實值為r，則由圖7甲電路分析可得U測=E-（I測+IV）r，其中IV=，所以有U測=E-（I測+）r，整理可得U測=E-I測，由此函數式可知，在由實驗測得的多組U測、I測數據描點畫出的U-I圖像上，圖線縱截距和斜率大小分別為E測=E， r測=，與理論上的圖線比較可以看出：電動勢和內阻的測量值均偏小；而采用圖7乙所示電路進行測量時，系統誤差則主要來源于電流表的分壓作用（電壓表讀數小于路端電壓）。設電流表的內阻為RA，電壓表和電流表的讀數分別為U測和I測，則由圖7乙電路分析可得U測=E-I測（RA+r），由此函數式可知，在由實驗測得的多組U測、I測數據描點畫出的U-I圖像上，圖線縱截距和斜率大小分別為E測=E，r測=r+RA，與理論上的圖線比較可以看出：電動勢的測量值是準確的，內阻的測量值偏大。

點評：電學實驗系統誤差的分析是學生學習中的難點，借助于電源的U-I圖像，可以使學生在領會“測定電池的電動勢和內阻”實驗原理的基礎上，直觀而又深刻地認識到系統誤差的產生以及相應實驗電路的優化選擇（設計）：為了減小系統誤差，當電壓表內阻遠大于電池內阻時（如實驗室常用的干電池），應采用圖7甲所示電路；而當電流表內阻遠小于電池內阻時（如水果電池），應采用圖7乙所示電路。

（作者單位 浙江省杭州市第四中學）

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