2014年高考數學(理科)數列試題分析及教學建議

合肥工業大學附中 (郵編：230009)

1 2014年全國高考(理科)試題數列部分的統計分析

表1 2014年全國高考(理科)試卷數列試題分析

從上表中可以看出，數列作為高中數學的主干知識，在2014年全國高考各省試題中均有考查.

從分值分布上分析，福建以1道選擇題呈現，遼寧以一道填空題呈現，分值均為5分；北京卷同時以1道選擇題、1道填空題出現，分值共計10分；其他省份均在分值較高的解答題中考查數列問題，分值在12分到21分不等.

從試題出現位置上看，數列考點的解答題多出現在解答題型的前2道，以考查基本知識、數學運算能力為主.同時，數列試題與其他知識點綜合，出現在部分省份的高考解答題的中間偏后甚至壓軸題位置，以全面考查學生的綜合思維能力.

從考查的知識點的角度，統計分析數列考點相關高考試題，考查的知識點中，有11份試卷考查數列的綜合應用.試題形式中，出現次數最多的解答題基本上都是設置兩小問形式，求通項公式和前n項或者證明等差等比數列相關的不等式.

從試題難度設置上，所有試題都屬于常規題，尤其是以選擇題填空題形式出現的數列題，都是用解決數列問題的通性通法可以解決的問題.除此以外，數列題還被放置到了壓軸位置，對學生能力要求較高.

2 高考數列問題典型考題分析

2.1 填空選擇題

今年高考理科試題中有9個省份以選擇填空題形式考查了數列問題.全部都是考查等差等比數列的基本公式和性質等基礎知識，考查考生的運算能力，總體難度中等偏低.

例1(安徽卷12題) 數列{an}是等差數列，若a1+1,a3+3,a5+5構成公比為q的等比數列，則q=________.

評析本題考查等差等比數列基本運算和性質.從基本量計算的角度看，可以列方程求解，這是通法，有一定的運算量；從性質的角度看，數列a1,a3,a5成等差數列，數列1,3,5也成等差數列，故a1+1,a3+3,a5+5仍然成等差數列，又a1+1,a3+3,a5+5構成公比為q的等比數列，故q=1.此法無計算量.體現了“多考想的，少考算的”的命題理念，體現了思維的靈活性.

例2(全國大綱卷10題) 等比數列{an}中，a4=2,a5=5，則數列{lgan}的前8項和等于( )

A．6 B．5 C．4 D．3

評析本題考查等比數列性質和對數運算，但不同的角度，可以展現不同的思維能力層次.

解法1求通項，再求和.(解略)

解法2利用性質求{an}的前8項積，再求數列{lgan}的前8項和.

a1a2…a7a8=(a4a5)4=104，故lga1+lga2+…+lga7+lga8=4.

解法3{an}成等比數列，則數列{lgan}成等差數列，

填空選擇題型一般均為考查學生的基本知識、基本方法、基本能力.針對數列問題，需要理解等差、等比數列的定義，熟練掌握通項公式、求和公式的靈活運用.此部分試題應屬于考生的基本拿分題，力求準確、快捷.

2.2 基礎解答題

今年理科試卷中有9個省份數列解答題放置在解答題靠前位置，難度較低.有8個省份數列試題第一問都是求數列的通項公式，其中已知是等差等比數列用基本量法求解的占多數，其次是用構造法求數列通項公式以及利用an和Sn關系求解的；除求解通項公式外，有7個省份是求數列前n項和，重點考查等差等比數列求和以及用錯位相減法，裂項相消法等常用數列求和方法.

例3(全國大綱卷第18題) 等差數列{an}的前n項和為Sn，已知a1=10，a2為整數，且Sn≤S4.(I)求{an}的通項公式；

評析本題考查了首項為正，公差為負數的等差數列前n項和的最大問題.另外，本題還考查了裂項相消法求數列前n項和.山東卷和浙江卷也考查了該方法.

此類試題需要考生在掌握數列知識點的基本內容基礎上，熟悉各種解題思路與方法，如裂項相消法、錯位相減法等，能熟練運用各類數學方法解決數學問題.

2.3 數列綜合題

高考數列試題除了以選擇填空題、基本解答題等形式出現，重點考查學生對數列問題的基本性質、基本公式的理解和掌握外，還因數列問題本身的靈活性、較復雜的運算要求，往往與其他知識點交匯組合，成為高考試題的壓軸綜合題.

例4(天津卷 第19題) 已知q和n均為給定的大于1的自然數.設集合M={0,1,2,…,q-1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈Mi,i=1,2,…,n}.

(Ⅰ)當q=2，n=3時，用列舉法表示集合A；

(Ⅱ)設s,t∈A，s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1，其中ai,bi∈M，i=1,2,…,n. 證明：若an

評析本題主要考查集合的含義和表示，等比數列的前n項和公式，不等式的證明等基礎知識和基本方法. 考查運算能力、分析問題和解決問題的能力.

(1)若b=1，求a2,a3及數列{an}的通項公式；

(2)若b=-1，問：是否存在實數c使得a2n

評析(Ⅰ)解法1構造等差數列{(an-1)2} ；

下面用數學歸納法證明加強命題：a2n

先證0≤an≤1(n∈N*)

①(略)

再證a2n

②(略)

又由①、②及f(x)在(-∞,1]上為減函數得f(a2n)>f(a2n+1),即a2n+1>a2n+2，

本題是重慶卷的壓軸題，難度較大.無獨有偶，安徽卷第21題也是有關數列的壓軸題.不難發現它們的相似之處，均以數列為載體，考查了證明不等式的兩種方法：數學歸納法、利用導數證明函數的單調性進而得到不等關系.可見數列與不等式結合考查的題型我們需要多訓練.

2.4 新概念型數列問題

例6(江蘇卷) 設數列{an}的前n項和為Sn．若對任意的正整數n，總存在正整數m，使得Sn=am，則稱{an}是“H數列”．

(1)若數列{an}的前n項和Sn=2n(n∈N*)，證明：{an}是“H數列”；

(2)設{an}是等差數列，其首項a1=1，公差d<0．若{an}是“H數列”，求d的值；

(3)證明：對任意的等差數列{an}，總存在兩個“H數列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn(n∈N*)成立．

評析本題“H數列’屬于新概念型問題，題目新穎，要求學生具備較好的自學探究能力.主要考查數列的概念、an與Sn的關系，等差數列等基礎知識，以及學生的推理論證能力.

3 對高三數列復習的建議

由以上的分析可以看出，對數列知識的考查，基本是“一小一大”.小題注重數列的通項公式，等差等比數列的性質與基本量的求解.大題以等差等比數列知識的綜合運用為主，或結合其它知識(一般是函數、不等式)與數學歸納法，考查考生綜合運用知識分析問題、解決問題的能力、推理論證能力.具體到數列知識的復習備考，需要注意以下幾點：

(1)對數列通項公式的探求是高考考查數列的一個主要命題點，可以考查考生的觀察、分析、歸納、猜想、推理論證能力.因而熟練求通項公式的常用方法：如用方程思想利用基本量解決等比等差數列通項公式；構造等差等比數列進而求解數列的通項公式;歸納猜想求數列通項公式;利用前n項和公式求通項公式；特別是由遞推關系確定通項公式，變化多，較靈活等.

(2)等差等比數列是數列中研究的重要內容.熟練掌握等差等比數列的定義、通項公式、求和公式和性質，是解決數列綜合問題的基礎，許多數列問題，都可以轉化為等差等比數列來解決,如利用放縮法將一般數列轉化為等差等比數列問題進而證明不等式.

(3) 數列求和一般與不等式證明相結合，因而需熟練求數列前n項和的方法，如對于等差等比數列用公式法；錯位相減法，裂項相消法，分組求和法、倒序相加等等.

(4) 從函數的角度理解數列是必要的，這樣就可以利用函數的思想與方法來處理數列問題.在數列不等關系的問題中，通過把數列問題轉換為函數問題，利用函數的工具，解決數列問題是很常用的手段.但要注意函數的單調性與數列的單調性還是有區別的，解題時要關注和體會它的不同.

(5) 厘清知識間的交匯點，注重多個知識點的綜合題的訓練與解題方法的積累.如數列與三角函數結合、數列與集合結合，數列與導數結合，數列與解析幾何結合、數列與平面向量結合、數列與不等式結合等問題.特別是數列與函數、不等式結合問題，它綜合了函數性質、導數、數列、不等式、數學歸納法等方面的知識與方法，對考生綜合運用知識分析問題、解決問題的能力有較高的要求，對高分學生有很好的區分度，因而以數列為背景的不等式的證明問題以及以函數為背景構造數列的問題，成了高考壓軸題的寵兒.

(6)注意強化運算能力訓練.從以上例題可以看出數列題計算量相對較大，能不能熟練準確的計算直接影響答題的速度和準確率.因此，在復習時必須重視訓練對數式運算能力的提高.