再談數(shù)列不等式的解決策略

安徽省六安市金安區(qū)教育局 (郵編：237000)

文[1]從證明的視角闡述了解答題中數(shù)列不等式的一些經(jīng)典證法，所選例題具有很好的代表性，所選方法具有普適性、思想性，方法的分析簡(jiǎn)明而深刻，筆者讀后很受啟發(fā)，也引發(fā)了筆者對(duì)數(shù)列不等式問題的進(jìn)一步思考：實(shí)際上，數(shù)列不等式問題并非只有證明這一類問題，求解型數(shù)列不等式問題也占有一席之地，有時(shí)甚至較證明型問題更加難以解決，原因主要是求解型數(shù)列不等式一般沒有明確的解題目標(biāo)，需要深入地探索，對(duì)學(xué)生的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)形成極大的挑戰(zhàn)；至于數(shù)列不等式的證明也絕非只有文[1]所提供的這幾種證法. 文[1]在以上問題上沒有涉及，作為對(duì)文[1]的補(bǔ)充，本文以近三年全國及各省部分?jǐn)?shù)列解答題為例，對(duì)以上問題作分析與總結(jié)，供大家參考.

1 注重不等式知識(shí)運(yùn)用

(Ⅰ)若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范圍；

(Ⅲ)若a1，a2，…，ak成等差數(shù)列，且a1+a2+…+ak=1000，求正整數(shù)k的最大值，以及k取最大值時(shí)相應(yīng)數(shù)列a1，a2，…，ak的公差.

因q>1，故3qn+1-qn-2=qn(3q-1)-2>2qn-2>0.

對(duì)于不等式qn+1-3qn+2≤0，令n=1，得1≤q≤2，當(dāng)1

故qn+1-3qn+2=qn(q-3)+2≤q(q-3)+2=(q-1)(q-2)≤0，

故1

2 注重分析法分析功能

例2(2012重慶卷理21)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn+1=a2Sn+a1，其中a2≠0.

(Ⅰ)求證：{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列；

(*)

當(dāng)a2=1時(shí)，上式等號(hào)成立.

評(píng)注上述證明過程中，想到

3 注重等價(jià)轉(zhuǎn)化思想運(yùn)用

例3(2012安徽卷理21)數(shù)列{xn}滿足n∈N*.

(Ⅰ)證明：{xn}是遞減數(shù)列的充分必要條件是c<0；

(Ⅱ)求c的取值范圍，使{xn}是遞增數(shù)列.

分析數(shù)列單調(diào)性最常用的判斷方法是定義，而定義本身具有充要性，即等價(jià)性.

所以用等價(jià)轉(zhuǎn)化可以減小本題難度.

略解(Ⅱ)當(dāng)數(shù)列{xn}是單調(diào)遞增數(shù)列時(shí)，xn+1>xn≥x1=0恒成立.

xn+2-xn+1=-(xn+1-xn)(xn+1+xn-1)>0

?xn+1+xn-1<0.

知xn+1+xn-1<0成立；

4 注重高等數(shù)學(xué)知識(shí)背景

例4(2014重慶卷理22)設(shè)

(Ⅰ)若b=1，求a2、a3及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)若b=-1，問：是否存在實(shí)數(shù)c使得a2n

分析“存在型”問題一般都應(yīng)從假設(shè)結(jié)論成立開始考慮(即考慮結(jié)論成立的必要條件)，先用特殊情況把待求值“逼”出來，但考慮本題中的遞推式較復(fù)雜，不可能求出通項(xiàng)，因此，只能考慮極限(不等式兩邊都是項(xiàng)，且相鄰)兩邊夾出c.

下面可用數(shù)學(xué)歸納法證明加強(qiáng)命題：a2n

評(píng)注本題中的c來自于下列極限思想：若a2n

例5(2014安徽卷理21)設(shè)實(shí)數(shù)c>0，整數(shù)p>1，n∈N*.

(Ⅰ)證明：當(dāng)x>-1且x≠0時(shí)，(1+x)p>1+px；

(Ⅱ)數(shù)列{an}滿足

5 注重間接放縮法的使用

例6(2012廣東卷理19)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差數(shù)列.

(Ⅰ)求a1的值；

(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

分析(Ⅲ)中的不等式右邊是常數(shù)，無法實(shí)現(xiàn)歸納遞推，所以數(shù)學(xué)歸納法不好使用(但并不是不能使用，只是技巧性強(qiáng))，本題使用了特殊的放縮法.

略解(Ⅲ)因?yàn)閍n=3n-2n=3(3n-1-2n-1)+(3·2n-1-2n)=3an-1+2n-1

評(píng)注間接放縮主要采取一種整體思維，本題中Sn的范圍不是直接放縮出來的，而是將Sn當(dāng)成整體，通過“遞推式放縮”得到關(guān)于Sn的不等式，進(jìn)而解出要證的不等式.

這種“遞推式放縮”可以有效解決“和式小于常數(shù)”的不等式，彌補(bǔ)數(shù)學(xué)歸納法不足.

6 注重利用數(shù)列的函數(shù)性

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

分析本題以函數(shù)為背景，考查數(shù)列問題. 但(Ⅱ)中到底要用函數(shù)的哪個(gè)形式，需要結(jié)合待證不等式從單調(diào)性中自行尋找.

評(píng)注借助函數(shù)不等式證明數(shù)列不等式，其關(guān)鍵還是找到合適的函數(shù)，以及選取此函數(shù)合適的特殊情形，兩者缺一不可. 如何能夠有效地做到呢？筆者認(rèn)為，積累解題經(jīng)驗(yàn)和善于分析待證數(shù)列不等式特征是不可或缺的.

故fn+1(xn)>fn(xn)=fn+1(xn+1)=0，由第(Ⅰ)問知fn+1(x)在(0,+∞)上遞增，

得xn+1

①

②

評(píng)注本題方法充分體現(xiàn)了回歸定義的重要性. 實(shí)際上，廣大考生曾絞盡腦汁試圖想出妙法都未成功. 當(dāng)然，成功整理“和式”并利用有界性放縮也是關(guān)鍵一步.

5 結(jié)語

從以上幾例的分析、評(píng)注可以看出，數(shù)列不等式由于具有數(shù)列和不等式的“二重性”，因而其解決方法應(yīng)與二者息息相關(guān). 如，數(shù)列是特殊的函數(shù)，因而函數(shù)的一切方法都可以考慮應(yīng)用于數(shù)列不等式：?jiǎn)握{(diào)性、有界性、極限、零點(diǎn)、不動(dòng)點(diǎn)等；數(shù)列與正整數(shù)有關(guān)，因而數(shù)學(xué)歸納法、遞推、迭代等也可使用；數(shù)列有通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，因而通項(xiàng)分析、前n項(xiàng)和分析也是必備手段. 至于不等式，有基本性質(zhì)、重要不等式模型等，它又可以營造出千變?nèi)f化的不等式技巧，如傳遞性就是放縮法的理論依據(jù)；不等式既可求解也可證明，它們的方法又可以遷移到數(shù)列不等式中來，如分析法，等等. 總之，以上只是結(jié)合近三年高考考題作了一番梳理，實(shí)際上，數(shù)列不等式類型多種多樣，其解決策略亦多種多樣，有時(shí)呈現(xiàn)單一性，有時(shí)呈現(xiàn)復(fù)合性，相信它還會(huì)隨著高考新題的出現(xiàn)繼續(xù)演繹著更迷人的精彩.

1 章政權(quán).例說數(shù)列不等式的證明[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2014(4)：45-48