不等式的加強及應(yīng)用

山東省高青一中 (郵編：256300)

山東省高青縣教研室 董 林 (郵編：256300)

本文約定：△ABC的三邊長為a、b、c，三個內(nèi)角為A、B、C，外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，半周長為s，面積為△，∑表示循環(huán)和，∏表示循環(huán)積.

①

本文將不等式①加強為：

②

利用Gerresten不等式[1]：

16Rr-5r2≤s2≤4R2+4Rr+3r2.

立得不等式②成立，證畢.

由著名的Euler不等式R≥2r，可知不等式②強于不等式①.

推論1在△ABC中，有

③

推論2在△ABC中，有

∑a2≤8R2+4r2

④

證明在不等式②的右邊利用正弦定理就可得到不等式④.

推論3在△ABC中，有

⑤

證明由Colombier-Doucet不等式[3]

由不等式②利用正弦定理得：

⑥

推論5在△ABC中，有

∏(b2+c2-a2)≤∏(b+c-a)2⑦

1 O.Bottema等著，單墫譯.幾何不等式[M].北京：北京大學(xué)出版社,1991

2 S.Nakajimc,Tohoku Math.J.25(1925)

3 G.Colombier-T.Doucet.Problem 1051.Nouv Ann.31(1872)，467