高中數學中常見“齊次結構”的處理辦法

江蘇省蘇州市實驗中學 (郵編：215011)

高中數學里有關齊次式的問題經常出現在不等式、三角函數、解三角形、圓錐曲線等章節里，往往需要我們解決一些化簡、求值域、最值等問題.

以下我們來分類研究：

1 不等式中的齊次結構

例1已知不等式xy≤ax2+2y2,若對任意x∈[1,2]及y∈[2,3]該不等式恒成立，則實數a的取值范圍是________.

提煉本例中利用齊次結構將不等式中的兩個變量x、y合并成了一個變量t！不是齊次式做不到這一點.這是我們在不等式中研究齊次式的重要心得.

當我們對不等式中的齊次特征有了一定的認識后，再來分析下面這道高考題，是不是對其中的一般性規律有更深的理解呢？

分析條件5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc為典型的齊次結構.可化為：

2 三角函數中的齊次結構

例3已知sinα+2cosα=0,求：

3 解三角形中的齊次結構

分析本題條件3acosC=2ccosA中等號兩端a、c為齊次結構，故由正弦定理得a=2RsinA,c=2RsinC,3sinAcosC=2sinCcosA，從而3tanA=2tanC.

這類題目中如果表示邊長的字母是齊次的，則可由正弦定理將邊長轉換為角的正弦；當三角形中角的正弦齊次時也可以轉換為邊長.如下例：

4 圓錐曲線問題中的齊次結構

這里就形成了關于a、c的齊次結構!

下面我們再來研究一道利用通過齊次結構求橢圓離心率取值范圍的例子:

分析先將向量坐標化，設M(x0，y0)，則

①

故(x0+c,y0)·(x0-c,y0)=0

②

將不等式兩端同除以a4可解得：

以上是我們在高中數學學習過程中經常遇到的四種類型的含有“齊次結構”的問題，表面看起來它們形式各異并無什么關聯，而實際上可以用“齊次”這個詞來描述它們共同特征.抓住這個特征就基本掌握了這四種“齊次”問題的一般性方法.