抓住不變量 優(yōu)化解題過程

安徽省合肥市第一中學(xué) (郵編：230601)

很多數(shù)學(xué)問題中，雖然數(shù)量、圖形在發(fā)生變化，但其中往往隱含著某些不變量(性).如果能在變化過程中善于發(fā)現(xiàn)并挖掘利用這些因素，就常能使解題達(dá)到一種意想不到的境界.

1 運(yùn)用不變量，簡(jiǎn)化運(yùn)算過程

2 挖掘不變量，打開解題的突破口

例3下圖是一個(gè)3×8的縱橫線路圖，一只小蟲沿縱橫線向上或向右從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，則不同的爬行方式的總數(shù)是________．

圖1

分析解決本題的一種有效方法就是利用面積不變量，即S△MF1F2=S△MF1F2.“算兩次”的方法其實(shí)就是利用不變量的原理.

解由已知得，a=5，b=4，c=3.

△MF1F2的周長(zhǎng)=|F1F2|+|MF1|+|MF2|=2a+2c=16.

又b=4，所以，只有短軸的兩個(gè)端點(diǎn)符合條件.

例6已知直線m、n及平面α，其中m∥n，那么在平面α內(nèi)到兩條直線m、n距離相等的點(diǎn)的集合可能是：①一條直線，②一個(gè)平面，③一個(gè)點(diǎn)，④空集.其中正確的序號(hào)是________．

分析因?yàn)閙∥n，所以m、n確定一個(gè)平面，記為β，在平面β內(nèi)作m、n的平行線l，使l到m、n的距離相等，過l作平面γ⊥β，則到直線m、n的距離相等的點(diǎn)的集合為平面γ，這是一個(gè)形的不變量.抓住這個(gè)不變量，只需考察γ和γ的所有可能的位置關(guān)系情況，就可得出正確的序號(hào)是①、②、④.

3 尋求不變量，明確探索方向

例7設(shè)集合A={(x,y)|xcosθ+ysinθ=1}，全集U={(x,y)|x,y∈R}，求集合A的補(bǔ)集對(duì)應(yīng)的圖形是什么？

分析解決問題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)不變量cos2θ+sin2θ=1.

解法2由柯西不等式得1=12=(xcosθ+ysinθ)2≤(x2+y2)·(cos2θ+sin2θ)，即x2+y2≥1，A={(x,y)|x2+y2≥1}，所以，集合A的補(bǔ)集對(duì)應(yīng)的圖形是單位圓x2+y2=1內(nèi)(不包括圓)的點(diǎn)集.

4 構(gòu)造不變量，另辟解題新徑

總之，有意識(shí)地利用不變量(性)原理解題，可以開闊學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

1 陶兆龍.利用不變量(性)解解幾題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(蘇州),1996(8)

2 李靜.不變量原理在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用[J].考試周刊,2010,44

3 王華民,朱國(guó)偉.一類解析幾何定值問題的求解策略[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2013(4)

4 蘭詩全.不變量解題四功能[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué),2014(1-2)