對(duì)一類高考題目的研究

山東省寧陽一中 (郵編：271400)

1 函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用

例1(2014年天津卷理20)已知函數(shù)f(x)=x-aex(a∈R)，x∈R.已知函數(shù)y=f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1、x2，且x1

(Ⅰ)求a的取值范圍；

(Ⅲ)證明：x1+x2隨著a的減小而增大.

(Ⅲ)證明略.

2 函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用

(Ⅰ)當(dāng)k≤0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求k的取值范圍.

解(Ⅰ)略；

3 函數(shù)y=xex的性質(zhì)應(yīng)用

例3(基于函數(shù)性質(zhì)的原創(chuàng)題目)已知函數(shù)

(1)若x>0時(shí)，f(x)>g(x)恒成立，求a的取值范圍；

(2)討論f(x)-g(x)=0零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

4 函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用

例4(2014年湖北卷理22)π為圓周率，e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(Ⅱ)求e3，3e，eπ，πe，3π，π3這6個(gè)數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù).

(Ⅲ)將e3，3e，eπ，πe，3π，π3這6個(gè)數(shù)按從小到大的順序排列，并證明你的結(jié)論.

當(dāng)00，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>e時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e)，單調(diào)遞減區(qū)間為(e,+∞)．

故只需比較e3與πe和eπ與π3的大小.

①

綜上可得，3e

5 函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用

(1)若h(x)=f(x)+g(x)在(1,+∞)內(nèi)為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若存在x1、x2∈(1,e2]，使得f(x1)≤f′(x2)-g′(x2)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解所以因?yàn)閤∈(1,+∞)，所以lnx∈(0,+∞)，則(0,∞)，所以時(shí)，故

(2)“存在x1、x2∈(1,e2]，使得f(x1)≤f′(x2)-g′(x2)成立”等價(jià)于“x1、x2∈(1,e2]時(shí)，f(x1)min≤(f′(x2)-g′(x2))max”．

設(shè)u(x)=f′(x)-因?yàn)閤∈(1,e2]，所以∞)，當(dāng)時(shí)，即所以故

6 函數(shù)y=xlnx的性質(zhì)的應(yīng)用

(Ⅰ)求a、b；

(Ⅱ)證明：f(x)>1．

(Ⅰ)解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，

由題意可得f(1)=2，f′(1)=e．

故a=1,b=2．

綜上，當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>h(x)，即f(x)>1． 同一個(gè)地區(qū)的歷年高考題目一般都保持了連續(xù)性、穩(wěn)定性的特點(diǎn)，所以通過研究高考題目，我們積極地加以分析，進(jìn)行舉一反三的拓展，在增強(qiáng)高考預(yù)測(cè)能力的同時(shí)，還可使學(xué)生跳出題海，對(duì)提高高考應(yīng)試能力大有裨益。