一道高考壓軸題的多角度研究

江蘇省揚(yáng)州中學(xué) (郵編：225009)

1 考題展示

題目(2014年陜西卷21題)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0，其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).

(1)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+，求gn(x)的表達(dá)式；

(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)設(shè)n∈N+，比較g(1)+g(2)+…+g(n)與n-f(n)的大小，并加以證明．

點(diǎn)評本題是2014年陜西理科卷的最后一題，是壓軸題，綜合考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式的相關(guān)知識，第(1)(2)問多數(shù)學(xué)生能夠解決，第(3)問證明數(shù)列和不等式，看起來很平常，實(shí)際上卻背景豐富，有一定難度和區(qū)分度，也有很大的研究空間，我們重點(diǎn)研究第(3)問.

2 解法研究

解析(1)由f(x)=ln(x+1)，

當(dāng)a≤1時(shí)，h′(x)≥0，h(x)在[0,+∞)內(nèi)遞增，故h(x)≥h(0)=0，所以符合要求；

當(dāng)a>1時(shí)，h(x)在(0,a-1)內(nèi)遞減，在(a-1,+∞)內(nèi)遞增，此時(shí)h(a-1)

綜上得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,1]．

比較結(jié)果為：g(1)+g(2)+…+g(n)>n-ln(n+1)，證明如下：

上述不等式等價(jià)于

方法1用數(shù)學(xué)歸納法證明

分析因?yàn)椴坏仁脚c自然數(shù)n有關(guān)，所以可以考慮用數(shù)學(xué)歸納法來處理．

命題得證.

方法2構(gòu)造數(shù)列證明不等式.

分析觀察不等式左邊，是數(shù)列和的形式，所以可以考慮將右邊也改寫成數(shù)列和的形式．

企業(yè)價(jià)值共創(chuàng)體系的涌現(xiàn)主要體現(xiàn)在價(jià)值創(chuàng)造能力的涌現(xiàn)行為上，因此對企業(yè)價(jià)值共創(chuàng)體系的價(jià)值創(chuàng)造能力的評價(jià)就是對企業(yè)價(jià)值共創(chuàng)體系涌現(xiàn)的評價(jià)。

命題得證.

方法三構(gòu)造單調(diào)函數(shù)證明不等式.

3 背景研究

4 幾何意義

由定積分的幾何意義知每個(gè)小曲邊梯形的面積大于對應(yīng)的矩形的面積，