垂足三角形序列的若干結論

華南師范大學數學科學學院 (郵編：510631)

1 預備知識

1.1 定義[1]：(垂足三角形)

如圖1，記△AkBkCk的垂足三角形為△Ak+1Bk+1Ck+1，k∈N，其中Ak+1為Ak在邊BkCk上的射影點，Bk+1為Bk在邊AkCk上的射影點，Ck+1為Ck在邊AkBk上的射影點.令 △A0B0C0=△ABC，稱△AkBkCk為△ABC的k階垂足三角形.

圖1

1.2 引理

引理1[2](1)若△ABC為銳角三角形，則A1=π-2A,B1=π-2B,C1=π-2C，其中A1、B1、C1為△ABC的垂足三角形△A1B1C1的內角；

(2)若△ABC為直角三角形，則△ABC無垂足三角形；

(2)若△ABC中C為鈍角且其i階垂足三角形△AiBiCi中C1也為鈍角，其中i=1,2,…,n(n∈N*)，則Ci=(C-π)·2i+π,i=1,2,3,…,n(n∈N*).

證明：

(1)∵△ABC為銳角三角形且其i階垂足△AiBiCi也為銳角三角形，其中i=1,2,…,n(n∈N*)，∴

其中記A0=A.

又∵

∴

則

(2)∵△ABC中C為鈍角且其i階垂足三角形△AiBiCi中C1也為鈍角，其中i=1,2,…,n(n∈N*)，

∴Ci+1=2Ci-π,i=0,1,2,…,n，其中記C0=C. 又Ci+1-π=2(Ci-π),

∴{Ci-π}為以C0-π為首項，2為公比的等比數列，∴Ci-π=(C0-π)·2i,i=0,1,2,…,n，則

Ci=(C0-π)·2i+π=(C-π)·2i+π,i=0,1,2,…,n(n∈N*).

2 垂足三角形序列的若干結論

則△ABC的i階垂足三角形△AiBiCi均為銳角三角形，i=1,2,…,n(n∈N*).

證明記

下證：①若i為奇數，且i≤n時，

下證：②若i為偶數，且i≤n時，

故由引理2，可得

又∵當i為偶數時，Bi∈[Ai,Ci]；當i為奇數時，Bi∈[Ci,Ai].

∴△ABC的i階垂足三角形△AiBiCi均為銳角三角形，i=1,2,L,n(n∈N*).

定理2當三角形△ABC滿足條件(1)、(2)、(3)之一：

則△ABC的k階垂足三角形△AkBkCk均為銳角三角形，其中k=1,2,…,n(n∈N*).

證明方法類似定理1，證明過程略.

定理3當三角形滿足以下條件之一：

∴△ABC的k階垂足三角形△AkBkCk均為鈍角三角形,k=1,2,…,n.

堅持“以讀為本”的語文教學傳統，是利用課文學習語言的保障，也是培養學生語感的前提。所以教師在教學本段文章時，引導學生采用形式多樣的方式誦讀，在誦讀中讓學生走進作者的內心世界，感悟作者所描繪的美好畫面和精神世界，從而從中培養語感，熏陶情感，享受語言學習的快樂。

∴△ABC的k階垂足三角形△AkBkCk均為鈍角三角形,k=1,2,…,n.

定理4當銳角三角形△ABC，其中A≤B≤C，滿足以下條件之一：

證明方法類似定理3，證明過程略.

定理5當銳角三角形△ABC，A≤B≤C滿足以下條件之一：

則△ABC只有i階垂足三角形△AiBiCi(i=1,2,…,k)，即△AkBkCk為直角三角形，其中k∈N*.

限于篇幅，此引處證明從略，請有興趣的讀者自行完成.

定理6當三角形B>A滿足以下條件之一：

則△ABC只有i階垂足三角形△AiBiCi(i=1,2,…,k)，即△AkBkCk為直角三角形，其中k∈N*.

證明

故△AiBiCi均為鈍角三角形，i=2,3,…,k-1.

故△AkBkCk為直角三角形.

(2)—(6)證明略.

3 應用舉例

例1若△ABC的三個內角A、B、C的對邊分別為a=2001，b=2013，c=2025，

∵△ABC的三邊長為a=2001，b=2013，c=2025

∴△ABC為銳角三角形.

故由定理1知：△ABC的k階垂足三角形△AkBkCk均為銳角三角形，k=1,2,3,4…

例2若△ABC的內角分別為∵∴△ABC為銳角三角形，且A

故由定理5知，△A7B7C7為直角三角形..

1 朱水源. 垂足三角形序列[J]. 宿州師專學報，1999(2)：5-7

2 黃全福. 垂足三角形的一點思考[J]. 中學數學，1996(1)：37

3 張新民. 古典幾何中的動力系統問題(續3)[J]. 中學數學月刊，2005(1)：1-2,18

4 張新民. 古典幾何中的動力系統問題(續4)[J]. 中學數學月刊，2005(3)：1-2