一個新四維混沌系統的分岔分析

杜文舉，俞建寧，張建剛，安新磊

（蘭州交通大學數理學院，甘肅 蘭州 730070）

18世紀以來，科學家對天體力學、流體力學和非線性振動中的一些失穩現象的研究發現了分岔現象.對于含參數的系統，當參數變動并經過某些臨界值時，系統的拓撲結構發生本質的變化，我們稱這種變化為分岔.Hopf分岔是一類比較簡單但很重要的動態分岔問題.它不僅在動態分岔研究和極限環研究中有著重要的理論價值，而且它密切聯系著自激振動產生的問題，所以在解決實際問題中也有著很廣泛的應用.隨著人們對分岔現象的研究，分岔理論已經取得了很大研究成果.文獻［1］討論了一個混沌系統的霍普夫分岔情況，并通過計算系統的第一Lyapunov系數，判斷了其分岔的方向，對相應的動力系統行為也做了簡要的分析.文獻［2］研究了一個類Lorenz系統，詳細討論了該系統的穩定性，運用第一Lyapunov系數法分析系統平衡點的Hopf分岔情況.文獻［3］通過嚴格的數學推導及數值仿真研究了一個新的類Lorenz系統，得到了平衡點穩定性及Hopf分岔的參數條件，通過對系統的第一Lyapunov系數的分析，推導出系統發生余維二退化Hopf分岔的參數條件.文獻［4］提出了一個新的三維自治類Lorenz系統，理論分析了該系統的動力學特性，并通過數值計算分析了系統在平衡點處的穩定性，以及產生Hopf分岔的條件.目前已經有很多關于這方面的文獻和專著［5－14］，文獻［5］基于一個三維混沌系統構造了一個新的四維超混沌系統，并分析了該系統平衡點的穩定性、吸引子的相圖、系統的分岔圖和Lyapunov指數譜等基本動力學特性.然而，文獻［5］并未對系統的Hopf分岔進行研究，本文將通過中心流形理論和范式理論，對該系統的Hopf分岔行為進行詳細研究.

1 新的四維混沌系統

文獻［5］提出了一個新的四維自治混沌系統，其狀態方程為：

其中：x＝（x，y，z，u）T∈R4為系統的狀態變量；a，b，c，m 是實參數.當參數a＝20，b＝35，c＝5，m＝4時，系統（1）存在一個混沌吸引子，如圖1所示.

圖1 系統（1）在不同空間的吸引子

本文采用 Wolf算法，計算得到系統（1）的4個Lyapunov指數：λ1＝0.3477，λ2＝0.1983，λ3＝0，λ4＝－26.4303.并由Kaplan－Yorke猜想公式，求得Lyapunov維數DKY＝3.02065.系統（1）的時間響應圖、龐加萊截面、Lyapunov指數譜圖及其功率譜圖如圖2所示.

圖2 系統（1）得到的各種譜圖

2 平衡點穩定性分析

令方程組（1）的右邊等于零，即

可以解得系統有唯一的平衡點E0＝（0，0，0，0）.

定理1 如果a＞－1，mb＞0，a（1－b）＞0，c＞0且

這時，平衡點E0漸近穩定.

證明 系統（1）在平衡點E0＝（0，0，0，0）處的Jacobian矩陣為

求得系統（1）在平衡點E0處Jacobian矩陣的特征方程為

根據Routh－Hurwitz判據，可知方程（5）的一切根的實部為負數的必要且充分條件是不等式

成立.所以，當滿足以上條件時，平衡點E0漸近穩定.

定理2 如果方程（5）有一對純虛根λ1，2＝±iω0，并且Re（λ′m（m0））≠0.若有a＞0，b＜0，c＞0，當m穿過臨界值m0時，系統（1）在平衡點E0發生Hopf分岔.

證明 令λ＝iω（ω＞0）為方程（5）的根，則有

分離以上方程的實部和虛部，通過計算有

方程（4）的4個特征值為：

對方程（4）兩邊同時關于m求導，有

根據上式可得

根據文獻［6］中的Hopf分岔理論，可知m0便是分岔的臨界值.假設a＞0，b＜0，c＞0，當m穿過臨界值m0時，系統（1）在平衡點E0發生Hopf分岔.

3 平衡點E0的Hopf分岔分析

在理論分析之前，我們先回顧一下文獻［7］中介紹的對于四維系統Hopf分岔的第一Lyapunov系數的求法.

考慮如下系統

其中x∈R4，ζ∈Rm分別是系統的狀態變量和控制參數.假設系統（7）有一個平衡點x＝x0，ζ＝ζ0，并且變量x－x0仍然記做x，則F（x）＝f（x，ζ0）的泰勒展開式為

其中A＝fx（0，ζ0），并且對i＝1，2，3，4有

假設在平衡點（x0，ζ0）系統（7）的Jacobian矩陣有一對純虛根λ2，3＝±iω0（ω0＞0），并且其他的特征值沒有零實部.

令p，q∈C4滿足

其中AT為A的轉置.則第一Lyapunov系數可以定義為

其中：

I4為4×4的單位矩陣.

當a＞0，b＜0，c＞0，m＝m0時，我們討論平衡點E0處的Hopf分岔.根據（9）式，可以計算得對應于f的線性函數

通過直接的計算可以求得滿足（10）式的特征向量

并且有

其中：

同樣可以得到

其中：

定理3 系統（1）在平衡點E0處的第一Lyapunov系數為

如果l1≠0，則此時系統（1）在平衡點E0處發生非退化的Hopf分岔.如果l1＝0，則系統（1）在平衡點E0處發生余維二的Bautin分岔.

4 數值仿真

為了驗證以上的理論分析，我們選取一組參數：a＝2，b＝－1，可以得到Hopf的臨界值m0＝－12.當m＝－10＞m0時，平衡點是穩定的；當m＝－14＜m0時，平衡點是不穩定的，分別如圖3—5所示.根據前面的結論，并且經過復雜的計算得到l1＝－0.362681＜0，則系統（1）在平衡點E0的Hopf分岔是超臨界的Hopf分岔，并且產生一個穩定的極限環.

當固定參數a＝20，b＝35，m＝4，參數c∈［0，1］變化時，系統（1）的Lyapunov指數譜和關于x的分岔圖如圖6所示.隨著c的不斷變化，系統的Lyapunov指數在變化，系統的狀態也在跟著發生改變.當c∈（0，0.18）時，系統（1）處于擬周期運動狀態.當c∈（0.18，0.4）時，系統（1）處于周期運動狀態.當c∈（0.4，1）時，系統處于混沌狀態.

圖3 當a＝2，b＝－1，c＝5，m＝－10時，系統（1）的時間響應圖（a）和相圖（b）

圖4 當a＝2，b＝－1，c＝5，m＝－12時，系統（1）的時間響應圖（a）和相圖（b）

圖5 當a＝2，b＝－1，c＝5，m＝－14時，系統（1）的時間響應圖（a）和相圖（b）

圖6 參數c變化時系統（1）關于x的分岔圖（a）和Lyapunov指數譜圖（b）

當固定參數a＝20，b＝35，c＝5，參數m∈［50，70］變化時，系統（1）的Lyapunov指數譜和關于x的分岔圖如圖7所示.當m∈（50，55）時，系統（1）處于混沌狀態；當m∈（55，55.8）時，系統（1）處于周期運動狀態；當m∈（55.8，57）時，系統又近于混沌狀態；當m∈（57.59.5）時，系統處于四周期運動狀態；當m∈（59.5，66）時，系統處于二周期運動狀態；當m∈（66，70）時，系統處于一周期運動狀態.當m取不同值時，系統（1）的相圖如圖8所示.

圖7 參數m變化時系統（1）關于x的分岔圖（a）和Lyapunov指數譜圖（b）

固定a＝20，c＝5，系統（1）在平衡點E0的特征多項式為

當b＜1，mb＞0，420（1－b）＞mb時，平衡點E0漸近穩定；當b＜1，mb＞0，420（1－b）＝mb時，滿足Hopf分岔發生的參數條件.令b＝1，mb＝0，420（1－b）－mb＝0，畫出b－m參數空間上平衡點的穩定域，如圖9所示.其中曲線Li，i＝2，3，4分別代表b＝1，mb＝0和420（1－b）－mb＝0，在曲線L4上滿足 Hopf分岔發生的參數條件.區域（Ⅰ）：b＜1，mb＞0，420（1－b）＞mb，在區域（Ⅰ）上平衡點E0漸近穩定，其他區域平衡點E0都不穩定.結合圖9，取b＝－8，則它與L4相交點即為Hopf分岔點，可以求得分岔臨界值m0＝－472.5.此時，系統發生Hopf分岔有一個極限環產生，如圖10b所示.圖10a，c和d分別為取區域（Ⅰ）、區域（Ⅷ）和區域（Ⅵ）中的點所得到的相圖，與圖1的理論分析相符合.

圖8 m取不同值時系統（1）的相圖

圖9 系統（1）在參數平面（b，m）上的穩定域

圖10 系統（1）在b和m不同參數下的相圖

固定b＝35，c＝5，系統（1）在平衡點E0的特征多項式為

當－1＜a＜0，m＞0，－34a（a＋1）＞35m時，平衡點E0漸近穩定；當－1＜a＜0，m＞0，－34a（a＋1）＝35m時，滿足Hopf分岔發生的參數條件.令a＋1＝0，－34a＝0或35，m＝0，－34a（a＋1）－35m＝0，畫出a－m參數空間上平衡點的穩定域，如圖11所示.其中曲線Li，i＝1，2，3，4分別代表a＋1＝0，－34a＝0或35，m＝0和－34a（a＋1）－35m＝0，在曲線L4上滿足Hopf分岔發生的參數條件.區域（Ⅰ）：－1＜a＜0，m＞0，－34a（a＋1）＞35m，在區域（Ⅰ）上平衡點E0漸近穩定，其他區域平衡點E0都不穩定.結合圖11，取a＝－0.5，則它與L4相交點即為 Hopf分岔點，可以求得分岔臨界值m0＝0.24286.此時，系統發生Hopf分岔有一個極限環產生，如圖12b所示.圖12a，c和d分別為取區域（Ⅰ）、區域（Ⅲ）和區域（Ⅶ）中的點所得到的相圖，與圖1的理論分析相符合.

圖11 系統（1）在參數平面（a，m）上的穩定域

圖12 系統（1）在a和m不同參數下的相圖

5 結論

本文通過嚴格的數學推導及數值仿真研究了一個新三維混沌系統，理論分析了該系統的平衡點的穩定性，通過選取適當的分岔參數，證明了當分岔參數經過臨界值時系統發生了Hopf分岔.通過計算系統的第一Lyapunov系數判斷了分岔的方向和穩定性.然后進行了數值模擬，驗證了理論推導的正確性.

［1］彭國俊.一個混沌系統的霍普夫分岔分析［J］.柳州師專學報，2007，22（1）：124－126.

［2］DIAS F S，MELLO L F，ZHANG J G.Nonlinear analysis in a Lorenz－like system ［J］.Nonlinear Analysis Real World Applications，2010，11：3491－3500.

［3］李群宏，徐德貴.一個類Lorenz系統的動力學分析［J］.重慶理工大學學報，2011，25（2）：112－116.

［4］李險峰，張建剛，褚衍東，等.一個新類Lorenz混沌系統的動力學分析及電路仿真［J］.動力學與控制學報，2007，5（4）：324－329.

［5］高智中，韓新風，章毛連.一個新的四維超混沌系統及其電路仿真［J］.東北師大學報：自然科學版，2012，44（1）：77－83.

［6］HASSARD，B D，KAZARINOFF，N D，WAN Y H.Theory and applications of Hopf bifurcation［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1981：1－86.

［7］KUZNETSOV Y A.Elements of applied bifurcation theory［M］.New York：Springer，2004：293－313.

［8］ZHUANG K J.Hopf bifurcation for a new chaotic system ［J］.International Journal of Computational and Mathematical Sciences，2010，4：358－361.

［9］褚衍東，湛寧，安新磊，等.一個具有四翼混沌吸引子的新系統及其參數辨識［J］.蘭州大學學報，2012，48（2）：136－140.

［10］ZHANG K M，YANG Q G.Hopf bifurcation analysis in a 4D－hyperchaotic system ［J］.J Syst Sci Complex，2010，23：748－758.

［11］薛懷慶，彭建奎，王振乾，等.超混沌Lorenz系統的電路模擬與同步［J］.蘭州大學學報，2011，47（5）：117－121.

［12］SPARROW C.The lorenz equations：bifurcations，chaos and strange attractors［M］.New York：Springer Verlag，1982：26－43.

［13］SOTOMAYOR J，MELLO L F，BRAGA D C.Bifurcation analysis of the Watt governor system［J］.Computational ＆ Applied Mathematics，2007，26（1）：19－44.

［14］ZHANG J G，LI X F，CHU Y D，et al.Hopf bifurcations，Lyapunov exponents and control of chaos for a class of centrifugal flywheel governor system［J］.Chaos，Solitons and Fractals.2009，39（5）：2150－2168.