談?wù)劧魏瘮?shù)圖像和性質(zhì)的教學(xué)

馬穎

二次函數(shù)在初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中的地位非常重要，又是學(xué)生難于掌握的教材內(nèi)容.它既聯(lián)系著一元一次方程、一元一次不等式，又是解決極值應(yīng)用題的必要基礎(chǔ).《二次函數(shù)》教學(xué)的重點(diǎn)為二次函數(shù)的圖像性質(zhì)及應(yīng)用，教學(xué)難點(diǎn)為a、b、c與二次函數(shù)的圖像的關(guān)系.因此，必須想方設(shè)法使學(xué)生理解和掌握函數(shù)的圖像和性質(zhì).

例如：為了講清形如y=ax■+bx+c（a≠0）的圖像和性質(zhì)，我采用的教學(xué)程序是：從“拋物線的開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、增減性”循序漸進(jìn)，由特殊到一般的學(xué)習(xí)二次函數(shù)的性質(zhì)，并幫助學(xué)生總結(jié)性地記憶.

（1）首先從系數(shù)具體化的實(shí)例入手.先研究y=2x■及y=-2x■的圖像和性質(zhì)，再看y=2x■+3和y=-2x■-3的圖像和性質(zhì)，并反復(fù)把它們的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸等方面進(jìn)行對照，這部分內(nèi)容中等偏下的學(xué)生容易混淆，需掌握方法，加強(qiáng)記憶，強(qiáng)調(diào)必須利用圖形分析.通過教學(xué)，學(xué)生對建模思想、圖形結(jié)合思想及分類討論思想都有了較清晰的認(rèn)識，學(xué)會了分析問題的初步方法.

在學(xué)生相當(dāng)熟悉的情況下，才提出形如y=2x■-3x+1的函數(shù)的圖像和性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生用配方法將函數(shù)式寫成y=2x■+m的形式，即y=2（x-3/4）■-1/8.由于學(xué)生能熟練地找出y=2x■+3的對稱軸方程是x=0，因此對照上式就容易找出y=2（x-3/4）■-1/8的對稱軸方程是x-3/4=0，即x=3/4.用類比的方法找出這個(gè)二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)（3/4，-1/8），最小值為-1/8，開口方向更是顯而易見.

（2）根據(jù)上述得出的數(shù)據(jù)，可以以x=3/4為中心，選取適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)值列表、描點(diǎn)、畫圖，在畫圖時(shí)處處注意圖像關(guān)于x=3/4的對稱性.

（3）討論圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，與函數(shù)值等于零、大于零、小于零之間的聯(lián)系，對稱軸左右兩側(cè)函數(shù)的增減情況，并利用圖像反復(fù)講清函數(shù)“遞增”及“遞減”的含意.

（4）根據(jù)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)可以求出方程2x■-3x+1=0的兩根，及兩個(gè)交點(diǎn)間的距離，不等式2x■-3x+1>0或2x■-3x+1<0的解集.由于所畫的拋物線開口向上，因此拋物線有最低點(diǎn)（3/4，-1/8），這個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最小值y=-1/8，這需要反復(fù)強(qiáng)調(diào).

（5）啟發(fā)學(xué)生從特殊的函數(shù)y=2x■-3x+1的研究中能推廣到一般的二次函數(shù)y=ax■+bx+c（a≠0）配方法：

y=ax■+bx+c=a（x■+bx/a+c/a）=a[x■+bx/a+（b/2a）■-（b/2a）■+c/a]=a[（x+b/2a）■+（4ac-b■）/4a■]=a（x+b/2a）■+（4ac-b■）/4a

此時(shí)，拋物線的開口方向、對稱軸方程、頂點(diǎn)坐標(biāo)和極值也容易得到了，并要求學(xué)生作為公式牢牢記住：頂點(diǎn)坐標(biāo)（-b/2a，（4ac-b■）/4a），對稱軸方程x=-b/2a，極值y=（4ac-b■）/4a，并找出頂點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)與對稱軸、極值的關(guān)系.

這樣，通過“畫圖—觀察—聯(lián)系—?dú)w納”的方法逐步培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)函數(shù)的圖像尋找規(guī)律，解決問題的能力，從而提高總結(jié)歸納和分析問題、解決問題的能力.在建構(gòu)概念的過程中，讓學(xué)生體驗(yàn)從問題出發(fā)到列二次函數(shù)解析式的過程，體驗(yàn)用函數(shù)思想描述、研究變量之間變化規(guī)律的意義.

之后給出習(xí)題讓學(xué)生解：

二次函數(shù)y=2x■+bx+c與y軸的交點(diǎn)為（0，3），圖像的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，-1），（1）求這個(gè)二次函數(shù)圖像與x軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離；（2）將此圖像向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到一個(gè)新的二次函數(shù)的圖像，求新的二次函數(shù)的解析式；（3）設(shè)新的二次函數(shù)的頂點(diǎn)為C，若以A為圓心，AC為半徑畫圓，與y軸交于點(diǎn)B，D，求Cos∠BAD的值.

很多學(xué)生能利用已知條件畫出草圖，進(jìn)行分析，從而能迅速得出：

（1）由題意：①a·0■+b·0+c=3②-b/2a=2③（4ac-b■）/4a=-1，并解得a=1，b=-4，c=3，順利地寫出了解析式y(tǒng)=x■-4x+3.

還有部分學(xué)生能根據(jù)條件：頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出了y=a（x-2）■-1的函數(shù)關(guān)系式，再以（0，3）代入即得a=1，得函數(shù)式y(tǒng)=（x-2）■-1=x■-4x+3.

學(xué)生還能靈活地運(yùn)用因式分解法把以上函數(shù)式寫成y=（x-3）（x-1）的形式，從而找到了函數(shù)圖像與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，于是交點(diǎn)間的距離顯而易見，為|3-1|=2.

（2）把函數(shù)式寫成y=（x-2）■-1后再按條件平移，實(shí)際上只要把頂點(diǎn)A（2，-1）向左平移2個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位，得新的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（0，0），也就不難得到新的函數(shù)解析式為y=x■.

（3）以A為圓心，AC為半徑畫圓，則BD=2，AB=AD=■，∴Cos∠BAD=3/5.

經(jīng)過練習(xí)發(fā)現(xiàn)：大部分學(xué)生都能運(yùn)用草圖進(jìn)行分析，找出解題途徑，在得出數(shù)據(jù)以后又能正確地畫出函數(shù)的圖像，能利用數(shù)形結(jié)合提高解題能力；部分?jǐn)?shù)學(xué)基礎(chǔ)相對較差的學(xué)生在老師的啟發(fā)、引導(dǎo)下也能找出條件，解決該題中的基本問題，收到了良好的分層次教學(xué)效果.