行列式與等式證明

吳捷云

摘 要： 行列式是一個重要的數學工具，在眾多的科學技術領域內有十分廣泛的應用.本文介紹行列式在等式證明中的若干應用.

關鍵詞： 行列式 等式證明 應用

行列式是一個重要的數學工具，在眾多的科學技術領域內有十分廣泛的應用.本文主要介紹行列式在等式證明中的應用.等式證明在初等代數中占有一定的地位，利用行列式的性質解決某些等式證明問題，能達到事半功倍的效果.

一個元素含有字母x■，x■，…，x■的行列式可以看做是x■，x■，…，x■的多項式.反過來，一個多項式f（x■，x■，…，x■）可以寫成元素含有字母x■，x■，…，x■的行列式.利用行列式的性質，對行列式進行恒等變形（不改變行列式的值），即可以導出多項式f（x■，x■，…，x■）的一個恒等變形，從而完成等式的證明.

例1：已知a+b+c=0，證明a■+b■+c■=3abc.

證：a■+b■+c■-3abc=a？搖？搖？搖b？搖？搖？搖cc？搖？搖？搖a？搖？搖？搖bb？搖？搖？搖c？搖？搖？搖ar■+r■=r■+r■a+b+c？搖？搖？搖a+b+c？搖？搖？搖a+b+c？搖 c？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖a？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖b？搖？搖？搖？搖？搖b？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖c？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖a？搖=0？搖？搖？搖0？搖？搖？搖0c？搖？搖？搖a？搖？搖？搖bb？搖？搖？搖c？搖？搖？搖a=0.

故a■+b■+c■=3abc.

例2：已知ax+bz+cy=1，ay+bx+cz=2，az+by+cy=3，證明（a■+b■+c■-3abc）（x■+y■+z■-3xyz）=18.

證：（a■+b■+c■-3abc）（x■+y■+z■-3xyz）

=a？搖？搖？搖b？搖？搖？搖cc？搖？搖？搖a？搖？搖？搖bb？搖？搖？搖c？搖？搖？搖ax？搖？搖？搖y？搖？搖？搖zz？搖？搖？搖x？搖？搖？搖yy？搖？搖？搖z？搖？搖？搖x=a？搖？搖？搖b？搖？搖？搖cc？搖？搖？搖a？搖？搖？搖bb？搖？搖？搖c？搖？搖？搖ax？搖？搖？搖y？搖？搖？搖zz？搖？搖？搖x？搖？搖？搖yy？搖？搖？搖z？搖？搖？搖x

=ax+bz+cy？搖？搖？搖ay+bx+cz？搖？搖？搖az+by+cxaz+by+cx？搖？搖？搖ax+bz+cy？搖？搖？搖ay+bx+czay+bx+cz？搖？搖？搖az+by+cx？搖？搖？搖ax+bz+cy

=1？搖？搖？搖2？搖？搖？搖33？搖？搖？搖1？搖？搖？搖22？搖？搖？搖3？搖？搖？搖1=18.

例3：已知ax+by=1，bx+cy=1，cx+ay=1，證明ab+bc+ca=a■+b■+c■.

證：ab+bc+ca-（a■+b■+c■）

=a？搖？搖？搖b？搖？搖？搖-1c？搖？搖？搖a？搖？搖？搖-1b？搖？搖？搖c？搖？搖？搖-1c■+xc■=C■+yc■a？搖？搖？搖b？搖？搖？搖ax+by-1c？搖？搖？搖a？搖？搖？搖cx+ay-1b？搖？搖？搖c？搖？搖？搖bx+cy-1=a？搖？搖？搖b？搖？搖？搖0c？搖？搖？搖a？搖？搖？搖0b？搖？搖？搖c？搖？搖？搖0=0.

故ab+bc+ca=a■+b■+c■.

例4：若（z-x）■-4（x-y）（y-z）=0，求證：x，y，z成等差數列.

證：由（z-x）■-4（x-y）（y-z）=0，有

？搖？搖z-x？搖？搖？搖？搖2x-2y2y-2z？搖？搖？搖？搖？搖z-x=？搖？搖？搖？搖z+x-2y？搖？搖？搖？搖？搖2x-2y-（z+x-2y）？搖？搖？搖？搖z-x=（z+x-2y）？搖1？搖？搖？搖2x-2y-1？搖？搖？搖？搖z-x

=（z+x-2y）■=0.

可得

z+x-2y=0.

即

z+x=2y.

所以x，y，z成等差數列.

例5：已知ax■+bx+c=0，px■+qx+r=0，證明（cp-ra）■=（br-qc）（aq-pb）.

證：根據已知條件，c=-ax■-bx，r=-px■-qx，有

cp-ra？搖？搖？搖？搖？搖aq-pbbr-qc？搖？搖？搖？搖？搖cp-ra

=-apx■-bpx+pax■+qax？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖aq-pb-bpx■-bqx+aqx■+bqx？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖-apx■-bpx+pax■+qax

=？搖x（aq-pb）？搖？搖？搖？搖？搖？搖aq-pbx■（aq-pb）？搖？搖？搖？搖x（aq-pb）=0.

則

（cp-ra）■-（aq-pb）（br-qc）=0.

即

（cp-ra）■=（aq-pb）（br-qc）.

參考文獻：

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