拋物線中過定點的一個推廣

容升軍

我們知道拋物線中有一個過定點定理：過拋物線y2=2px（p>0）的頂點O（0，0）作兩條垂直的直線OP、OQ分別交拋物線于P、Q兩點，則直線PQ必過定點B（2p，0）.如果把定理中的“頂點”改為“拋物線上一特殊點A（a，b）”，那么直線PQ又會過哪個定點呢？

【例題】（2013年吉安市一模考試試題）已知拋物線y2=4x上的一個點A（1，2），過A作兩條垂直的直線AP、AQ分別交拋物線于P、Q兩點，則原點O到直線PQ的最大距離為.

解析：設P（y2114，y1），Q（y2214，y2），由AP·AQ=0.

得（y2114-1，y1-2）·（y2214-1，y2-2）=0.

∴（y1-2）（y2-2）[（y1+2）（y2+2）+16]=0.

即y1y2+2（y1+y2）+20=0.

直線PQ的方程：y-y11y2-y1=x-y21141y2214-y2114=4x-y211（y2+y1）（y2-y1）.

∴y=4x1y2+y1+y1y21y2+y1=4x1y2+y1+-2（y1+y2）-201y2+y1=41y2+y1（x-5）-2.

故直線PQ必過定點B（5，-2），所以原點O到直線PQ的最大距離為52+（-2）2=29.

如果把定理中的“頂點”改為“拋物線上任意一點A（m，n）”，那么直線PQ又會過哪個定點呢？

解析：由A（m，n）在拋物線上得m=n212p，則

A（n212p，n），設P（y2112p，y1），Q（y2212p，y2）.

由AP·AQ=0得（y2112p-n212p，y1-n）·（y2212p-n212p，y2-n）=0.

∴（y1-n）（y2-n）[（y1+n）（y2+n）+4p2]=0，即y1y2+n（y1+y2）+4p2+n2=0.

而直線PQ的方程：y-y11y2-y1=x-y2112p1y2212p-y2112p=2px-y211（y2+y1）（y2-y1）.

∴y=2px1y2+y1+y1y21y2+y1=2px1y2+y1+-n（y1+y2）-4p2-n21y2+y1=2p1y2+y1[x-（2p+n212p）]-n.

顯然PQ直線過定點B（2p+n212p，-n），

即B（2p+m，-n）.

得出定理：過拋物線y2=2px（p>0）上任意一點A（m，n）作兩條垂直的直線AP、AQ分別交拋物線于P、Q兩點，則直線PQ必過定點B（2p+m，-n）.

對于拋物線的其他形式也有相似的結論.

（責任編輯黃桂堅）

3.學生自學之后，開展小組合作學習.由于學生的個體差異，在自學過程中，學生對知識的理解程度各不一樣.因此學生自學完后，教師不要急于講解，應留一定的時間，讓學生針對自學過程中所遇到的問題互相交流、互相探討，培養學生的自主學習能力.

四、把握評價的有效性

1.評價要自然、真誠.教育需要賞識，發現孩子身上的閃光點，要肯定孩子的優點.只有發自肺腑的表揚，才能觸動學生的心靈，喚起他們積極向上的人生態度.

2.評價要創新、多變.單一重復的評價語會讓學生感到厭倦乏味.所以教師最好能廣泛收集，加強積累，使評價用語不斷更換，常用常新.課堂上使用起來信手拈來，機智善變，時時給學生于不同時空、不同情境、不同對象、不同表現而迥異的評價語，讓學生聽而不厭.

3.評價要指明改進方向.課堂評價，應以學生為本，關注學生的發展，發揮評價的矯正功能，促使學生在原有水平上提高和發展.要有所發展，就須明確改進的方向.對學生課堂表現優劣的判定是需要的，但提出相應的改進或調整的方法更為重要.

4.評價要肯定、準確.有時，教師為了樹立下等生的自信心，在教學過程中給他們一些表現的機會，從而給予鼓勵性的評價.教師在作出評價時，一定要實事求是，不能夸大其詞，而且要語言準確，忌模糊不清.

通過這幾年的教學實踐與合理的分組實驗，學生的學習能力都有不同程度的提高，今后筆者將繼續關注如何提高小組合作學習的有效性，讓課堂真正成為全體學生的課堂，讓每個學生都成為課堂的主人，全面提高學生的數學成績.

（責任編輯黃桂堅）endprint

我們知道拋物線中有一個過定點定理：過拋物線y2=2px（p>0）的頂點O（0，0）作兩條垂直的直線OP、OQ分別交拋物線于P、Q兩點，則直線PQ必過定點B（2p，0）.如果把定理中的“頂點”改為“拋物線上一特殊點A（a，b）”，那么直線PQ又會過哪個定點呢？

【例題】（2013年吉安市一模考試試題）已知拋物線y2=4x上的一個點A（1，2），過A作兩條垂直的直線AP、AQ分別交拋物線于P、Q兩點，則原點O到直線PQ的最大距離為.

解析：設P（y2114，y1），Q（y2214，y2），由AP·AQ=0.

得（y2114-1，y1-2）·（y2214-1，y2-2）=0.

∴（y1-2）（y2-2）[（y1+2）（y2+2）+16]=0.

即y1y2+2（y1+y2）+20=0.

直線PQ的方程：y-y11y2-y1=x-y21141y2214-y2114=4x-y211（y2+y1）（y2-y1）.

∴y=4x1y2+y1+y1y21y2+y1=4x1y2+y1+-2（y1+y2）-201y2+y1=41y2+y1（x-5）-2.

故直線PQ必過定點B（5，-2），所以原點O到直線PQ的最大距離為52+（-2）2=29.

如果把定理中的“頂點”改為“拋物線上任意一點A（m，n）”，那么直線PQ又會過哪個定點呢？

解析：由A（m，n）在拋物線上得m=n212p，則

A（n212p，n），設P（y2112p，y1），Q（y2212p，y2）.

由AP·AQ=0得（y2112p-n212p，y1-n）·（y2212p-n212p，y2-n）=0.

∴（y1-n）（y2-n）[（y1+n）（y2+n）+4p2]=0，即y1y2+n（y1+y2）+4p2+n2=0.

而直線PQ的方程：y-y11y2-y1=x-y2112p1y2212p-y2112p=2px-y211（y2+y1）（y2-y1）.

∴y=2px1y2+y1+y1y21y2+y1=2px1y2+y1+-n（y1+y2）-4p2-n21y2+y1=2p1y2+y1[x-（2p+n212p）]-n.

顯然PQ直線過定點B（2p+n212p，-n），

即B（2p+m，-n）.

得出定理：過拋物線y2=2px（p>0）上任意一點A（m，n）作兩條垂直的直線AP、AQ分別交拋物線于P、Q兩點，則直線PQ必過定點B（2p+m，-n）.

對于拋物線的其他形式也有相似的結論.

（責任編輯黃桂堅）

3.學生自學之后，開展小組合作學習.由于學生的個體差異，在自學過程中，學生對知識的理解程度各不一樣.因此學生自學完后，教師不要急于講解，應留一定的時間，讓學生針對自學過程中所遇到的問題互相交流、互相探討，培養學生的自主學習能力.

四、把握評價的有效性

1.評價要自然、真誠.教育需要賞識，發現孩子身上的閃光點，要肯定孩子的優點.只有發自肺腑的表揚，才能觸動學生的心靈，喚起他們積極向上的人生態度.

2.評價要創新、多變.單一重復的評價語會讓學生感到厭倦乏味.所以教師最好能廣泛收集，加強積累，使評價用語不斷更換，常用常新.課堂上使用起來信手拈來，機智善變，時時給學生于不同時空、不同情境、不同對象、不同表現而迥異的評價語，讓學生聽而不厭.

3.評價要指明改進方向.課堂評價，應以學生為本，關注學生的發展，發揮評價的矯正功能，促使學生在原有水平上提高和發展.要有所發展，就須明確改進的方向.對學生課堂表現優劣的判定是需要的，但提出相應的改進或調整的方法更為重要.

4.評價要肯定、準確.有時，教師為了樹立下等生的自信心，在教學過程中給他們一些表現的機會，從而給予鼓勵性的評價.教師在作出評價時，一定要實事求是，不能夸大其詞，而且要語言準確，忌模糊不清.

通過這幾年的教學實踐與合理的分組實驗，學生的學習能力都有不同程度的提高，今后筆者將繼續關注如何提高小組合作學習的有效性，讓課堂真正成為全體學生的課堂，讓每個學生都成為課堂的主人，全面提高學生的數學成績.

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我們知道拋物線中有一個過定點定理：過拋物線y2=2px（p>0）的頂點O（0，0）作兩條垂直的直線OP、OQ分別交拋物線于P、Q兩點，則直線PQ必過定點B（2p，0）.如果把定理中的“頂點”改為“拋物線上一特殊點A（a，b）”，那么直線PQ又會過哪個定點呢？

【例題】（2013年吉安市一模考試試題）已知拋物線y2=4x上的一個點A（1，2），過A作兩條垂直的直線AP、AQ分別交拋物線于P、Q兩點，則原點O到直線PQ的最大距離為.

解析：設P（y2114，y1），Q（y2214，y2），由AP·AQ=0.

得（y2114-1，y1-2）·（y2214-1，y2-2）=0.

∴（y1-2）（y2-2）[（y1+2）（y2+2）+16]=0.

即y1y2+2（y1+y2）+20=0.

直線PQ的方程：y-y11y2-y1=x-y21141y2214-y2114=4x-y211（y2+y1）（y2-y1）.

∴y=4x1y2+y1+y1y21y2+y1=4x1y2+y1+-2（y1+y2）-201y2+y1=41y2+y1（x-5）-2.

故直線PQ必過定點B（5，-2），所以原點O到直線PQ的最大距離為52+（-2）2=29.

如果把定理中的“頂點”改為“拋物線上任意一點A（m，n）”，那么直線PQ又會過哪個定點呢？

解析：由A（m，n）在拋物線上得m=n212p，則

A（n212p，n），設P（y2112p，y1），Q（y2212p，y2）.

由AP·AQ=0得（y2112p-n212p，y1-n）·（y2212p-n212p，y2-n）=0.

∴（y1-n）（y2-n）[（y1+n）（y2+n）+4p2]=0，即y1y2+n（y1+y2）+4p2+n2=0.

而直線PQ的方程：y-y11y2-y1=x-y2112p1y2212p-y2112p=2px-y211（y2+y1）（y2-y1）.

∴y=2px1y2+y1+y1y21y2+y1=2px1y2+y1+-n（y1+y2）-4p2-n21y2+y1=2p1y2+y1[x-（2p+n212p）]-n.

顯然PQ直線過定點B（2p+n212p，-n），

即B（2p+m，-n）.

得出定理：過拋物線y2=2px（p>0）上任意一點A（m，n）作兩條垂直的直線AP、AQ分別交拋物線于P、Q兩點，則直線PQ必過定點B（2p+m，-n）.

對于拋物線的其他形式也有相似的結論.

（責任編輯黃桂堅）

3.學生自學之后，開展小組合作學習.由于學生的個體差異，在自學過程中，學生對知識的理解程度各不一樣.因此學生自學完后，教師不要急于講解，應留一定的時間，讓學生針對自學過程中所遇到的問題互相交流、互相探討，培養學生的自主學習能力.

四、把握評價的有效性

1.評價要自然、真誠.教育需要賞識，發現孩子身上的閃光點，要肯定孩子的優點.只有發自肺腑的表揚，才能觸動學生的心靈，喚起他們積極向上的人生態度.

2.評價要創新、多變.單一重復的評價語會讓學生感到厭倦乏味.所以教師最好能廣泛收集，加強積累，使評價用語不斷更換，常用常新.課堂上使用起來信手拈來，機智善變，時時給學生于不同時空、不同情境、不同對象、不同表現而迥異的評價語，讓學生聽而不厭.

3.評價要指明改進方向.課堂評價，應以學生為本，關注學生的發展，發揮評價的矯正功能，促使學生在原有水平上提高和發展.要有所發展，就須明確改進的方向.對學生課堂表現優劣的判定是需要的，但提出相應的改進或調整的方法更為重要.

4.評價要肯定、準確.有時，教師為了樹立下等生的自信心，在教學過程中給他們一些表現的機會，從而給予鼓勵性的評價.教師在作出評價時，一定要實事求是，不能夸大其詞，而且要語言準確，忌模糊不清.

通過這幾年的教學實踐與合理的分組實驗，學生的學習能力都有不同程度的提高，今后筆者將繼續關注如何提高小組合作學習的有效性，讓課堂真正成為全體學生的課堂，讓每個學生都成為課堂的主人，全面提高學生的數學成績.

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