體驗過程 感悟思想

修煥然

［摘要］ 在小學數學課堂活動中，要求教師在教學中引導學生建立數學模型，讓學生在進行探究性學習的過程中建立數學模型，并不斷修正建立的模型使其完善，最終用建立的數學模型去分析、解決生活中的問題.

［關鍵詞］ 引導；探究；修正；應用；數學模型思想

《義務教育數學課程標準》（2011版）明確指出：“在數學教學中應引導學生感悟建模過程，發展模型思想. ”數學模型思想是用數學來講述現實世界的典型問題，是數學應用的一種表現形式，它構建起了數學與現實世界的橋梁，是建立數學模型并用于解決現實問題的過程. 透過建模活動，學生可以找出隱藏在生活中的數學概念，從而簡化錯綜復雜的實際問題，并把它抽象為合理的數學結構. 客觀地說，數學活動如果深入到“模型”“建模”的意義，最終就能成為一種真正的數學學習. 下面，筆者結合人教版五年級下冊“分數的基本性質”一課中的幾個片段，談談如何讓學生體驗建模過程，感悟數學模型思想.

■ 引模，啟動參與活動的動機

數學概念的建立需要表象作為支撐，引導學生從生活情境中抽象出數學問題是數學建模的起點. 在建模活動過程中，教師要善于設計問題情境以引發學生的動機，促進其參與并采取行動. 從實用的角度上分析，數學建模活動發展于真實的生活里，所建構的數學模型不僅要還原問題的真實面貌，同時這樣的模式要提供一套解題策略以解決生活中關于數學的問題；從心理的角度來考慮，數學建模活動源自學生實際的生活情境，且貼近學生生活的情境才能激發其內需，使其感興趣地快速進入活動議題.

［片段一］

課件出示：學校給五年級三個班安排衛生區，輔導員吳老師把操場平均分成4份，五（1）班掃其中的1份；把操場平均分成8份，五（2）班掃其中的2份；把操場平均分成12份，五（3）班掃其中的3份. 這時三個班的同學議論起來了，“不行，我班掃的地方多！”“不公平，掃的地方不一樣多！”“嘻嘻，老師向著我們班，我們掃的最少. ”“老師偏心. ”……同學們，你們有什么話想說？

生1：我覺得五（3）班掃的地方多，因為他們班掃了3份.

生2：我覺得不能這樣比，三個班雖然掃的份數不一樣，但是平均分的份數也不一樣.

生3：我認為，五（1）班掃的是操場的1/4，五（2）班掃的是操場的2/8，五（3）班掃的是操場的3/12，我們只要比較這三個分數的大小就可以知道誰的范圍大了.

……

師：真棒！同學們能在生活中找到并歸納數學問題，下面我們就來比比這三個分數的大小，驗證自己的想法.

在這個片段中，我提供了“學校安排衛生區”的生活情境，并以此為支撐，啟動教學，學生解讀情境后產生“三個班的范圍是不是一樣多”的生活問題，再從中提煉并抽象出“只要比較這三個分數的大小就可以了”這個數學問題，達到從生活情境過渡到數學這一目的.

在過去的教學活動中，往往問題用文字形式由教材或教師直接呈現，造成學生搜集、整理信息，發現、提出問題的能力薄弱. 因此，我們要重視學生在復雜的情境中篩選有效信息的能力，讓學生從情境所顯示的信息中去感知數學結構，并在問題情境中主動測量、察覺、綜合其中的數、量、形等數據. 學生在這種現實的、趣味的、開放的問題情境吸引下，主動地去發現問題、提出問題，從而生成完整的數學問題.

■ 探摸，啟導構建結構的途徑

數學家懷特海對數學模型思想有精辟的概括：“數學是從模式化的個體作抽象的過程中對模式進行的研究”. 因此，數學建模活動應該是一個主動而個性化的過程，在教學時要善于引導學生自主探究、合作交流，對學習過程、學習材料、學習發現主動歸納、提升，從而建構出數學模型.

［片段二］

師：你可以選擇學具包里面的材料（正方形紙、繩子、小棒等），也可以用其他方式、方法，先思考如何驗證自己的想法，再小組討論如何進行操作.

學生思考并小組討論. （教師參與學生討論）

師：很好，下面我們一起來動手并用事實驗證自己的想法.

學生自主操作后匯報.

生1：我們是用折的辦法，即折疊正方形紙并分別用陰影表示1/4，2/8，3/12，結果發現這三個分數大小相等.

生2：我們通過畫線段圖來說明，即用一條線段代表單位“1”，標示出1/4，2/8，3/12，也發現這三個分數相等.

生3：我們是用擺小棒來演示的，用12根小棒表示單位“1”，擺出這三個分數后，發現它們相等.

生4：我們是用計算的方法，根據剛剛學習的分數與除法的關系，1/4＝1÷4＝0.25，2/8＝2÷8＝0.25，3/12＝3÷12＝0.25，它們的值相等.

……

師：同學們的辦法都很好，我們再來看看用正方形陰影部分的大小來比較這三個分數的大小.

師通過課件演示比較三個分數大小的過程.

師：通過剛才的操作，我們發現了這三個分數大小相等. （板書1/4=2/8=3/12）請認真觀察，這三個分數的分子、分母是怎樣變化的？你發現了什么規律或結論？

（生思考、討論后匯報）

生1：我是從左向右觀察的，我發現分子和分母都同時擴大2倍或3倍，分數的大小不變.

生2：我從右往左看，發現分子和分母同時除以2或3，分數的大小不變.

生3：我覺得和以前學的商不變的規律類似.

師：誰可以綜合他們的觀點？

生4：我認為用一句話來概括就可以了，即分子和分母乘或除以一個數，分數的大小不變.

在這個片段中，我先讓學生明確比較三個分數的大小這個探究要求，并在自主探究過程中讓他們充分體驗操作實驗、觀察分析、歸納總結的探究方法；在多種探究策略中重點引導學生通過圖形的方式比較三個分數的大小，幫助學生構建分數的基本性質的圖形模型；再展示實驗結果，然后通過觀察和分析三個分數分子與分母的變化規律，結合已有經驗，學生初步建構出分數的基本性質的概念模型.

解決問題活動的價值不單是呈現最后的結論，而是在解決實際問題的過程中，學生運用模擬、操作、觀察、比較、分析、推演、綜合等解決問題的基本策略，突出數形結合、數學模型等數學思想方法，通過學生有效探究“解決問題”的全過程，達到構建數學模型、解決實際問題的實效.

■ 修模，啟發調整偏差的思考

得到初步的數學模型后，應該從數學上的分析結果回到實際問題，用實際的現象、數據去比較與檢驗模型的合理性和適用性，這一步對于建模的成敗至關重要. 教師要在教學活動中嚴肅、認真地對待，引導學生不斷地修正數學模型，使其完善.

［片段三］

師：對這位同學的結論，其他同學還有沒有話說？

生小聲討論.

生1：我想說，分數的分母不能是0，如果乘或除以0，那這個分數就沒意義了，這句話應補充“0除外”.

師：回憶一下商不變的規律，想想還有什么話想說？

生2：還應該加上“同時”兩個字，不能一個擴大、一個縮小.

生3：對，還應添上“相同的數”，如果分子乘2，分母乘3，那分數大小就改變了.

師：那現在這句話應怎么說才完整呢？

生4：分數的分子和分母同時乘或除以相同的數（0除外），分數的大小不變.

師：你們能在草稿本上舉幾個例子說明嗎？

生在本上舉例并互相驗證.

師：我們就把今天發現的這個規律叫做分數的基本性質.

學生在探究中得到的初步結論或不完整，或不準確，我在教學活動中進一步組織學生討論，引導學生反思總結，不斷修正完善，最終得到分數的基本性質這一概念模型.

教材文本中往往提供了經過加工的合理素材，缺乏檢驗的必要性. 但結合實際來檢驗結果，也是教學時容易忽視的地方. 所以教師在教學中要結合實際，將得到的數學結果放到實際情境中去檢驗，通過修改、補充、假設等重新建模，直到檢驗結果獲得滿意.

■ 用模，啟誘回歸應用的歸宿

數學模型一旦建立，就應該對其進行合理的釋義與運用，才能使數學模型具有生命活力. 學生用數學模型來解答實際問題，從中體會數學模型的實際功效，體驗知識的應用價值，才是我們建立數學模型的初衷.

［片段四］

師：請同學們說說自己根據分數的基本性質舉的例子.

學生展示自己所舉的分數相等的例子，并用分數的基本性質說明自己的思路.

師出示：我班2/5的人參加了數學興趣小組，4/10的人參加了作文興趣小組，哪個小組人數多？

生思考后回答并說明理由.

師：請寫出和4/6相等的分數，比比看誰寫得多.

生寫分數后匯報.

……

學生明白了問題、抽象出了概念，并不等于掌握得牢固、理解得深刻，還須有一個知識的內化過程. 教師應通過多形式的訓練促使學生對數學知識掌握的進一步飛躍，并在實際生活中發展數學知識和能力，在實際運用知識的過程中認識新問題、融合新知識、構建自己的知識結構體系，促使學生的能力在認識數學概念過程中得到發展.

數學模型的建立不是最終目的，而是讓學生形成數學技能，建立思維方法，反過來去解決問題，理解并形成數學化的思想才是根本目的. 學生感悟模型思想要經過一個長期的過程，這就要求教師要精心設計教學活動，在教學活動中把數學的構建過程展示給學生，讓學生體驗數學模型的形成過程和作用，把數學建模思想落實到數學課堂教學中.