淺談初中生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)

周永軍

［摘要］ 數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)與其他學(xué)科知識(shí)進(jìn)行有效融合，不僅提高了學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的系統(tǒng)性、熟練性、運(yùn)用性，還能提高學(xué)生的應(yīng)試水平和發(fā)展多元化的能力.

［關(guān)鍵詞］ 初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模；函數(shù)；能力；培養(yǎng)

《初中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)要致力于學(xué)生思維的培養(yǎng)、動(dòng)手能力的提高，以及注重其數(shù)學(xué)實(shí)際運(yùn)用能力，將形式化的數(shù)學(xué)通過學(xué)生主動(dòng)的建構(gòu)和自我認(rèn)知，形成牢固的知識(shí)體系，并能在實(shí)際問題中熟練運(yùn)用． 結(jié)合筆者教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)實(shí)際運(yùn)用能力相對于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)知識(shí)而言，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)應(yīng)用型問題和數(shù)學(xué)建模之上．何為數(shù)學(xué)建模呢？用數(shù)學(xué)教育家佛萊登塔爾的話來說：就是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)換為一種抽象情境下的數(shù)學(xué)問題，通過解決數(shù)學(xué)問題進(jìn)而解決實(shí)際問題的一種模式，其基本思路如圖1所示.

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程比較注重理論性的數(shù)學(xué)知識(shí)，并且過于注重知識(shí)的連接性和反復(fù)性、熟練性，久而久之形成了我國特有的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)特色：即扎實(shí)的雙基、創(chuàng)新的不足以及動(dòng)手能力的缺失． 近年來，新課程持續(xù)的開展正是為了解決上述問題，在教材中較多的出現(xiàn)了以應(yīng)用型問題為背景的數(shù)學(xué)試題，這正是數(shù)學(xué)建模在初中數(shù)學(xué)中較為合理的表現(xiàn)形式． 下面，筆者結(jié)合蘇教版實(shí)際教學(xué)案例，淺談初中生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)．

■ 從幾何圖形中培養(yǎng)建模思想

例1如圖2所示，一個(gè)長方體形的木柜放在墻角處（與墻面和地面均沒有縫隙），有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角C1處．（1）請你畫出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑. （2）當(dāng)AB=4，BC=4，CC1=5時(shí)，求螞蟻爬過的最短路徑的長. （3）求點(diǎn)B1到最短路徑的距離．

分析?搖 本題為中考原型問題，其將“教材最基本的對稱模型思想”放到一個(gè)具體的幾何圖形模型中，解決此問題的關(guān)鍵是指導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題（空間幾何）轉(zhuǎn)化為平面問題，利用對稱最短路徑思想基本原型求解．在這里，我們將實(shí)際問題螞蟻爬行的最短路徑轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型：兩定點(diǎn)之間的最短距離問題．

解析?搖 （1）如圖3所示，木柜的可見表面展開圖是兩個(gè)矩形，即ABC1′D1和ACC1A1． 螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑有如圖3所示的AC1′和AC1.

（2）螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段A1B1到C1，爬過的路徑的長l1=■=■，螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段BB1到C1，爬過的路徑的長是l2=■=■，l1>l2，最短路徑的長是l2=■．

（3）作B1E⊥AC1于點(diǎn)E，則B1E=■·AA1=■·5=■■為所求．

說明?搖 本題以實(shí)際應(yīng)用型問題為背景，將距離和最值隱藏于問題的情境之中，其建模的角度在于，要求學(xué)生以教材中最基本的模型知識(shí)為保障，在分析最值可能產(chǎn)生的前提下，將螞蟻爬行的幾何圖形問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)建模之后的距離最小問題，即兩邊之和的最小值問題．

下面來看看教材中本實(shí)際問題的數(shù)學(xué)原型：（1）點(diǎn)M，N在直線AB的異側(cè)，在AB上找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)M，N的距離和最小．

解決方法：如圖4所示，利用三角形兩邊之和大于第三邊可知，三點(diǎn)共線時(shí)距離和最小．

（2）已知點(diǎn)M，N在直線AB的同側(cè)，在AB上找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)M，N的距離和最小．

解決方法：將同側(cè)點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為異側(cè)點(diǎn)問題，作點(diǎn)M關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)，問題轉(zhuǎn)化為教材基本模型（如圖5所示）．

因此，培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為抽象數(shù)學(xué)問題是值得教師不斷研究的．

■ 從動(dòng)態(tài)問題中培養(yǎng)建模思想

例2如圖6所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，一只毛毛蟲（P）從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，一只蝸牛（Q）從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，毛毛蟲（P）、蝸牛（Q）分別從D，C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)蝸牛運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，毛毛蟲隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

（1）設(shè)△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以B，P，Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？

分析?搖 本題為背景經(jīng)過包裝的實(shí)際應(yīng)用型問題，其實(shí)質(zhì)是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題，在教學(xué)過程中教師要引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)本質(zhì)挖掘出來，使其躍然紙上． 在解決問題的過程中，分類討論數(shù)學(xué)思想也是必不可少的．

解析?搖 （1）由圖可知，S=■×12×（16－t）=96－6t．

（2）由圖可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B，P，Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，分三種情況：

①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ 2=t 2+12 2，由PQ 2=BQ 2，得t 2+12 2=（16－t） 2，解得t=■．

②若BP=BQ，在Rt△PMB中，BP 2=（16－2t） 2+12 2，由BP 2=BQ 2，得（16－2t） 2+12 2=（16－t） 2，無解，所以BP≠BQ．

③ 若PB=PQ，由PB 2=PQ 2得（16－2t） 2+12 2=t 2+12 2，解得t■=■，t■=16（不合題意，舍去）．

綜合上面討論可知，當(dāng)t=■秒或t=■秒時(shí)，以B，P，Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．

說明?搖 實(shí)際應(yīng)用型問題在去情境時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生掌握抽象的數(shù)學(xué)化本質(zhì). 正確處理中考中常見動(dòng)態(tài)應(yīng)用型問題，有助于提高其“去情境、知本質(zhì)”的數(shù)學(xué)建模思想．在轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題之后，問題所需要的基礎(chǔ)知識(shí)是一種動(dòng)態(tài)函數(shù)的思想，正確的分類和運(yùn)算是解決問題的保障．筆者曾經(jīng)用中考問題做過測試，能全部將三種分類計(jì)算正確的學(xué)生少之又少，他們出現(xiàn)的錯(cuò)誤主要集中在基本運(yùn)算、勾股定理使用、因式分解運(yùn)算等匪夷所思的錯(cuò)誤，因此平時(shí)提高教學(xué)也不能忽視在運(yùn)算環(huán)節(jié)給予學(xué)生更多方面的指導(dǎo)．

■ 從函數(shù)問題中培養(yǎng)建模思想

例3一次足球賽中，某人對著球門練習(xí)射門，如圖7所示，足球運(yùn)行的軌跡是拋物線，其飛行高度記為y（m），且y是關(guān)于時(shí)間x（s）的函數(shù)，已知足球飛行1 s時(shí)，此時(shí)足球高度為2.44 m，足球從飛出到落地共用3 s．

（1）請寫出高度y關(guān)于時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式.

（2）在飛行中足球高度能否達(dá)到4.88 m？請解釋依據(jù).

（3）若最后足球沿著球門左上角飛入球門，球門的高為2.44 m． 請問：離球門左邊框12 m處的守門員至少要以多大的平均速度到球門的左邊框才能將足球擊出？

分析?搖 圍繞拋物線為數(shù)學(xué)本質(zhì)建構(gòu)的數(shù)學(xué)建模問題，是典型的中考應(yīng)用型函數(shù)建模問題．關(guān)于此類函數(shù)建模的數(shù)學(xué)應(yīng)用型問題，筆者建議：（1）了解與本類數(shù)學(xué)問題相關(guān)的函數(shù)模型；（2）建立合乎依據(jù)的數(shù)學(xué)函數(shù)類型；（3）將足球飛行軌跡的問題抽象為數(shù)學(xué)建模中的拋物線問題，極大地增強(qiáng)學(xué)生將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的能力．

解析?搖 （1）由題意，將問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中的拋物線問題，如圖8所示，令y=ax2+bx，依題可知：當(dāng)x=1時(shí)，y=2.44；當(dāng)x=3時(shí)，y=0．所以a+b=2.44，9a+3b=0， 解得a=－1.22，b=3.66，所以y=－1.22x2+3.66x．

（2）不能. 理由：由4.88=－1.22x2+3.66x化簡得x2－3x+4=0，因?yàn)椋ǎ?）2－4×4<0，所以方程4.88=－1.22x2+3.66x無解. 所以足球的飛行高度不能達(dá)到4.88 m．

（3）由2.44=－1.22x 2+3.66x化簡得x 2－3x+2=0，解得x■=1（舍去），x■=2. 所以平均速度至少為■=6（m/s）．

說明?搖 本題的實(shí)際背景是考查二次函數(shù)為背景的函數(shù)型數(shù)學(xué)建模問題，教師對應(yīng)用型問題的教學(xué)指導(dǎo)要注重將學(xué)生從純粹理論的解題中解放出來，善于從實(shí)際問題中抽象函數(shù)的本質(zhì)，進(jìn)一步提高其解決數(shù)學(xué)建模能力． 對函數(shù)型建模問題要多研究、多訓(xùn)練，提高學(xué)生從實(shí)際應(yīng)用型問題中提煉不同函數(shù)的能力．

總之，新課程下的初中數(shù)學(xué)不再像傳統(tǒng)教學(xué)一樣只注重純粹理論性的數(shù)學(xué)解題，更注重生活中數(shù)學(xué)的應(yīng)用和培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力． 通過上述小結(jié)的三類問題，引發(fā)筆者產(chǎn)生了一些思考：

（1）數(shù)學(xué)建模在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用大都還是限于一些函數(shù)應(yīng)用型問題的具體體現(xiàn)，在教學(xué)中教師要以這些應(yīng)用型問題為背景，以學(xué)過的數(shù)學(xué)理論知識(shí)來解決實(shí)際問題，這對學(xué)生在腦海中產(chǎn)生數(shù)學(xué)建模的概念大有幫助.

（2）現(xiàn)今的數(shù)學(xué)教育不僅僅要注重分?jǐn)?shù)，更要為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展奠定基調(diào)．隨著各大學(xué)自主招生的進(jìn)一步展開，對學(xué)生能力的要求也隨之增高．建模能力的培養(yǎng)應(yīng)從初中數(shù)學(xué)應(yīng)用型問題起步，訓(xùn)練學(xué)生的轉(zhuǎn)化、化歸、抽象概括能力，這些能力將伴隨學(xué)生進(jìn)一步的學(xué)習(xí)、生活，這正是素質(zhì)教育需要體現(xiàn)的.

鑒于中考應(yīng)試的實(shí)際，在數(shù)學(xué)教學(xué)中以建模問題引領(lǐng)應(yīng)用型問題的教學(xué)，既保障了學(xué)生的應(yīng)試能力，也提高了學(xué)生將實(shí)際問題處理、抽象為數(shù)學(xué)問題的建模能力，值得我們在教學(xué)中繼續(xù)研究．