豐富感悟 自然體會

張樓軍

蘇教版小學數學六年級上冊第七單元的例題１，教學的是運用替換策略解決實際問題。教材首先安排一道可以利用倍數關系進行替換解決問題的例題，之后又安排了一道可以利用相差關系進行替換解決問題的練習題。通過兩種不同類型題目的教學，引導學生在解決問題的過程中體會替換策略，發展學生的解題策略。那么，教師教學中如何讓學生體會替換策略的價值，感悟替換策略中所隱含的解決問題的思路與方法，感受其中所隱藏的數學思想呢？

教學過程：

一、怎么辦

投影出示題目與具體的示意圖（略）：兩個相同的小杯子，容量總和是１００毫升，每個小杯子的容量是多少毫升？三個相同的大杯子，容量總和是６００毫升，每個大杯子的容量是多少毫升？（學生口答）

師：為什么可以直接除以２、除以３呢？（生答略）

師：原來題目中說的是相同的一種杯子，所以可直接計算。

出示題目：如果一個大杯子和一小杯子的容量共是１２０毫升，那大杯子、小杯子的容量各是多少？

師：這一題能直接除以２嗎？為什么？

生１：不能，因為是兩種不同的杯子。

師：如果要能直接除以２，要怎樣修改題目？

生２：２個全是小杯，或者２個全是大杯。

師：哦，如果替換成同一種杯子就可以直接計算了。

二、怎么換

１．倍數關系

（１）師：如果告訴你“一個大杯的容量是小杯的２倍”，你想到了什么？

生３：１個大杯可以換成２個小杯，２個小杯可以換成１個大杯。

師：那這里的１個大杯和１個小杯可以怎么替換呢？請畫一畫，寫一寫換的結果。（生畫出示意圖，并寫出算式）

（２）師：如果有１個大杯和４個小杯，那該怎么換呢？（生畫出示意圖，并寫出算式）

生４：可以把大杯換成小杯，也可以把小杯換成大杯。

師：我們先來看大杯換成小杯的這種方法。

師（根據學生的解法追問）：第一個算式１×２＝２，表示的是什么意思？接下來的２＋４＝６呢？

師：這樣就把兩種杯子替換成一種杯子，即６個小杯。

師：那如果把小杯替換成大杯，該怎樣列算式呢？

生５：４÷２＝２，１＋２＝３。

師：請同桌互相說一說兩個算式的意義。

（３）師：請運用剛剛學習的替換方法解答下面一題。

出示題目：小明把７２０毫升果汁倒入６個小杯和１個大杯，正好都倒滿。小杯的容量是大杯的■。小杯和大杯的容量各是多少毫升？

師：“小杯的容量是大杯的■”是什么意思？可以怎么替換？

生６：１個大杯替換成３個小杯。

師：請寫出你的思考過程，如果能用兩種方法來解答則更好。（學生思考交流后展示解法）

師：如何確定自己做得對不對呢？（生答略）

師：答案需要同時滿足“７２０毫升果汁倒入６個小杯和１個大杯，正好都倒滿”和“小杯的容量是大杯的■”這兩個條件，才能說明是正確的。

師：剛才我們是怎樣解決這個問題的？可以怎樣進行替換？替換后有怎樣的變化？

生７：可以把兩種杯子替換成一種杯子。

生８：替換后，杯子的數量變化了，總的容量沒有變化。

師：為什么要這樣替換呢？（生思考）我們是根據哪個條件進行替換的？（生答略）

師：剛才我們研究的是倍數關系的兩個量，接下來我們研究相差關系的兩個量。

２．相差關系

出示題目：在２個同樣的大盒和５個同樣的小盒里裝滿球，正好是１００個。每個大盒比小盒多裝８個，每個大盒和小盒各裝多少個？（師讀題，根據題目的意思展示用方塊表示的盒子示意圖，學生獨立解答）

師：我發現很多同學在解答的過程中遇到了困難，我們不妨先停一停，研究研究這一題。

師：首先，題目中既有大盒子又有小盒子，該怎么辦呢？

生９：進行替換，變成一種盒子。

師：那該怎么替換呢？

生１０：把小盒子換成大盒子。

師：那會發生怎樣的變化呢？請同學們先獨立思考，再同桌交流討論。

生１１：把每個小盒子都增加８個球，所以總共增加了４０個球，變成７個大盒子。

師：也就是說，總量發生了變化。那總量發生怎樣的變化呢？（師根據學生的解說，板書算式：１００＋５×８＝１４０，１４０÷７＝２０，２０－８＝１２）

師：還可以怎樣替換呢？請同學們把思考過程寫在作業紙上。（展示學生的替換方法）

師：這一種方法是怎樣替換的？替換之后發生了怎樣的變化？（生答略）

師：比較這兩種方法，它們有什么異同？

師生總結：都替換成一種量，把大盒子替換成小盒子，總量要減少；把小盒子替換成大盒子，總量要增加。

三、為什么

師：剛才我們研究倍數關系和相差關系的兩種量，解決了一些實際問題，可我們為什么要用替換的策略解決這些問題呢？

生１２：把兩種量替換成一種量，可以順利地解決問題。

師：我們可以把兩種量通過替換變成為一種量，那如果有三種量呢？請大家下課后，試一試下面的題目。

出示題目：被減數、減數、差的和是４０，那么被減數是多少？

……

思考：

１．替換策略的價值在哪里？

數學教育家米山國藏曾說過：“在學校學的數學知識，畢業后沒什么機會去用，一兩年后很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘記在心中的數學精神、數學思想、研究方法和看問題的著眼點等，卻隨時隨地發生作用，使他們受益終身。”是的，現實生活中并不一定用到替換策略解決問題，但替換策略中所體現的解決問題的方式、所蘊含的數學思想方法等都將被學生銘記。

那么，替換策略的價值究竟在哪里呢？首先是根據兩個未知量之間的關系，將復雜的兩個未知量替換成簡單的一個未知量，即化繁為簡，直至解決問題的核心。其次，在替換的過程中，教師多次引導學生利用畫圖的方式理解替換的過程與變化，通過數形結合，使學生的理解更深刻。這樣就將復雜的兩個未知量的問題通過變換轉化為簡單的只有一個未知量的問題，將難解的問題通過變換轉化為容易解決的問題，即復雜變簡單、抽象的數變為直觀的圖，這便是數學中化歸思想的體現。

２．學生如何體會替換策略的價值？

學生如何體會替換策略的價值？這來源于教師多次的追問：“為什么要替換？”對這一問題，在第一個環節中，學生起初可能只有一點點的感受，因為學生只是初步積累了替換的經驗。而在第二個環節中，學生解答倍數關系的問題時已經有了深刻的感受，因為替換后可以很順利地解決問題；在解答相差關系時，學生的體會更深了，因為進行替換后，發現題目真的變簡單了，特別是通過替換居然可以一下子算出大盒的個數。至此，幾乎所有的學生都深刻地感受到了替換的奇妙之處。第三個環節更是向外進行拓展——“三個未知量該怎么辦呢”，有了之前的豐富體驗和感悟，學生不約而同地想到了替換的策略。

創設學生生活中熟知的、簡單的問題情境，引導學生時時感悟、題題反思，使學生對替換策略的價值、數學的思想方法隨著習題的解答從朦朧到清晰、從陌生到親切、從單薄到豐厚，真正讓學生內化所學知識，獲得不同的發展。

（責編杜華）

endprint

蘇教版小學數學六年級上冊第七單元的例題１，教學的是運用替換策略解決實際問題。教材首先安排一道可以利用倍數關系進行替換解決問題的例題，之后又安排了一道可以利用相差關系進行替換解決問題的練習題。通過兩種不同類型題目的教學，引導學生在解決問題的過程中體會替換策略，發展學生的解題策略。那么，教師教學中如何讓學生體會替換策略的價值，感悟替換策略中所隱含的解決問題的思路與方法，感受其中所隱藏的數學思想呢？

教學過程：

一、怎么辦

投影出示題目與具體的示意圖（略）：兩個相同的小杯子，容量總和是１００毫升，每個小杯子的容量是多少毫升？三個相同的大杯子，容量總和是６００毫升，每個大杯子的容量是多少毫升？（學生口答）

師：為什么可以直接除以２、除以３呢？（生答略）

師：原來題目中說的是相同的一種杯子，所以可直接計算。

出示題目：如果一個大杯子和一小杯子的容量共是１２０毫升，那大杯子、小杯子的容量各是多少？

師：這一題能直接除以２嗎？為什么？

生１：不能，因為是兩種不同的杯子。

師：如果要能直接除以２，要怎樣修改題目？

生２：２個全是小杯，或者２個全是大杯。

師：哦，如果替換成同一種杯子就可以直接計算了。

二、怎么換

１．倍數關系

（１）師：如果告訴你“一個大杯的容量是小杯的２倍”，你想到了什么？

生３：１個大杯可以換成２個小杯，２個小杯可以換成１個大杯。

師：那這里的１個大杯和１個小杯可以怎么替換呢？請畫一畫，寫一寫換的結果。（生畫出示意圖，并寫出算式）

（２）師：如果有１個大杯和４個小杯，那該怎么換呢？（生畫出示意圖，并寫出算式）

生４：可以把大杯換成小杯，也可以把小杯換成大杯。

師：我們先來看大杯換成小杯的這種方法。

師（根據學生的解法追問）：第一個算式１×２＝２，表示的是什么意思？接下來的２＋４＝６呢？

師：這樣就把兩種杯子替換成一種杯子，即６個小杯。

師：那如果把小杯替換成大杯，該怎樣列算式呢？

生５：４÷２＝２，１＋２＝３。

師：請同桌互相說一說兩個算式的意義。

（３）師：請運用剛剛學習的替換方法解答下面一題。

出示題目：小明把７２０毫升果汁倒入６個小杯和１個大杯，正好都倒滿。小杯的容量是大杯的■。小杯和大杯的容量各是多少毫升？

師：“小杯的容量是大杯的■”是什么意思？可以怎么替換？

生６：１個大杯替換成３個小杯。

師：請寫出你的思考過程，如果能用兩種方法來解答則更好。（學生思考交流后展示解法）

師：如何確定自己做得對不對呢？（生答略）

師：答案需要同時滿足“７２０毫升果汁倒入６個小杯和１個大杯，正好都倒滿”和“小杯的容量是大杯的■”這兩個條件，才能說明是正確的。

師：剛才我們是怎樣解決這個問題的？可以怎樣進行替換？替換后有怎樣的變化？

生７：可以把兩種杯子替換成一種杯子。

生８：替換后，杯子的數量變化了，總的容量沒有變化。

師：為什么要這樣替換呢？（生思考）我們是根據哪個條件進行替換的？（生答略）

師：剛才我們研究的是倍數關系的兩個量，接下來我們研究相差關系的兩個量。

２．相差關系

出示題目：在２個同樣的大盒和５個同樣的小盒里裝滿球，正好是１００個。每個大盒比小盒多裝８個，每個大盒和小盒各裝多少個？（師讀題，根據題目的意思展示用方塊表示的盒子示意圖，學生獨立解答）

師：我發現很多同學在解答的過程中遇到了困難，我們不妨先停一停，研究研究這一題。

師：首先，題目中既有大盒子又有小盒子，該怎么辦呢？

生９：進行替換，變成一種盒子。

師：那該怎么替換呢？

生１０：把小盒子換成大盒子。

師：那會發生怎樣的變化呢？請同學們先獨立思考，再同桌交流討論。

生１１：把每個小盒子都增加８個球，所以總共增加了４０個球，變成７個大盒子。

師：也就是說，總量發生了變化。那總量發生怎樣的變化呢？（師根據學生的解說，板書算式：１００＋５×８＝１４０，１４０÷７＝２０，２０－８＝１２）

師：還可以怎樣替換呢？請同學們把思考過程寫在作業紙上。（展示學生的替換方法）

師：這一種方法是怎樣替換的？替換之后發生了怎樣的變化？（生答略）

師：比較這兩種方法，它們有什么異同？

師生總結：都替換成一種量，把大盒子替換成小盒子，總量要減少；把小盒子替換成大盒子，總量要增加。

三、為什么

師：剛才我們研究倍數關系和相差關系的兩種量，解決了一些實際問題，可我們為什么要用替換的策略解決這些問題呢？

生１２：把兩種量替換成一種量，可以順利地解決問題。

師：我們可以把兩種量通過替換變成為一種量，那如果有三種量呢？請大家下課后，試一試下面的題目。

出示題目：被減數、減數、差的和是４０，那么被減數是多少？

……

思考：

１．替換策略的價值在哪里？

數學教育家米山國藏曾說過：“在學校學的數學知識，畢業后沒什么機會去用，一兩年后很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘記在心中的數學精神、數學思想、研究方法和看問題的著眼點等，卻隨時隨地發生作用，使他們受益終身。”是的，現實生活中并不一定用到替換策略解決問題，但替換策略中所體現的解決問題的方式、所蘊含的數學思想方法等都將被學生銘記。

那么，替換策略的價值究竟在哪里呢？首先是根據兩個未知量之間的關系，將復雜的兩個未知量替換成簡單的一個未知量，即化繁為簡，直至解決問題的核心。其次，在替換的過程中，教師多次引導學生利用畫圖的方式理解替換的過程與變化，通過數形結合，使學生的理解更深刻。這樣就將復雜的兩個未知量的問題通過變換轉化為簡單的只有一個未知量的問題，將難解的問題通過變換轉化為容易解決的問題，即復雜變簡單、抽象的數變為直觀的圖，這便是數學中化歸思想的體現。

２．學生如何體會替換策略的價值？

學生如何體會替換策略的價值？這來源于教師多次的追問：“為什么要替換？”對這一問題，在第一個環節中，學生起初可能只有一點點的感受，因為學生只是初步積累了替換的經驗。而在第二個環節中，學生解答倍數關系的問題時已經有了深刻的感受，因為替換后可以很順利地解決問題；在解答相差關系時，學生的體會更深了，因為進行替換后，發現題目真的變簡單了，特別是通過替換居然可以一下子算出大盒的個數。至此，幾乎所有的學生都深刻地感受到了替換的奇妙之處。第三個環節更是向外進行拓展——“三個未知量該怎么辦呢”，有了之前的豐富體驗和感悟，學生不約而同地想到了替換的策略。

創設學生生活中熟知的、簡單的問題情境，引導學生時時感悟、題題反思，使學生對替換策略的價值、數學的思想方法隨著習題的解答從朦朧到清晰、從陌生到親切、從單薄到豐厚，真正讓學生內化所學知識，獲得不同的發展。

（責編杜華）

endprint

蘇教版小學數學六年級上冊第七單元的例題１，教學的是運用替換策略解決實際問題。教材首先安排一道可以利用倍數關系進行替換解決問題的例題，之后又安排了一道可以利用相差關系進行替換解決問題的練習題。通過兩種不同類型題目的教學，引導學生在解決問題的過程中體會替換策略，發展學生的解題策略。那么，教師教學中如何讓學生體會替換策略的價值，感悟替換策略中所隱含的解決問題的思路與方法，感受其中所隱藏的數學思想呢？

教學過程：

一、怎么辦

投影出示題目與具體的示意圖（略）：兩個相同的小杯子，容量總和是１００毫升，每個小杯子的容量是多少毫升？三個相同的大杯子，容量總和是６００毫升，每個大杯子的容量是多少毫升？（學生口答）

師：為什么可以直接除以２、除以３呢？（生答略）

師：原來題目中說的是相同的一種杯子，所以可直接計算。

出示題目：如果一個大杯子和一小杯子的容量共是１２０毫升，那大杯子、小杯子的容量各是多少？

師：這一題能直接除以２嗎？為什么？

生１：不能，因為是兩種不同的杯子。

師：如果要能直接除以２，要怎樣修改題目？

生２：２個全是小杯，或者２個全是大杯。

師：哦，如果替換成同一種杯子就可以直接計算了。

二、怎么換

１．倍數關系

（１）師：如果告訴你“一個大杯的容量是小杯的２倍”，你想到了什么？

生３：１個大杯可以換成２個小杯，２個小杯可以換成１個大杯。

師：那這里的１個大杯和１個小杯可以怎么替換呢？請畫一畫，寫一寫換的結果。（生畫出示意圖，并寫出算式）

（２）師：如果有１個大杯和４個小杯，那該怎么換呢？（生畫出示意圖，并寫出算式）

生４：可以把大杯換成小杯，也可以把小杯換成大杯。

師：我們先來看大杯換成小杯的這種方法。

師（根據學生的解法追問）：第一個算式１×２＝２，表示的是什么意思？接下來的２＋４＝６呢？

師：這樣就把兩種杯子替換成一種杯子，即６個小杯。

師：那如果把小杯替換成大杯，該怎樣列算式呢？

生５：４÷２＝２，１＋２＝３。

師：請同桌互相說一說兩個算式的意義。

（３）師：請運用剛剛學習的替換方法解答下面一題。

出示題目：小明把７２０毫升果汁倒入６個小杯和１個大杯，正好都倒滿。小杯的容量是大杯的■。小杯和大杯的容量各是多少毫升？

師：“小杯的容量是大杯的■”是什么意思？可以怎么替換？

生６：１個大杯替換成３個小杯。

師：請寫出你的思考過程，如果能用兩種方法來解答則更好。（學生思考交流后展示解法）

師：如何確定自己做得對不對呢？（生答略）

師：答案需要同時滿足“７２０毫升果汁倒入６個小杯和１個大杯，正好都倒滿”和“小杯的容量是大杯的■”這兩個條件，才能說明是正確的。

師：剛才我們是怎樣解決這個問題的？可以怎樣進行替換？替換后有怎樣的變化？

生７：可以把兩種杯子替換成一種杯子。

生８：替換后，杯子的數量變化了，總的容量沒有變化。

師：為什么要這樣替換呢？（生思考）我們是根據哪個條件進行替換的？（生答略）

師：剛才我們研究的是倍數關系的兩個量，接下來我們研究相差關系的兩個量。

２．相差關系

出示題目：在２個同樣的大盒和５個同樣的小盒里裝滿球，正好是１００個。每個大盒比小盒多裝８個，每個大盒和小盒各裝多少個？（師讀題，根據題目的意思展示用方塊表示的盒子示意圖，學生獨立解答）

師：我發現很多同學在解答的過程中遇到了困難，我們不妨先停一停，研究研究這一題。

師：首先，題目中既有大盒子又有小盒子，該怎么辦呢？

生９：進行替換，變成一種盒子。

師：那該怎么替換呢？

生１０：把小盒子換成大盒子。

師：那會發生怎樣的變化呢？請同學們先獨立思考，再同桌交流討論。

生１１：把每個小盒子都增加８個球，所以總共增加了４０個球，變成７個大盒子。

師：也就是說，總量發生了變化。那總量發生怎樣的變化呢？（師根據學生的解說，板書算式：１００＋５×８＝１４０，１４０÷７＝２０，２０－８＝１２）

師：還可以怎樣替換呢？請同學們把思考過程寫在作業紙上。（展示學生的替換方法）

師：這一種方法是怎樣替換的？替換之后發生了怎樣的變化？（生答略）

師：比較這兩種方法，它們有什么異同？

師生總結：都替換成一種量，把大盒子替換成小盒子，總量要減少；把小盒子替換成大盒子，總量要增加。

三、為什么

師：剛才我們研究倍數關系和相差關系的兩種量，解決了一些實際問題，可我們為什么要用替換的策略解決這些問題呢？

生１２：把兩種量替換成一種量，可以順利地解決問題。

師：我們可以把兩種量通過替換變成為一種量，那如果有三種量呢？請大家下課后，試一試下面的題目。

出示題目：被減數、減數、差的和是４０，那么被減數是多少？

……

思考：

１．替換策略的價值在哪里？

數學教育家米山國藏曾說過：“在學校學的數學知識，畢業后沒什么機會去用，一兩年后很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘記在心中的數學精神、數學思想、研究方法和看問題的著眼點等，卻隨時隨地發生作用，使他們受益終身。”是的，現實生活中并不一定用到替換策略解決問題，但替換策略中所體現的解決問題的方式、所蘊含的數學思想方法等都將被學生銘記。

那么，替換策略的價值究竟在哪里呢？首先是根據兩個未知量之間的關系，將復雜的兩個未知量替換成簡單的一個未知量，即化繁為簡，直至解決問題的核心。其次，在替換的過程中，教師多次引導學生利用畫圖的方式理解替換的過程與變化，通過數形結合，使學生的理解更深刻。這樣就將復雜的兩個未知量的問題通過變換轉化為簡單的只有一個未知量的問題，將難解的問題通過變換轉化為容易解決的問題，即復雜變簡單、抽象的數變為直觀的圖，這便是數學中化歸思想的體現。

２．學生如何體會替換策略的價值？

學生如何體會替換策略的價值？這來源于教師多次的追問：“為什么要替換？”對這一問題，在第一個環節中，學生起初可能只有一點點的感受，因為學生只是初步積累了替換的經驗。而在第二個環節中，學生解答倍數關系的問題時已經有了深刻的感受，因為替換后可以很順利地解決問題；在解答相差關系時，學生的體會更深了，因為進行替換后，發現題目真的變簡單了，特別是通過替換居然可以一下子算出大盒的個數。至此，幾乎所有的學生都深刻地感受到了替換的奇妙之處。第三個環節更是向外進行拓展——“三個未知量該怎么辦呢”，有了之前的豐富體驗和感悟，學生不約而同地想到了替換的策略。

創設學生生活中熟知的、簡單的問題情境，引導學生時時感悟、題題反思，使學生對替換策略的價值、數學的思想方法隨著習題的解答從朦朧到清晰、從陌生到親切、從單薄到豐厚，真正讓學生內化所學知識，獲得不同的發展。

（責編杜華）

endprint