淺談如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

張河境

摘要：作為一名教師，在教學(xué)過程中，要注重創(chuàng)設(shè)情境，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力；要注重“變式”教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力；要注重?cái)?shù)形結(jié)合培養(yǎng)學(xué)生直覺思維能力；要注重回顧反思提高學(xué)生思維能力。

關(guān)鍵詞：創(chuàng)新思維；發(fā)散思維；直覺思維；思維能力

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A？搖 文章編號：1674-9324（2014）07-0045-02

思維能力是各種能力的核心，開發(fā)并提高學(xué)生的智力主要應(yīng)著眼于培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生的思維能力。思維是由人們的認(rèn)識需要引起的，沒有認(rèn)識需要就不會引起思維。在日常教學(xué)中，要改變那種傳統(tǒng)的教學(xué)模式，改變那種重知識量的堆塞為重思維能力的培養(yǎng)。為此，在教學(xué)中，教師應(yīng)在熟練掌握課標(biāo)與教材的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)各種方案，采取各種措施，千方百計(jì)促使學(xué)生以積極的態(tài)度去主動學(xué)習(xí)，主動思考，主動探索。下面根據(jù)自己多年的教學(xué)工作實(shí)踐，談?wù)剮c(diǎn)具體做法。

一、通過創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力

大家都知道故事是學(xué)生最喜愛的文學(xué)形式，通過講故事引入教學(xué)能激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲望。比如：我在講授等比數(shù)列求和公式時(shí)，首先講一個(gè)數(shù)學(xué)故事：國際象棋起源于古代印度，關(guān)于國際象棋有這樣一個(gè)傳說：國王要獎(jiǎng)賞國際象棋的發(fā)明者，問他有什么要求，發(fā)明者說：“請?jiān)谄灞P上的第一個(gè)格子上放1粒麥子，第二個(gè)格子上放2粒麥子，第三個(gè)格子上放4粒麥子，第四個(gè)格子上放8粒麥子，依次類推，即每一個(gè)格子中放的麥粒都必須是前一個(gè)格子麥粒數(shù)目的2倍，直到第64個(gè)格子，請給我足夠的糧食來實(shí)現(xiàn)上述要求。”你認(rèn)為國王有能力滿足發(fā)明者上述要求嗎？學(xué)生深深被故事吸引，熱情高漲，有人說能，有人說不能。這時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生：誰能把麥子總數(shù)表示出來。學(xué)生們很快得出S=1+2+22+23+…+…①，這是一個(gè)等比數(shù)列的求和問題，如何求這個(gè)和呢？學(xué)生們很迫切想知道問題的答案，積極思考，很快就找出辦法，將①的兩邊都乘以2得到2S=2+22+23+…+…②。將②-①得S=-1，利用計(jì)算器，學(xué)生們很快得到了想要的答案，嘗到了成功的喜悅。我趁熱打鐵，和學(xué)生一起探索一般等比數(shù)列的求和方法——錯(cuò)位相減法。

二、通“變式”教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力

“變式”教學(xué)，可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，能使學(xué)生沿不同角度、不同側(cè)面去思考，沿多方面去尋求答案的展開性的思維方式。在教學(xué)中，我采用“變式”教學(xué)，運(yùn)用“一題多變、一圖多變、一問多解、一法多用”等手法，讓學(xué)生從不同角度運(yùn)用不同方法去求解，開拓引伸，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)生思維能力。例如課本中的一道幾何題：“已知AD是ΔABC的中線，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BE的延長線與AC的交點(diǎn)，求證AF=FC”。在分析與論證本題以后，不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生對原題的條件與結(jié)論作了以下變換：（1）將E是中線AD的中點(diǎn)，改為E是中線AD上的一點(diǎn)，且AE=■DE，那么AF與FC間的關(guān)系如何？（AF=■FC）（2）將BC邊的中點(diǎn)D改為D是ΔABC的BC邊上的點(diǎn)，且BD=■DC，E是AD的中點(diǎn)，那么AF與FC間的關(guān)系如何？（AF=■FC）（3）再改為：D是ΔABC的BC邊上的點(diǎn)，且BD=■DC，E是AD上的點(diǎn)，且AE=■DE，那么AF與FC間的關(guān)系如何？（AF=■FC）這樣步步變化深入，既發(fā)展了學(xué)生的探究思維能力，又綜合性地復(fù)習(xí)與鞏固了已學(xué)的有關(guān)知識，取得了很好的教學(xué)效果。

三、通過數(shù)形結(jié)合培養(yǎng)學(xué)生直覺思維能力

關(guān)于數(shù)與形和思維的關(guān)系，華羅庚曾有過很精辟的論述：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休。”這句話指出了直覺在數(shù)形結(jié)合中的重要作用，也讓我們初步認(rèn)識數(shù)形結(jié)合的思想方法在數(shù)學(xué)思維中的地位。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不失時(shí)機(jī)地滲透數(shù)形結(jié)合思想可以培養(yǎng)學(xué)生多種直覺思維能力。

例：求f（x）=■-■的最值。

分析：根據(jù)根號下表達(dá)式的特征，可聯(lián)想到距離公式。設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，0）；A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2）。于是問題變?yōu)樵趚軸上求一點(diǎn)P0，使其與A和B距離的差最大。由于三角形兩邊之差小于第三邊，因此當(dāng)P0點(diǎn)為線段AB延長線與x軸的交點(diǎn)時(shí)，f（x）有最大值A(chǔ)B。通過計(jì)算可知AB=■=■。這個(gè)問題獲得解決是數(shù)形之間的有效溝通，把函數(shù)問題中帶根號的表達(dá)式與解析幾何中兩點(diǎn)的距離公式建立聯(lián)想。因此教學(xué)中要重視學(xué)生從數(shù)學(xué)知識中提煉本質(zhì)的規(guī)律，建立數(shù)形有效溝通，使數(shù)學(xué)思維形成網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，進(jìn)而達(dá)到培養(yǎng)思維能力的目的。

四、通過回顧反思提高學(xué)生思維能力

波利亞在《怎樣解題》一書中把解題過程概括為“審題—探索—表達(dá)—回顧”四個(gè)環(huán)節(jié)，明確指出解題回顧是解題過程的最后一個(gè)環(huán)節(jié)，然而在實(shí)際教學(xué)過程中，大家只注重指導(dǎo)學(xué)生如何去讀題、審題如何去探索、尋找解題思路，卻常常忽略了解題回顧這個(gè)環(huán)節(jié)，發(fā)揮不了解題回顧活動應(yīng)有的教育功能，這對培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和發(fā)展數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維無疑是一種損失。解題反思是重要的思維活動，它是思維活動的核心和動力，它能從多角度、多層次對解決問題進(jìn)行全面分析思考，從而深化對問題的理解，有助于優(yōu)化思維品質(zhì)，提升數(shù)學(xué)思維能力。結(jié)合平時(shí)教學(xué)實(shí)踐，舉如下例子加以探索：“題目：過點(diǎn)B（1，1）能否作直線L，使它與雙曲線x2-■=1交于Q1，Q2兩點(diǎn)，且點(diǎn)B是線段Q1Q2的中點(diǎn)？如果存在，求出方程；如果不存在，說明理由。”

錯(cuò)解：設(shè)L的方程為y-1=k（x-1），代入雙曲線方程，得（2-k2）x2+2k（k-1）x-k2+2k-3=0，設(shè)Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），則x1+x2=2，∴■=2，解得k=2。故所求直線方程L存在，直線方程為y=2x-1。

反思：此題解題過程中犯了兩個(gè)錯(cuò)誤：其一，題設(shè)而不求，應(yīng)注意到直線L應(yīng)與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)這一蘊(yùn)含條件，易被忽視。其二，題中直接設(shè)直線L斜率為k也顯不妥，應(yīng)事先說明直線L斜率一定存在。因此一定要考慮Δ>0的條件。

解：當(dāng)直線L斜率不存在時(shí)，直線方程為x=1，顯然不合題意，故設(shè)L的方程為

y-1=k（x-1），同上求得k=2，l：y=2x+1，代入雙曲線方程得-2x2+4x-3=0，即2x2-4x+3=0。注意到這里Δ<0，故所求直線L不存在。

反思梳理，弄清哪些地方易犯錯(cuò)誤，回憶自己解決問題的結(jié)果和過程，找出錯(cuò)誤的根源，分析出原因，提出改進(jìn)措施，明確正確解題的思路和方法，這是培養(yǎng)判斷性思維的重要途徑。

總之，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力的方法是各種各樣的，要使學(xué)生思維能力活躍，在教學(xué)過程中應(yīng)該精心設(shè)計(jì)，創(chuàng)設(shè)各種情境，根據(jù)學(xué)生已有的知識、經(jīng)驗(yàn)以及學(xué)生的思維特點(diǎn)，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，積極培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。