初中數學解題中《圓》中易錯問題例析

林鄭娜

摘 要：圓作為初中數學中的重要內容，由于其多解性和解題的靈活性，導致了不少學生在解題的過程中容易出錯。為了有效的提高數學圓的教學質量，減少學生在解題中的錯誤，應當加強對圓解題過程中的錯題分析，通過總結、歸納提高學生的解題效率。

關鍵詞：初中數學 解題 分析

中圖分類號：G420 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）05（b）-0074-02

解題作為數學教學活動的基本形式和重要內容，對學生數學概念的掌握以及數學公式的應用等都具有一定的考察意義。通過數學解題活動，使學生在解題的過程中能夠了解和掌握數學解題思想和技巧，同時也培養了學生的智力，對于學生數學能力的發展和提高都具有重要的意義。在中學數學的教學過程中都配置了相當數量的題目，這也是學生理解和掌握數學知識的鑰匙。

在求解初中圓的問題中，由于圓的特殊性質，容易出現雙解或者多解的現象，許多學生在求解的過程中往往容易忽略，導致了出現解題錯誤的現象。通過對圓教學過程中的錯誤習題分析，發現部分學生對于圓的概念和性質掌握的不夠透徹，當題目變化時學生有可能難以全面的認識問題。垂徑定理作為圓形教學過程中的重要知識點，部分學生在應用的過程中容易遺漏推論中的相關條件。在利用三點來確定圓時，很多學生往往忽略了對三點是否在同一直線上進行判斷，忽略了發散思維的作用。同時圓中的線段、角以及弧度等不同類型的知識比較多，對于學生的要求比較高，如果學生對其中某個知識點不能熟練掌握，那么在解決等圓或者同圓中利用弦來判斷圓周角的時候容易忽略掉互補的情況。圓的不同線段的條件不同，所以其解題的方法也存在著巨大的不同。例如對于圓的切線來說，它應當滿足直線要經過圓上的點，而且直線能夠垂直于經過該點的半徑，如果忽略了其中的一個條件就不能進行判斷。特別地，圓知識的靈活性進一步的提高了其解題的難度，例如在計算和圓相關的位置問題時，圓的相離——內含、外離，以及相切——內切、外切，特別容易忽略其中的一種；同時在兩個圓的相交問題中，也容易忽略到其中的一種條件。對于初中數學圓的知識比較復雜的情況，數學教師在教學的過程中應當加強對學生的引導，使學生能夠養成自覺總結、歸納的習慣，保證會的題目能夠作對、做全。

在求解圓和其內的兩條平行線之間的距離時，要注意平行線在圓心同側和異側的情形，否則容易發生漏解的現象。例1：在一個直徑為25 mm的圓中，弦AB=20 mm，弦CD=24 mm，而且AB和CD平行，現在求線段AB和CD之間的距離。

錯解：如圖1，過點O作OM和AB垂直相交于點M，同時交CD于N，然后連接OB、OD，那么可以得到OB=OD，由于AB=20，CD=24，所以可以得到BM=10，DN=12。

在直角三角形OBM和ODN中，可以得到OB2=OM2+BM2，OD2=DN2+ON2。

所以可以得到OM=7.5，ON=3.5。從而可以得出MN=OM-ON=4。

通過檢查此題的解題步驟，沒有發現錯誤的情況，但是由于原題中沒有給出具體的圖形，所以還可能存在AB和CD處于圓心O異側的情況，造成了漏解的現象，如圖2所示。

此時，當AB和CD處于圓心O異側時，過點O作OM和AB垂直相交于點M，ON垂直CD于N，然后連接OB、OD，可以根據直角三角形的性質得到OM=7.5，ON=3.5，那么根據圖形可以得到MN=11。所以AB和CD之間的距離為4 mm或者11 mm。

例2：已知兩圓半徑分別為4和5，其中相交圓的公共弦長為6，請求出這兩個圓的圓心距。

錯解：如圖3所示，假設兩個圓相交，其公共弦為AB，兩個圓心的連線和AB相交于點C。由于AB=6，利用圓的對稱性可以得到AC=3。在直角△AO2C中，可以得到O2C=；同理在直角△AO1C中，可以得到O1C=4。

在本題中兩個圓相交時需要考慮到公共弦長和圓心距以及半徑之間的關系，主要是關于公共弦和兩個圓心之間的位置關系。在這種情況下可以分為兩種情況，當兩個圓心在公共弦的兩側時，或者兩圓心在公共弦的同側時，本題在解答的過程中就忽略了后一種情況。當圓心在公共弦的同側時，如圖4所示。

則此時O1O2=O1C-O2C=4-；當O1、O2在AB的兩側時O1O2=O1C+O2C=4+。所以其圓心距為4-或者4+。

在求解關于圓的題目時要綜合題目的條件，注意避免題目的陷阱。平分弦的直徑垂直于弦的同時也平分了弦所對的弧；在等圓或者同圓中，相等的弦所對的弧相等；當兩條弧所對的圓心角相等時，這兩條弧相等。在判斷圓和點的關系時，常常需要判斷點到圓心的距離和半徑的比值。在判斷直線是否是圓的切線時，需要根據半徑來證明垂直，有垂直時需要證明半徑。在遇到直徑的時候要注意構造直角三角形；在計算圓中的圖形面積時，需要利用等積變換法、公式法、拼湊法以及割補法等方法來解決問題。

針對圓中知識點比較多的情況，在做數學習題之前教師應當做好公式、適用條件以及性質等方面的復習。使學生能夠對圓的數學公理和定理等基本方法有一定的掌握，從而養成良好的解題習慣。在圓的解題過程中可以按照一般的數學解題方法進行，先做好題目的審題工作，對題目存在的各種可能性都要進行邏輯推理和驗證，在題目完成之后還應當進行檢驗。很多學生在解題的過程中比較重視對題目的表達和解決，而對于其它的環節缺少足夠的研究和思考。對于圓來說由于其多解性，所以圓的錯題也具有其本身的特點，需要學生在審題的過程中能夠抓住其基本的特征，然后就可以得到相應的解題思路和方法，通過培養學生重視審題的學習習慣對于減少圓解題過程中的漏解情況具有重要的幫助。在解題的過程中要注意對相應的公理和定理進行思考，通過解題達到對定理活學活用的目的，同時也使學生的解題思路清晰、靈活。

通過對圓解題過程中容易出錯的知識點和錯題進行分析，可以有效的提高學生在解題過程中的全面性。在圓的習題教學中要遵循一般的數學教學規律，培養學生良好的學習和解題習慣，特別是對于圓的知識點比較多的情況，要引導學生對知識點的活學活用，最終提高解題的質量。

參考文獻

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