大學數學的思想方法和教學

呂敬亮　焦勁松

[摘 要]數學思想方法在大學數學教學中具有舉足輕重的地位。數學思想是指，現實的空間形式和數量關系反映到人的意識，經過思維活動而產生的結果。它將數學知識系統化、理論化，指導人們在數學活動中確立正確的觀念。注重數學思想方法的教學，使學生更好的掌握數學知識；注重數學思想方法的教學，培養學生的創新能力；注重數學思想方法的教學，培養學生的數學思維習慣。

[關鍵詞]數學思想 數學方法 教學

[中圖分類號] O13 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2014）16-0068-03

一、引言

數學是一門工具性很強的學科，與其他學科相比具有較高的抽象性。為此怎樣將抽象的知識傳授給學生，在數學教學中顯得尤為重要。本文通過多年的工作經驗與課堂實踐，從思想與方法出發，增加實際應用的內容，提高學生的數學素養和創新能力，使學生適應新世紀對數學人才的要求。

二、數學思想的含義

所謂數學思想是指，現實的空間形式和數量關系反映到人的意識，經過思維活動而產生的結果。它將數學知識系統化、理論化，指導人們在數學活動中確立正確的觀念。數學思想有很多，下面僅介紹三種。

（一）轉化的思想

轉化的思想是將復雜的轉化成簡單的，將不熟悉的轉化成熟悉的。例如在高階矩陣計算中，矩陣分塊就是一種實用的轉化思想。

例1[3]：設D=■，A、B分別為k、r階可逆矩陣，C為r×k矩陣，0是k×r零陣，求D-1。

解：因為D=AB，A，B可逆，則D也可逆。設D-1=■，X1、X4分別為k、r階方陣，因為

DD-1=■■=■=■，

Ik、Ir分別為k、r階單位陣，根據分塊相等的運算，得X1=A-1，X2=0，X3=-B-1CA-1，X4=B-1。因此D-1= A-1 0-B-1CA-1 B-1。

（二）數形結合的思想

在大學數學教學中，面對抽象的數學知識，我們要努力將其具體化。數形結合的思想就是一個很好的橋梁。例如在解決三維幾何向量空間中點的坐標變換問題時，就可以運用這種思想。

例2：{O'；e'1，e'2，e'3}與{O；e1，e2，e3}是新、舊兩個坐標系（如圖1）。點P的新、舊坐標分別為（x'，y'，z'）T與（x，y，z）T，問新舊坐標之間有何聯系。■

圖1

解：設O'點在{O；e1，e2，e3}下的坐標是（x0，y0，z0）T，即■=x0e1+y0e2+z0e3=（e1，e2，e3）x0y0z0，若（e'1，e'2，e'3）=（e1，e2，e3）A，則■=■+■，即

（e1，e2，e3）xyz=（e1，e2，e3）x0y0z0+（e'1，e'2，e'3）x'y'z'

=（e1，e2，e3）x0y0z0+（e1，e2，e3）Ax'y'z'

=（e1，e2，e3）x0y0z0Ax'y'z'+x0y0z0

由坐標的唯一性可知，xyz=Ax'y'z'+x0y0z0。

（三）數學的辯證思想

數學的知識內容本身具有辯證性，這種辯證性主要是通過數學中的相互對立統一的矛盾體現出來的。正式由于這種辯證性，在教學過程中辯證思想也非常重要。例如在工科數學分析中，有些定理的證明，就運用了辯證的思想。

例3：定理1設■f（x）=A，■g（x）=B。

（i）若A0，使得當0

（ii）若有δ>0，使得當0

證明：（i）對ε=■>0，由于■f（x）=A，存在δ1>0，使得當0

■

而由■g（x）=B，存在δ2>0，使得當0

■

取δ=min{δ1，δ2}，則當0

（ii）若不然，設A>B，則由（i）知在x0的去心鄰域內恒有f（x）>g（x），與假設矛盾。

在上面的例子中，第二部分的證明就運用了辯證的思想，對于這種思想，法國數學家阿達瑪給出了概括：這種思想在于表明，若肯定定理的假設而否定其結論，就會導致矛盾。

總的來說，數學思想就是數學觀念。除了上述三種思想外還有結構的思想、方程與函數的思想、分類討論的思想、以退求進的思想等。運用這些思想的同時，與其相應的數學方法應運而生。

三、數學方法的含義

數學方法是在數學活動中解決數學問題的具體途徑和手段的總稱。它的精神實質和理論基礎就是前面所述的數學思想。接下來，談談具體的數學方法。

（一）公理化方法

所謂公理化方法，就是能系統地總結數學知識、清楚地揭示數學理論基礎的方法。恩格斯說過：數學上的所謂公理，是數學需要用作自己出發點的少數思想上的規定。現代科學發展的基本特點之一，就是科學理論的數學化，而公理化是科學理論數學化的一個主要特征。公理化方法不僅在現代數學中廣泛應用，而且已經滲透到其它自然科學領域。例如20世紀40年代偉大數學家巴拿赫曾完成了理論力學的公理化。

（二）建立模型法

建立模型法就是數學建模，具體來說就是用數學符號、式子、程序、圖形等對實際問題本質的簡潔刻畫，它能解釋某些客觀現象，能預測未來的發展規律，能為控制某一現象的發展提供某種最優策略。這種方法應用非常廣泛，例如高校選課問題。

例4：某校新學期選課的規定如下，必修課程一門（2學分），限選課程8門，任選課程10門。學分設置情況及課程間的關系如表1所示。

（1）所選課程總學分（包括2個必修學分）不能少于20個學分；

（2）學生每學期選修任選課的比例不能少于所修總學分（包括2個必修學分）的1 / 6，也不能超過所修總學分的1 / 3；

（3）課號為5，6，7，8的課程必須至少選一門；

表1 課程學分及選修要求

■

按如上的規定，學生選課時會思考如下問題。

（1）“為達到要求，本學期最少應該選擇幾門課？選哪幾門課？”

（2）“在選修最少學分（即20學分）的情況下，最多可以選修多少門課？哪幾門課？”

解：針對上述情況建立0-1規劃模型，具體如下。

（1）用xi表示是否選修的課程i（i=1，2，…，18）；用xi=1表示該課程被選修；xi=0表示該課程未被選修；

（2）若選修課程i時必須同時選修課程j，用xj-xi≥0表示；

（3）限選課5，6，7，8必須至少選一門，用■xi≥1表示；

（4）用變量y1，y2分別表示選修的限選課、任選課的學分數；y表示總的學分（包括2個必修學分）。

對問題（1）建立0-1規劃模型如下

min■xi

■

利用Lingo軟件求解以上0-1規劃，運行結果為：x1=x4=x6=x10=x11=1，其它xi=0，y1=12，y2=6，y=20。即至少要選修5門課，編號為1，4，6，10，11。該整數規劃的最優解不唯一。下面通過對變量的約束進行隱枚舉給出多組解，得到選課方案見表2。

表2 最優選課方案

■

如上所得最優選課方案有3種，這3種方案所得學分恰好是20。為了得到20學分選5門課程即可。這些結果反映了課程1，2，4，6，10，11，14比較優先考慮。

通過建立相似的數學模型，問題（2）同樣可以解決，這里就不詳細給出了。

除了上述兩種方法之外，在數學教學中常用的方法還有很多。如分析綜合法、類比法、參數法、配方法等。針對不同的問題選取合適的方法，對大學數學的教學意義重大。

四、數學思想方法在高等數學教學中的作用

通過上面對數學思想與數學方法地闡述，可清晰地發現，由于一定的數學思想總是通過某種數學方法來實現，而具體的某種數學方法又總是反映一定的數學思想，因此數學思想和數學方法沒有嚴格的界限，從而在數學教學中，人們可以將這兩種概念統稱為數學思想方法。在大學數學教學中注重數學思想方法的教學，對學生學習數學知識、鍛煉各種能力會起到積極的作用，以下從三個方面談一談。

（一）注重數學思想方法的教學，使學生更好的掌握數學知識

數學思想方法的教學以數學知識為載體，結合新課程標準的要求，按照認知規律進行整體策劃，分階段、有步驟地進行滲透。同時，在教材的知識結構和教學設計上不斷完善數學思想方法的理念，使數學知識與思想方法有機結合起來，形成完整的系統。教師通過教學實踐，加深對“數學思想方法”的理解，以便在教學過程中更好地把握教學目標，讓學生動手實驗，探索發現，合理歸納，揭示出數學概念、原理、規律的本質，從而有利于學生對數學知識的學習。

（二）注重數學思想方法的教學，培養學生的創新能力

新課程標準強調：在數學教學中，應當引導學生在學好概念的基礎上掌握數學的規律。以數學知識為主線，以發掘數學思想方法為羽翼，師生合作互動。在這個過程中，通過學生探索與思考、觀察與分析，使學生始終處于最佳學習狀態，保證施教活動的有效性，使學生自然地達到對數學思想方法的領悟，這樣能從根本上培養其認知能力和創新能力。

（三）注重數學思想方法的教學，培養學生的數學思維習慣

學生通過數學思想方法的培養和訓練，可以看到活生生的數學知識的來龍去脈，掌握具體的內容，而且也能領會、運用內在的思想方法，從而形成自己的數學思維習慣。

注重數學思想方法的教學，符合當前大學數學教學的發展趨勢。正如波利亞強調：在數學教學中“有益的思考方式、應有的思維習慣”應放在教學的首位。加強數學思想方法的教學，必然對提高大學數學教學質量起到積極的作用。

五、總結

本文通過教學中的實際例子，介紹了數學思想與數學方法在大學數學教學中的重要地位。總結了教學中運用到的具體的數學思想和數學方法，通過闡述數學思想方法在學生的學習和能力培養的過程中起到的重要作用，進一步地說明了在大學數學教學中，注重數學的思想和方法所具有的深遠意義。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 徐利治.數學方法論選講[M].武漢：華中科技大學出版社，2002.

[2] 陳紀修.數學分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[3] 鄭寶東.線性代數與空間解析幾何[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2000.

[責任編輯：林志恒]