關(guān)于“雞兔同籠”教學(xué)中“假設(shè)法”的調(diào)查研究

劉慧

【摘要】 教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在應(yīng)用假設(shè)法解“雞兔同籠”問(wèn)題時(shí)的認(rèn)知與眾多文獻(xiàn)上有差異，為了了解學(xué)生的真實(shí)認(rèn)知及對(duì)假設(shè)法的理解與掌握程度，以三所學(xué)校六個(gè)班的273名六年級(jí)學(xué)生為研究對(duì)象，以已學(xué)過(guò)的問(wèn)題作為測(cè)試題，編制問(wèn)卷進(jìn)行了調(diào)查.

【關(guān)鍵詞】 雞兔同籠；假設(shè)法；教學(xué)；調(diào)查；思考

一、問(wèn)題的提出

為給五年級(jí)學(xué)生上一堂用假設(shè)法解“雞兔同籠”問(wèn)題的課外活動(dòng)課，筆者抱著學(xué)習(xí)與借鑒的想法，閱讀、分析了大量教學(xué)實(shí)錄、設(shè)計(jì)等文章，確定以某名師的教學(xué)實(shí)錄為主，融合其他設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)上這堂課，以期取得好的效果.可教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生的認(rèn)知與眾多文章上有一定的差異，主要表現(xiàn)在：學(xué)生并不是從“全是雞（兔）”著手，而是從自己判斷的某個(gè)數(shù)去進(jìn)行探究.雖然參加過(guò)奧數(shù)輔導(dǎo)的幾名學(xué)生作出了“全是雞（兔）”的假設(shè)，但說(shuō)不出為什么這樣假設(shè).當(dāng)然，出現(xiàn)這種差異的主要原因可能是筆者缺乏教學(xué)經(jīng)驗(yàn)造成的，但感到大多數(shù)學(xué)生的認(rèn)知更符合常理，使我陷入了百思不得其解的痛苦之中.

二、研究測(cè)試與方法

測(cè)試與調(diào)查的問(wèn)題及實(shí)施

1. 測(cè)試與調(diào)查的問(wèn)題

測(cè)試題：今有雞兔同籠，上有35 個(gè)頭，下有 94只腳.問(wèn)雞、兔各多少？

這是你們課本上學(xué)過(guò)的“雞兔同籠”問(wèn)題.請(qǐng)你用假設(shè)法給出該題的一種解法，然后回答：

（1）你的解答中為什么這樣假設(shè)？知道的請(qǐng)寫(xiě)明原因.

（2）請(qǐng)將你學(xué)校任課老師講解該問(wèn)題時(shí)給出的不同假設(shè)寫(xiě)在下面（只寫(xiě)“假設(shè)……”，不寫(xiě)解題過(guò)程）.

（3）請(qǐng)把你解該題時(shí)能提出的不同假設(shè)全寫(xiě)下來(lái)（同（2））.

（4）今有雞兔同籠，共有35 個(gè)頭.請(qǐng)你推測(cè)或猜測(cè)雞和兔各有幾只？把你猜測(cè)的結(jié)果寫(xiě)在下面.

2. 測(cè)試與調(diào)查的實(shí)施和統(tǒng)計(jì)

從某省會(huì)城市選取了三所公認(rèn)的好學(xué)校，每個(gè)學(xué)校采取隨機(jī)整體抽樣，各抽取兩個(gè)班，分別于2014年3月13日、14日，在任課老師的協(xié)助下進(jìn)行測(cè)試與調(diào)查，答卷時(shí)間30分鐘.收回答卷273份，有效問(wèn)卷265份，有效率97.07%（見(jiàn)表一）.然后進(jìn)行閱卷與簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)，再用SPSS軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析.

表一：樣本人數(shù)分布及有效問(wèn)卷份數(shù)分布情況

三、結(jié)果與分析

（一）測(cè)試題答對(duì)人數(shù)、百分率及差異比較

在有效問(wèn)卷中，正確答案189份，正確率71.32%；錯(cuò)誤答案76份，答錯(cuò)率28.68%（分布情況見(jiàn)表二）；經(jīng)χ2檢驗(yàn)，三校學(xué)生答題正誤率的高低受學(xué)校及任課教師的影響沒(méi)有明顯的差異.這說(shuō)明大多數(shù)學(xué)生能用“假設(shè)法”正確地寫(xiě)出解題過(guò)程.在近三成的錯(cuò)誤答卷中，有18份解答幾乎空白，連假設(shè)也沒(méi)作出，占有效問(wèn)卷的6.79%；有36份作出了假設(shè)，但過(guò)程不完善或錯(cuò)誤，占有效問(wèn)卷的13.58%；有22名學(xué)生作出了假設(shè)，過(guò)程也正確，但求出來(lái)的不知道是雞還是兔，占有效問(wèn)卷的8.30%.另外，六年級(jí)學(xué)生用列舉法、畫(huà)圖法、假設(shè)法、方程法解答此題的總正確率為72.5%，雖無(wú)法作出明確的比較，但能說(shuō)明該調(diào)查的結(jié)果還是比較科學(xué)的.

表二：解答正確的人數(shù)及有效問(wèn)卷的百分率分布情況

（二）“為什么這樣假設(shè)”的調(diào)查結(jié)果

統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示：在247份作出假設(shè)的答卷中，回答知道自己為什么這樣假設(shè)的有118份，占47.77%；不知道的有129份，占52.23%.但從回答知道的學(xué)生給出的原因來(lái)看，主要可分為三類：回答“不這樣假設(shè)做不出來(lái)”的有58人，占49.15%；回答“老師教的”有36人，占30.51%；回答“這樣解題簡(jiǎn)便”的有16人，占13.56%.另有8人（占6.78%）的回答什么意思也沒(méi)表達(dá)出來(lái).由此看來(lái)，回答知道的學(xué)生其實(shí)也不知道.總之，學(xué)生不知道自己解題時(shí)作出假設(shè)的原因，也說(shuō)明3.1中能用“假設(shè)法”正確寫(xiě)出解題過(guò)程的學(xué)生，恐怕只是機(jī)械地套老師教給的方法罷了.

（三）關(guān)于“不同假設(shè)”的調(diào)查結(jié)果及相關(guān)性分析

統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，無(wú)論是老師所教，還是學(xué)生所提，不同假設(shè)有四種：假設(shè)全是雞（頭）、假設(shè)全是兔（頭）、假設(shè)全是雞腿、假設(shè)全是兔腿（分布情況見(jiàn)表三）.前兩種假設(shè)應(yīng)該是老師們教學(xué)中都教過(guò)的，也是學(xué)生解題時(shí)能提出的最多的假設(shè)，之所以達(dá)不到100%，應(yīng)是個(gè)別學(xué)生不能理解與掌握造成的.而教師所教后兩種假設(shè)的答卷全部來(lái)自一個(gè)班，說(shuō)明只有該班的任課老師教了這兩種不同的假設(shè).學(xué)生提出的后兩種假設(shè)的數(shù)量比老師教的多（經(jīng)χ2檢驗(yàn)不存在顯著性差異，χ2=0.3178），估計(jì)是個(gè)別學(xué)生參加課外輔導(dǎo)的老師所教.老師所教與學(xué)生所提不同假設(shè)的積差相關(guān)系數(shù)r > r0.001 = 0.999，高度顯著相關(guān)，說(shuō)明學(xué)生提出的假設(shè)來(lái)源于老師所教，沒(méi)有創(chuàng)新性的假設(shè).這與不明白為何這樣假設(shè)有關(guān)，印證了3.2中學(xué)生不知道為什么這樣假設(shè)的結(jié)果.

表三：不同假設(shè)的總數(shù)及占有效問(wèn)卷的百分率分布情況

（四）測(cè)試題放棄腳的條件限制后的猜測(cè)結(jié)果

統(tǒng)計(jì)顯示，學(xué)生從雞兔共有35 個(gè)頭這個(gè)條件出發(fā)猜測(cè)雞兔只數(shù)的結(jié)果，除了4名學(xué)生出現(xiàn)了全是雞或兔的猜測(cè)外，其他學(xué)生給出的結(jié)果都在5和30之間.雖然該問(wèn)題放棄了94只腳的條件限制，給學(xué)生留出了全是雞或兔的思考空間，絕大多數(shù)學(xué)生還是不做極端的猜測(cè).這說(shuō)明了：若不放棄該條件，老師又不講解，絕大多數(shù)學(xué)生不從極端的假設(shè)入手對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探索.這也從反面證明了3.3中學(xué)生所提出的假設(shè)來(lái)源于老師所教的結(jié)論.

四、討論與教學(xué)建議

由上可知，城市里好學(xué)校的學(xué)生尚且不能理解假設(shè)法，那一般學(xué)校就可想而知了.其實(shí)，這是一個(gè)較為普遍的現(xiàn)象，不少老師也發(fā)現(xiàn)了這一問(wèn)題.學(xué)生很多時(shí)候是濫用套路，并沒(méi)有真正理解和掌握假設(shè)法.諸如假設(shè)法等方法來(lái)得并不自然，易使學(xué)生形成對(duì)數(shù)學(xué)的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，并打擊學(xué)生的自信.因此，探討其原因并提出合理化的教學(xué)建議具有重要意義.

（一）對(duì)假設(shè)法含義的理解是學(xué)生掌握該方法的關(guān)鍵

學(xué)生對(duì)假設(shè)法的理解和掌握與教師的教學(xué)有很大關(guān)系.不少教師所教的假設(shè)法其實(shí)是一種“術(shù)”，只是具體地解決了“如何假設(shè)”，而對(duì)于為什么要這樣假設(shè)，大多未能有效地解決，從而造成了很多學(xué)生對(duì)假設(shè)法的“一知半解”和“生搬硬套”.而這一切的根源在于對(duì)假設(shè)法含義的理解.

在諸多文章中，明確界定假設(shè)法含義的并不多.有專家認(rèn)為：“假設(shè)法就是先假設(shè)全都是雞（或兔），然后根據(jù)由假設(shè)得到的腿數(shù)與實(shí)際腿數(shù)的差，就能求出兔（或雞）的只數(shù).”而大多數(shù)文章都是在講完例題后，給出界定：“我們把這種先假設(shè)所有的動(dòng)物都是雞或兔的方法叫作假設(shè)法.”這樣的界定顯然有失偏頗，既沒(méi)有抓住假設(shè)的實(shí)質(zhì)，也束縛了學(xué)生的思維.

科學(xué)方法論認(rèn)為，假設(shè)是在事實(shí)或科學(xué)理論的基礎(chǔ)上，通過(guò)觀察、聯(lián)想、推理或直觀等手段作出的初步估計(jì)與判斷，是一種預(yù)見(jiàn)或猜想，它是理論形成和問(wèn)題解決的前提.在此前提下再進(jìn)行驗(yàn)證、推理與調(diào)整，檢驗(yàn)其科學(xué)性或解決問(wèn)題，就是人們通常所說(shuō)的假設(shè)法.它是提出猜想，驗(yàn)證與修正猜想，并證明猜想的一個(gè)過(guò)程.其實(shí)，方法論中沒(méi)有假設(shè)法，這種處理問(wèn)題的方法應(yīng)該是英國(guó)哲學(xué)家赫歇爾提出的假設(shè)—演繹法.

（二）教學(xué)建議——尊重學(xué)生認(rèn)知，解放學(xué)生的頭腦

由于學(xué)生觀察問(wèn)題的角度、直觀感受與認(rèn)知水平有差異，其在解決“雞兔同籠”問(wèn)題時(shí)作出的初步估計(jì)與判斷也有差異，其預(yù)見(jiàn)或猜想——假設(shè)也就不盡相同.因此，教學(xué)應(yīng)該尊重學(xué)生的認(rèn)知，讓學(xué)生展現(xiàn)其真實(shí)想法，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造力的培養(yǎng)，切莫為了解法的統(tǒng)一，禁錮學(xué)生的思維，真正落實(shí)陶行知先生提出的“解放兒童的頭腦，使他能想”的教學(xué)建議.由此，筆者提出以下教學(xué)建議：

1.引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目的條件，作出初步的分析，提出假設(shè)，再通過(guò)驗(yàn)證、推理與調(diào)整來(lái)解決問(wèn)題

教師在講清假設(shè)含義的基礎(chǔ)上，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生從頭或腳的一個(gè)條件入手，自己作出估計(jì)性判斷，提出合理的假設(shè)，并據(jù)此去推理、驗(yàn)證是否符合另一個(gè)條件，若不符合，就調(diào)整到符合為止.事實(shí)上，解“雞兔同籠”問(wèn)題，假設(shè)部分頭（腿）數(shù)為雞（兔）頭（腿）更合情理，因?yàn)轭}目說(shuō)的是雞兔同籠.就本文測(cè)試題而言，假設(shè)0～35之間的任意一個(gè)整數(shù)為雞（兔）的頭（只）數(shù)，或假設(shè)0～94之間的任意一個(gè)整數(shù)為雞（兔）的腿數(shù)（假設(shè)一個(gè)2的倍數(shù)為雞的腿數(shù)，或4的倍數(shù)為兔的腿數(shù)更簡(jiǎn)便），均在合理范圍內(nèi).前面3.4中的結(jié)果也驗(yàn)證了這樣的假設(shè)更符合學(xué)生的認(rèn)知.如測(cè)試題也可如下解：

解：假設(shè)有60只兔腳，則有34只雞腳，共有34 ÷ 2 + 60 ÷ 4 = 32（個(gè)）頭，比實(shí)際少35 - 32 = 3（個(gè)）頭.把4只兔腳換成4只雞腳多4 ÷ 2 - 4 ÷ 4 = 1（個(gè)）頭，故需要把3 ÷ 1 × 4 = 12（只）兔腳換成雞腳.故雞有（34 + 12） ÷ 2 = 23（只），兔有35 - 23 = 12（只）.

2. 通過(guò)讓學(xué)生比較不同假設(shè)下解法的優(yōu)劣，引導(dǎo)其掌握極端假設(shè)

教師可通過(guò)讓學(xué)生展示不同的假設(shè)及解題過(guò)程，使學(xué)生比較哪種假設(shè)解題更簡(jiǎn)單，引導(dǎo)其掌握最優(yōu)方法.若有學(xué)生給出了極端假設(shè)（全是雞或兔）更好，若沒(méi)有可引導(dǎo)學(xué)生考慮極端情況，使其嘗試解答，再與自己的解題過(guò)程進(jìn)行比較.這既可培養(yǎng)學(xué)生的優(yōu)化思想，也促使學(xué)生向“假設(shè)全是雞（兔）”過(guò)渡.當(dāng)然，學(xué)生有選擇的權(quán)利，不可強(qiáng)求統(tǒng)一，只要掌握這種思想就行.

結(jié)束語(yǔ)：“我們現(xiàn)在的教學(xué)過(guò)程中，各種‘套路太多，從牽強(qiáng)附會(huì)的‘情境創(chuàng)設(shè)到畫(huà)地為牢的‘合作探究，我們看到了學(xué)生太多的興高采烈……”這一針見(jiàn)血地指出了當(dāng)今的教學(xué)中虛假的花架子現(xiàn)象比較嚴(yán)重的現(xiàn)實(shí).筆者認(rèn)為：教學(xué)是一門(mén)實(shí)實(shí)在在的學(xué)問(wèn)，只有我們教師尊重學(xué)生的認(rèn)知，用心去做教學(xué)，眾多文章中那些精彩紛呈的教學(xué)景象才會(huì)成為現(xiàn)實(shí).管窺之見(jiàn)，請(qǐng)專家學(xué)者批評(píng)指正.