數學填空題中壓軸題的特點及應對策略

周興

填空題的壓軸題是高考選拔頂級人才的重要平臺，凝聚了命題人的智慧。它既能全面考查考生的運算、推理、估計等高層次的思維能力，也能考查考生在碰到困難時是否沉著冷靜、是否自信、是否能控制自己情緒等非智力方面的能力，能全面反映考生的綜合素養。那么填空壓軸題的特點是什么？我們又應該采取怎樣的應對策略呢？

一、多字母型

例1 （2012·江蘇卷14）已知正數a，b，c滿足條件：

5c-3a≤b≤4c-a，cln b≥a+cln c，則的取值范圍是 .

解：因為a，b，c都是正數，不等式兩邊都除以c，

5-≤≤4-.

因為cln b≥a+cln c，可得ln≥.

令x=，y=，可得5-3x≤y≤4-x

y≥ex，作出可行域.

==，所以目標函數的幾何意義：可行域中的點和原點連線的斜率.

A（，），B（1，e），且B點在可行域內，所以的取值范圍是（e，7）.

評析：這類問題是考試的熱點，它作為壓軸題能讓考生感到字母多而無所適從，主要的應對策略是：利用轉化、化歸的思想，把已知不等式同除以c，再利用換元思想令x=，y=，把三個變量轉化為兩個變量，最后利用線性規劃來解決問題。

二、大運算量型

例2 （2010·江蘇卷14）將邊長為1 m的正三角形薄鐵皮沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記s=，則s的最小值是 .

解：設梯形上底邊為x，則梯形的兩腰為（1-x），高為（1-x），0

s==- .

令u（x）=，0

u′（x）==.

所以，當0

當

所以，當x=時，u（x）最大，s最小，

smin=-×=.

評析：這類壓軸題運算量非常大，學生遇到這類題目時常常感到題目會做，但又做不完、做不對，此時學生情緒上會很沮喪，這類題目對學生的殺傷力是最大的。應對策略：平時加強對學生運算能力的培養，對運算量大的題目要不急不躁，迎難而上，打下扎實的基本功。

三、合情推理型

例3 （2013·南通二模13）設實數x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1·x2·x3·x4·x5=729，則max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是 .

解：∵x1x2+x3x4≥2，即取定一個x5后，x1x2，x3x4不會都小于.

同樣，x2x3+x4 x5≥2，+≥

2.

使三個不等式等號都成立，則x1x2=x3x4=，

x2x3+x4x5=，x1=x5，即x1=x3=x5，x2=x4，x1x2=x2x3=

x3x4=x4x5.

所以729=x13·x22=，（x1x2）3=729·x2，x2的最小值為1，所以x1x2的最小值為9，此時x1=x3=x5=9，x2=x4=1.

評析：這類壓軸題未知量多而等量關系只有一個，用常規的演繹法很難解決此類問題，學生往往感到深不可測。應對策略：靠合情推理以及嚴密的邏輯思維能力推得未知量的值，此類問題作為壓軸題的情況較多，要引起學生的高度重視。

四、大膽估計型

1.估計數值

例4 （2013·江蘇卷14）在正項等比數列{an}中，a5=，

a6+a7=3，則滿足a1+a2+…+an>a1a2…an的最大正整數n的值為 .

解：設等比數列的首項為a1，公比為q>0.

由a1·q4

=

a1·q5+a1·q6=3， 得a1=，q=2.

由a1+a2+…+an>a1a2…an得2n-1>2 ，

估計n=12時，212-1>211，n=13時，213-1<218.

所以滿足條件的最大正整數n的值為12.

評析：此類壓軸題在解到關鍵時刻時，就不能直接靠解不等式來求n的范圍，只能觀察式子，對n的值做有效估計，這樣才能又快又準地解出答案。

2.估計圖形

例5 （2014·蘇州卷14）若<0（m≠0）對一切x≥4恒成立，則實數m的取值范圍是 .

解：設函數f（x）=m2x-1，g（x）=mx+1.

因為兩個函數的函數值的商對一切x≥4都小于0，

因為m2>0且f（x）過定點（0，-1），所以先作f（x）=m2x-1的圖形如下：

f

可得f（x）與x軸的交點在（4，0）的左側.

估計g（x）=mx+1的斜率小于0，與x軸的交點也在（4，0）的左側.

列出不等式組f（4）>0

g（4）>0，解得m的范圍是-∞，

-.

評析：此類壓軸題首先要構造幾個函數，然后分別研究這些函數的圖象，并估計出這些圖象在同一坐標軸中的位置，通過零點、特殊點的函數值列出不等式組或方程，解出范圍或值。這要求學生對基本初等函數的圖象要熟練掌握。

綜上，作者只對常見的“多字母型”“大運算量性”“合情推理型”“大膽估計型”四類壓軸題做了歸類、評析和總結，并提出了應對策略，希冀對教師的教學實踐能有一定的指導價值，給考生的復習和高考帶來啟發和幫助。

填空題的壓軸題是高考選拔頂級人才的重要平臺，凝聚了命題人的智慧。它既能全面考查考生的運算、推理、估計等高層次的思維能力，也能考查考生在碰到困難時是否沉著冷靜、是否自信、是否能控制自己情緒等非智力方面的能力，能全面反映考生的綜合素養。那么填空壓軸題的特點是什么？我們又應該采取怎樣的應對策略呢？

一、多字母型

例1 （2012·江蘇卷14）已知正數a，b，c滿足條件：

5c-3a≤b≤4c-a，cln b≥a+cln c，則的取值范圍是 .

解：因為a，b，c都是正數，不等式兩邊都除以c，

5-≤≤4-.

因為cln b≥a+cln c，可得ln≥.

令x=，y=，可得5-3x≤y≤4-x

y≥ex，作出可行域.

==，所以目標函數的幾何意義：可行域中的點和原點連線的斜率.

A（，），B（1，e），且B點在可行域內，所以的取值范圍是（e，7）.

評析：這類問題是考試的熱點，它作為壓軸題能讓考生感到字母多而無所適從，主要的應對策略是：利用轉化、化歸的思想，把已知不等式同除以c，再利用換元思想令x=，y=，把三個變量轉化為兩個變量，最后利用線性規劃來解決問題。

二、大運算量型

例2 （2010·江蘇卷14）將邊長為1 m的正三角形薄鐵皮沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記s=，則s的最小值是 .

解：設梯形上底邊為x，則梯形的兩腰為（1-x），高為（1-x），0

s==- .

令u（x）=，0

u′（x）==.

所以，當0

當

所以，當x=時，u（x）最大，s最小，

smin=-×=.

評析：這類壓軸題運算量非常大，學生遇到這類題目時常常感到題目會做，但又做不完、做不對，此時學生情緒上會很沮喪，這類題目對學生的殺傷力是最大的。應對策略：平時加強對學生運算能力的培養，對運算量大的題目要不急不躁，迎難而上，打下扎實的基本功。

三、合情推理型

例3 （2013·南通二模13）設實數x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1·x2·x3·x4·x5=729，則max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是 .

解：∵x1x2+x3x4≥2，即取定一個x5后，x1x2，x3x4不會都小于.

同樣，x2x3+x4 x5≥2，+≥

2.

使三個不等式等號都成立，則x1x2=x3x4=，

x2x3+x4x5=，x1=x5，即x1=x3=x5，x2=x4，x1x2=x2x3=

x3x4=x4x5.

所以729=x13·x22=，（x1x2）3=729·x2，x2的最小值為1，所以x1x2的最小值為9，此時x1=x3=x5=9，x2=x4=1.

評析：這類壓軸題未知量多而等量關系只有一個，用常規的演繹法很難解決此類問題，學生往往感到深不可測。應對策略：靠合情推理以及嚴密的邏輯思維能力推得未知量的值，此類問題作為壓軸題的情況較多，要引起學生的高度重視。

四、大膽估計型

1.估計數值

例4 （2013·江蘇卷14）在正項等比數列{an}中，a5=，

a6+a7=3，則滿足a1+a2+…+an>a1a2…an的最大正整數n的值為 .

解：設等比數列的首項為a1，公比為q>0.

由a1·q4

=

a1·q5+a1·q6=3， 得a1=，q=2.

由a1+a2+…+an>a1a2…an得2n-1>2 ，

估計n=12時，212-1>211，n=13時，213-1<218.

所以滿足條件的最大正整數n的值為12.

評析：此類壓軸題在解到關鍵時刻時，就不能直接靠解不等式來求n的范圍，只能觀察式子，對n的值做有效估計，這樣才能又快又準地解出答案。

2.估計圖形

例5 （2014·蘇州卷14）若<0（m≠0）對一切x≥4恒成立，則實數m的取值范圍是 .

解：設函數f（x）=m2x-1，g（x）=mx+1.

因為兩個函數的函數值的商對一切x≥4都小于0，

因為m2>0且f（x）過定點（0，-1），所以先作f（x）=m2x-1的圖形如下：

f

可得f（x）與x軸的交點在（4，0）的左側.

估計g（x）=mx+1的斜率小于0，與x軸的交點也在（4，0）的左側.

列出不等式組f（4）>0

g（4）>0，解得m的范圍是-∞，

-.

評析：此類壓軸題首先要構造幾個函數，然后分別研究這些函數的圖象，并估計出這些圖象在同一坐標軸中的位置，通過零點、特殊點的函數值列出不等式組或方程，解出范圍或值。這要求學生對基本初等函數的圖象要熟練掌握。

綜上，作者只對常見的“多字母型”“大運算量性”“合情推理型”“大膽估計型”四類壓軸題做了歸類、評析和總結，并提出了應對策略，希冀對教師的教學實踐能有一定的指導價值，給考生的復習和高考帶來啟發和幫助。

填空題的壓軸題是高考選拔頂級人才的重要平臺，凝聚了命題人的智慧。它既能全面考查考生的運算、推理、估計等高層次的思維能力，也能考查考生在碰到困難時是否沉著冷靜、是否自信、是否能控制自己情緒等非智力方面的能力，能全面反映考生的綜合素養。那么填空壓軸題的特點是什么？我們又應該采取怎樣的應對策略呢？

一、多字母型

例1 （2012·江蘇卷14）已知正數a，b，c滿足條件：

5c-3a≤b≤4c-a，cln b≥a+cln c，則的取值范圍是 .

解：因為a，b，c都是正數，不等式兩邊都除以c，

5-≤≤4-.

因為cln b≥a+cln c，可得ln≥.

令x=，y=，可得5-3x≤y≤4-x

y≥ex，作出可行域.

==，所以目標函數的幾何意義：可行域中的點和原點連線的斜率.

A（，），B（1，e），且B點在可行域內，所以的取值范圍是（e，7）.

評析：這類問題是考試的熱點，它作為壓軸題能讓考生感到字母多而無所適從，主要的應對策略是：利用轉化、化歸的思想，把已知不等式同除以c，再利用換元思想令x=，y=，把三個變量轉化為兩個變量，最后利用線性規劃來解決問題。

二、大運算量型

例2 （2010·江蘇卷14）將邊長為1 m的正三角形薄鐵皮沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記s=，則s的最小值是 .

解：設梯形上底邊為x，則梯形的兩腰為（1-x），高為（1-x），0

s==- .

令u（x）=，0

u′（x）==.

所以，當0

當

所以，當x=時，u（x）最大，s最小，

smin=-×=.

評析：這類壓軸題運算量非常大，學生遇到這類題目時常常感到題目會做，但又做不完、做不對，此時學生情緒上會很沮喪，這類題目對學生的殺傷力是最大的。應對策略：平時加強對學生運算能力的培養，對運算量大的題目要不急不躁，迎難而上，打下扎實的基本功。

三、合情推理型

例3 （2013·南通二模13）設實數x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1·x2·x3·x4·x5=729，則max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是 .

解：∵x1x2+x3x4≥2，即取定一個x5后，x1x2，x3x4不會都小于.

同樣，x2x3+x4 x5≥2，+≥

2.

使三個不等式等號都成立，則x1x2=x3x4=，

x2x3+x4x5=，x1=x5，即x1=x3=x5，x2=x4，x1x2=x2x3=

x3x4=x4x5.

所以729=x13·x22=，（x1x2）3=729·x2，x2的最小值為1，所以x1x2的最小值為9，此時x1=x3=x5=9，x2=x4=1.

評析：這類壓軸題未知量多而等量關系只有一個，用常規的演繹法很難解決此類問題，學生往往感到深不可測。應對策略：靠合情推理以及嚴密的邏輯思維能力推得未知量的值，此類問題作為壓軸題的情況較多，要引起學生的高度重視。

四、大膽估計型

1.估計數值

例4 （2013·江蘇卷14）在正項等比數列{an}中，a5=，

a6+a7=3，則滿足a1+a2+…+an>a1a2…an的最大正整數n的值為 .

解：設等比數列的首項為a1，公比為q>0.

由a1·q4

=

a1·q5+a1·q6=3， 得a1=，q=2.

由a1+a2+…+an>a1a2…an得2n-1>2 ，

估計n=12時，212-1>211，n=13時，213-1<218.

所以滿足條件的最大正整數n的值為12.

評析：此類壓軸題在解到關鍵時刻時，就不能直接靠解不等式來求n的范圍，只能觀察式子，對n的值做有效估計，這樣才能又快又準地解出答案。

2.估計圖形

例5 （2014·蘇州卷14）若<0（m≠0）對一切x≥4恒成立，則實數m的取值范圍是 .

解：設函數f（x）=m2x-1，g（x）=mx+1.

因為兩個函數的函數值的商對一切x≥4都小于0，

因為m2>0且f（x）過定點（0，-1），所以先作f（x）=m2x-1的圖形如下：

f

可得f（x）與x軸的交點在（4，0）的左側.

估計g（x）=mx+1的斜率小于0，與x軸的交點也在（4，0）的左側.

列出不等式組f（4）>0

g（4）>0，解得m的范圍是-∞，

-.

評析：此類壓軸題首先要構造幾個函數，然后分別研究這些函數的圖象，并估計出這些圖象在同一坐標軸中的位置，通過零點、特殊點的函數值列出不等式組或方程，解出范圍或值。這要求學生對基本初等函數的圖象要熟練掌握。

綜上，作者只對常見的“多字母型”“大運算量性”“合情推理型”“大膽估計型”四類壓軸題做了歸類、評析和總結，并提出了應對策略，希冀對教師的教學實踐能有一定的指導價值，給考生的復習和高考帶來啟發和幫助。