淺議新課標下數學開放題的類型及例析

周長林++++高曉萍

摘 要： 本方從七個方面，結合具體實例對數學開放題進行分類討論，有助于理解開放題的概念，有助于把握問題的開放度，有利于教師把握一個數學開放題是否適用于課堂教學，或者有利于教師改變開放題的設問方式以輔助課堂教學，或者有利于考試評分的可操作性與公平性.

關鍵詞： 數學開放題 類型 例析

前蘇聯學者奧加涅認為，數學題由題目的條件、解題根據、解題的方法、題目的結論這四個要素組成，按題目中已知要素的多少可分為四種類型：標準性題（已知四個要素），訓練性題（已知三個要素），探索性題（已知兩個要素），問題性題（已知一個要素）.開放題屬于探索性題或問題性題.開放題最初只有結論開放一類，現已發展成為結論開放、條件開放、設計開放和問題本身開放等幾大類.對數學開放題的分類，從構成數學題系統的四要素（條件、依據、方法、結論）出發，定性地可分成四類：如果尋求的答案是數學題的條件，則稱為條件開放題；如果尋求的答案是依據或方法，則稱為策略開放題；如果尋求的答案是結論，則稱為結論開放題；如果數學題的條件、解題策略或結論都要求解題者在給定的情境中自行設定與尋找，則稱為綜合開放題.

從開放題答案的開口情況出發，定量地可分成三類：弱開放題——答案情況（包括可能情況）只有兩種的開放題；中開放題——答案情況（包括可能情況）超過兩種，但為數目確定的有限種；強開放題——只能給出部分答案情況，答案情況（包括可能情況）總數難以確定的開放題.

對開放題的分類討論，有助于理解開放題的概念，有助于把握問題的開放度，有利于教師把握一個數學開放題是否適用于課堂教學，或者有利于教師改變開放題的設問方式以輔助課堂教學，或者有利于考試評分的可操作性與公平性.

一、結論開放型

這類問題是在給定條件下探索結論的多樣性，主要考查學生的發散性思維和所學基礎知識的應用能力.這類開放題是指提供一定的條件，可以是不僅滿足條件，而且所得結論的意義相同的問題.也可以是提供一定的條件，滿足條件的結論方面往往有多種.

1.同題異果型

例1：180÷12=□÷□=□÷□=……你能寫出多少個？

通過訓練加深學生對商不變性質的理解和運用.

例2：1999年上海市高考數學試卷第12題（見前第3頁），學生可以根據自己的空間想象能力，可以設五條邊為1，一條邊為2；或五條2一條1；也可以兩條1四條2等多種組合，但同時又要考慮能否組成空間四面體，且不是組成正四面體，所以要先畫對圖，然后選擇合適的方法進行計算體積.

2.異題同果型

例3：甲乙兩艘軍艦同時從相距948千米的兩個港口對開.甲艘軍艦每小時行38千米，乙艘軍艦每小時行41千米.（1）幾小時后兩艘軍艦相遇？（2）甲艘軍艦開出幾小時后兩艘軍艦相遇？（3）乙艘軍艦開出幾小時后兩艘軍艦相遇？

這題的條件一樣，但問題是從三個不同的角度分別提出的，其題意、計算結果相同.加強這種開放題型的訓練，有利于深化理解掌握行程問題的解法.下面的這道題也是異題同果型.

例4：試指出下列兩個代數式的共同點：24a■bc■和18a■b■x■.

我們大家熟悉的兩個學生相距多遠的問題.1994年荷蘭數學教育學派的代表人物，德朗治（deLange）在上海做報告中有這樣一個題目：“如果A離學校5千米，B離學校10千米，問A、B相距幾千米？”這一題目似乎是一道小學算術題.事實上，它的內涵很豐富，涉及從自然數相加，有理數加減，圓的幾何軌跡，點的距離，以至圓的參數表示，復數相減等許多數學知識.題目可適合各種層次的學生，可以考慮一直線的情況，可以作為平面計算，也可以在空間測量，留給學生的空間很大.

二、條件開放型

這類考題是給定結論反探滿足結論的條件，而滿足結論的條件并不唯一.這類題常以基本知識為背景加以設計而成的，主要考查學生的基礎知識的掌握程度和歸納能力.

例5：1998年高考數學全國卷第18題（見前第3頁），就是一道典型的條件開放題.

例6：若二次函數f■（x）=a■x■+b■x+c■和f■（x）=a■x+b■x+c■使得f■（x）+f■（x）是（-∞，+∞）上單調遞增函數，試給出一組滿足上述要求的f■（x）=-f■（x）的函數式.

例7：（1）寫出一個解集是{x？搖？搖x=2kπ+■，k∈Z}的三角方程.

（2）已知m0，使它的結集分別是①（-∞，m）∪（n，+∞）；②（m，n，）.

學生習慣解各種類型的三角方程或不等式，但是要自己寫一個滿足要求的方程或不等式，往往比較困難，只要逆向思維、發散思維就會想出不少.

條件開放題是根據題中所給的結論、要求，從不同的角度尋找獲得解決這個結論的條件，按尋找條件的類型又可分為以下幾種：

1.補充條件型

例8：甲車間？搖？搖 ？搖乙車間？搖 ？搖？搖，丙車間？搖 ？搖？搖，請問三個車間共有工人多少人？（在整數范圍內根據問題補充條件后解答）

該題要補充的條件全部開放.要求學生展開聯想，發散思維，提出各種不同的可以解決問題的條件，當然也就不會有確定的答案.

2.選擇條件型

例9：計算圖形的面積（單位：米）.要求學生選擇圖形中相關的數據，算出它的面積.（圖略）

3.多余條件型

例10：學校圖書室有文藝書720本，科技書480本.如果把這些書全部放在書架上，平均每個書架放60本，需要這樣的書架多少個？

題中已知條件“文藝書720本”是多余條件.這樣，將有用條件和無用條件混雜在一起，形成干擾因素，讓學生根據題意進行分析選擇.

4.隱藏條件型

例11：某條公路兩天修完成.第一天修的比總長的2/3多2千米，正好相當于第二天修的4倍.這條公路原長多少米？

該題表面上看來似乎條件不足，但其所需的條件隱藏在題意之中，以致學生解題的失誤或無從下手.

三、操作開放題

該類題是比較好的數學開放題形式，充分體現了“讓學生在做中學”的數學觀念，促進了學生動手操作實踐能力的提高.

例12：拿幾張長方形紙，分別折疊出它的1/8，你能折疊出幾種不同的圖形嗎？

學生通過折疊，加深對分數意義及“平均分”概念的理解.

四、策略開放題

此類開放題分常規策略開放題和非常規策略開放題兩類.

1.常規策略開放題

指運用所學的知識，根據問題的條件分析、推理、判斷得到的途徑、手段可能是多種的，這些不同的途徑、手段就是不同的解題策略.

（1）手段開放型

例13：教學“三角形內角和性質”時，為找出這一性質，可采取開放結果的手段組織教學.①讓學生分別量出每一個三角形的三個內角度數，并求出它們的和.再引導推測驗證性質.②讓學生把一張長方形紙沿著一條對角線剪成兩個直角三角形.根據長方形四個角的度數和求出每個直角三角形的內角和性質.

（2）途徑開放題

平時提倡的“一題多解”屬于途徑開放型內容.

例14：除了通分外，你還能想出其他方法比較4/7和5/11的大小嗎？

此題可以采取以下兩種不同的解題途徑：①把4/7和5/11化成和原來分數相等、分子相同的分數，然后比較它們大??；②因為4個1/7（4/7）比3.5個1/7（1/2）大，而5個1/11比5.5個1/11（1/2）小，由此推理判斷4/7大于5/11.

此類開放題目的在于拓寬學生解題思路，培養學生思維的靈活性和創造性.

2.非常規策略開放題

除了運用常規策略開放題外，還應緊密聯系實際，超越常規解題思路、方法，讓學生學會多角度解決問題.

例15：一條麻袋裝大米100千克，現有440千克大米，需要幾條麻袋才能裝完？

計算結果是4.4條，但不能用常規的“四舍五入”法取4條.因為使用4條麻袋不可能裝完，要用“進一法”使用5條才能裝完.

五、綜合開放題

某一數學問題，若題目的條件、解題策略或結論中有兩項以上不確定，則為綜合開放題.綜合開放題可以是同學科的，也可以是跨學科的.

例16：用一根14厘米的鐵絲，可以圍成幾種形狀不同且長和寬都是整厘米數的長方形.并分別求出圍成的各長方形的面積.

這道題也可以看做是操作性開放題.題中要求所圍的長方形的長和寬數據，學生要根據條件自己尋找假設，難度較大，但對創新精神和實踐能力的培養極有益處.

開放題的題型并沒有固定的標準，應當具體問題具體分析.同一個問題你可以根據教學內容要求劃定類型，不要拘泥僵化.值得一提的是，數學開放題的設計，應力求以課程標準、教材為依據，以學生的知識實際為出發點，以學生可接受性為尺度.要從心理近體原則出發，符合認知近體、時間近體、空間近體，體現實用，重視運用，突出靈活，把握梯度.教師應認真進行教學設計.為了配合開放題的教學，教學手段和方法要開放，這樣才能促使學生學習狀態的開放.

六、設計開放型

這類題目要求學生運用學過的數學知識，通過觀察、試驗、聯想、類比、演繹、歸納、分析、綜合、猜想等思維形式，對數學問題進行探索和研究，考查學生的探究能力.

例17：初中數學教學的一道開放題：“有一塊長方形的場地，現要在其中建造一些花壇，使得花壇的總面積恰好為原場地的一半，試盡量美觀而準確地做好設計.”這道題將藝術、數學巧妙地結合起來，發人深省.

例18：“五石子問題”：甲、乙、丙三人任意擲五粒石子，投出的石子離散程度最小者為優，試給出判斷這五粒石子離散程度的準則.

這個問題的關鍵是如何確定“散度”，但題目并沒有給出什么叫“散度”，要求學生通過想象用數值表示這個“散度”.通常的方法有：①任意兩點所連線段之中最長者；②連接各點所成直線形的面積之中最大者；③各點間連線長度之和中最長者；④含五點的圓的半徑之最小者，等等.

這道題不需要很深奧的理論及專門的知識，卻又不是簡單可以回答的.其答案似乎很多，又很容易得到，但要得到真正好的準則，也不是容易的.

七、問題本身開放型

為了培養學生的創新能力，應當聯系社會生活的實際，開發一些研究性課題，對學生進行訓練，適應新的形勢.研究型課題本身就具有開放性.比如存貸款問題、交通問題、環境保護問題，等等.

例19：上海市新編數學教材《統計初步》中有一例，1990年人口普查時，上海共有4065274個家庭戶，總人口數12589650，于是計算得家庭平均人口數為12589650/4065274≈3.10（人）.用同樣的計算，可算得1982年人口普查時，上海市家庭平均人口數為3.60人.于是得到了上海市的“家庭規模正在縮小”的結論.

如果按傳統的教法，幾乎沒有新的知識點，學生就很可能只學到平均數的計算公式，而沒有學到統計的思想和方法.讓學生自己回答這個問題，會陸續碰到許多問題，如（1）家庭規模怎么刻畫？用財產數？住房大??？家庭人口數？（2）一家一戶的家庭規模確定之后，上海市總的家庭規模怎么刻畫？（3）要統計全上海的家庭工作量太大，是否可以少統計一些？如果可以，應該統計哪些家庭？這些家庭的統計結果能否代表上海市的情況？……這些問題實際上已涉及了教師要教的基本內容：總體、樣本、指標、統計量、平均數等.由于它們是學生自己提出來的，因此學生研究的積極性和責任心就特別強，這是學習成功的非常重要的非智力因素.endprint

生活永遠是數學問題不枯竭的源泉.關注現實世界中的問題，特別是學生身邊的或可理解的實際問題，可使學生有一種親近感和解題欲望.

例20：上?，F行的出租車收費標準是：當路程不超過3千米但不超過10千米時，超過部分的單價2元/千米（不足1千米按1千米計算）；當路程超過10千米時，超過部分的單價為3元/千米（不足1千米按1千米計算），夜23點至第二天凌晨5點加收30%.請討論利用中途換乘出租車的方法，可以節省費用的可能性.

如果我們對這一點有明晰的、開放式的認識，就會發現在自己熟知的日常生活中有許許多多這樣的事例。確實，生活是孕育智慧的搖籃，作為一個開放型的中學數學教師就應當善于將生活請進課堂，豐富課堂，使學生能夠學有所思，學有所用，使教與學放得更開，從而真正培養學生的開放性思維.

例21：甲、乙、丙三位學生在這學期中的三次數學測驗成績如下：

要比較這三個學生的成績好壞，讓學生根據實際的需要和自己的理解，分析數據并得出結論.其實你可以設計更復雜的表格，通過不同層次的比較，提高學生的發散思維能力.

例22：美國中學數學教材在剛引入統計知識時有這樣一道題：W.W.公司有15名員工，他們的工資如下表所示，請你按下時要求作答：

（1）求年薪的平均數；（2）求年薪的中位數；（3）假設報紙上報道“W.W.公司的員工年薪平均水平為32000（美元）”，是否會使大部分員工感到不真實？

學生很容易算出平均數和中位數分別為32000和21000.但我們體會到，本例題強調的不是平均數和中位數的算法，而是想通過第（3）的討論讓學生弄清楚平均數和中位數作用，且通過對這兩個統計量的比較，認識到它們的局限性.

參考文獻：

[1]王尚志.數學教學研究與案例.高等教育出版社，2006.12.

[2]歐陽芬，黃小華.新課程下課堂教學技能的創新與發展.中國輕工業出版社，2004.11.

[3]朱恒杰.新課程有效教學疑難問題操作性解讀.教育科學出版社，2008.4.

[4]李果民.中學數學教學建模.廣西教育出版社，2003.5.

[5]王國江.高中數學開放型問題.上海大學出版社，2012.1.endprint

生活永遠是數學問題不枯竭的源泉.關注現實世界中的問題，特別是學生身邊的或可理解的實際問題，可使學生有一種親近感和解題欲望.

例20：上?，F行的出租車收費標準是：當路程不超過3千米但不超過10千米時，超過部分的單價2元/千米（不足1千米按1千米計算）；當路程超過10千米時，超過部分的單價為3元/千米（不足1千米按1千米計算），夜23點至第二天凌晨5點加收30%.請討論利用中途換乘出租車的方法，可以節省費用的可能性.

如果我們對這一點有明晰的、開放式的認識，就會發現在自己熟知的日常生活中有許許多多這樣的事例。確實，生活是孕育智慧的搖籃，作為一個開放型的中學數學教師就應當善于將生活請進課堂，豐富課堂，使學生能夠學有所思，學有所用，使教與學放得更開，從而真正培養學生的開放性思維.

例21：甲、乙、丙三位學生在這學期中的三次數學測驗成績如下：

要比較這三個學生的成績好壞，讓學生根據實際的需要和自己的理解，分析數據并得出結論.其實你可以設計更復雜的表格，通過不同層次的比較，提高學生的發散思維能力.

例22：美國中學數學教材在剛引入統計知識時有這樣一道題：W.W.公司有15名員工，他們的工資如下表所示，請你按下時要求作答：

（1）求年薪的平均數；（2）求年薪的中位數；（3）假設報紙上報道“W.W.公司的員工年薪平均水平為32000（美元）”，是否會使大部分員工感到不真實？

學生很容易算出平均數和中位數分別為32000和21000.但我們體會到，本例題強調的不是平均數和中位數的算法，而是想通過第（3）的討論讓學生弄清楚平均數和中位數作用，且通過對這兩個統計量的比較，認識到它們的局限性.

參考文獻：

[1]王尚志.數學教學研究與案例.高等教育出版社，2006.12.

[2]歐陽芬，黃小華.新課程下課堂教學技能的創新與發展.中國輕工業出版社，2004.11.

[3]朱恒杰.新課程有效教學疑難問題操作性解讀.教育科學出版社，2008.4.

[4]李果民.中學數學教學建模.廣西教育出版社，2003.5.

[5]王國江.高中數學開放型問題.上海大學出版社，2012.1.endprint

生活永遠是數學問題不枯竭的源泉.關注現實世界中的問題，特別是學生身邊的或可理解的實際問題，可使學生有一種親近感和解題欲望.

例20：上?，F行的出租車收費標準是：當路程不超過3千米但不超過10千米時，超過部分的單價2元/千米（不足1千米按1千米計算）；當路程超過10千米時，超過部分的單價為3元/千米（不足1千米按1千米計算），夜23點至第二天凌晨5點加收30%.請討論利用中途換乘出租車的方法，可以節省費用的可能性.

如果我們對這一點有明晰的、開放式的認識，就會發現在自己熟知的日常生活中有許許多多這樣的事例。確實，生活是孕育智慧的搖籃，作為一個開放型的中學數學教師就應當善于將生活請進課堂，豐富課堂，使學生能夠學有所思，學有所用，使教與學放得更開，從而真正培養學生的開放性思維.

例21：甲、乙、丙三位學生在這學期中的三次數學測驗成績如下：

要比較這三個學生的成績好壞，讓學生根據實際的需要和自己的理解，分析數據并得出結論.其實你可以設計更復雜的表格，通過不同層次的比較，提高學生的發散思維能力.

例22：美國中學數學教材在剛引入統計知識時有這樣一道題：W.W.公司有15名員工，他們的工資如下表所示，請你按下時要求作答：

（1）求年薪的平均數；（2）求年薪的中位數；（3）假設報紙上報道“W.W.公司的員工年薪平均水平為32000（美元）”，是否會使大部分員工感到不真實？

學生很容易算出平均數和中位數分別為32000和21000.但我們體會到，本例題強調的不是平均數和中位數的算法，而是想通過第（3）的討論讓學生弄清楚平均數和中位數作用，且通過對這兩個統計量的比較，認識到它們的局限性.

參考文獻：

[1]王尚志.數學教學研究與案例.高等教育出版社，2006.12.

[2]歐陽芬，黃小華.新課程下課堂教學技能的創新與發展.中國輕工業出版社，2004.11.

[3]朱恒杰.新課程有效教學疑難問題操作性解讀.教育科學出版社，2008.4.

[4]李果民.中學數學教學建模.廣西教育出版社，2003.5.

[5]王國江.高中數學開放型問題.上海大學出版社，2012.1.endprint