高等數學中的概念教學

張云霞

摘 要：高等數學中的主要概念都是從實際問題中抽象出來的，學生學起來普遍感到比較困難，很難接受。然而學生對概念的理解是否正確、透徹對高等數學的學習起著至關重要的作用，因此本文主要探討了如何在高等數學的教學中進行概念的教學。

關鍵詞：高等數學；數學概念；教學

高等數學是高等院校理工科、經管類學生必修的一門數學類的公共基礎課程，該門課程的學習直接關系到學生后續數學課程、專業課程的學習。在高等數學的教學中，我們發現許多教師重計算輕概念，把大量的時間花在了計算上面，而學生對概念本身并沒有理解，從而導致了學生不知為何學習，學完了也不會使用的現象。而概念是數學的基石，是數學思維的基礎，對概念的理解和掌握在高等數學的學習中占有非常重要的地位。因此如何在教學中如何講清概念，使學生更好的理解概念，會使用所學的數學知識解決實際問題是高等數學教學中的一個關鍵。下面結合筆者從事教學的實際經驗，探討在高等數學的教學中如何進行概念教學。

1 運用數學史進行概念教學

數學史是研究數學的發生、發張過程及其規律的一門學科，它反應了數學發展的脈絡與本質。在教授數學概念之前，先向學生介紹一些相關的數學史，不僅可以使學生了解概念的產生、發展、完善的過程，深刻的理解概念，還可以激發學生的學習興趣和求知欲望。高等數學中的數學概念都是來自于對實際問題的研究，是在具體的實際問題中抽象出來的，因此不宜直接給出概念的定義，而應把概念的發生、形成、探索過程呈現出來，這樣，學生在學習概念的時候不會感到突然，而是覺得這是很自然的事情，更重要的是，能使學生對概念作深層次的理解，提高學生發現問題和解決問題的能力。

例如在講解極限的概念時，可以先介紹數學史中極限產生的思想。比如戰國時代的《莊子·天下篇》中有“一尺之錘，日取其半，萬事不竭”的名言。其意是所余部分總是可一分為二，永遠取不完。到了公元三世紀，我國三國時期杰出的數學界劉徽，它為了定義和計算圓的周長，創立了“割圓術”，他用圓內接正多邊形的周長近似代替圓的周長，實際上內接正多邊形邊數越多，它的周長就越接近圓的周長。劉徽指出：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體無所失矣?！蓖ㄟ^這些數學史的介紹學生知道早在古代就有了極限的思想，可以深刻的理解極限的概念，有助于后面極限知識的學習。

2 通過實例引入概念

高等數學中的概念都是來源于對實際問題的研究，是在研究實際問題的過程中抽象出來的。因此我們在講解高等數學中的數學概念時一定要從實際問題入手，在解決實際實際問題的過程中讓學生去體會概念的產生，并學會自己歸納數學概念，教師再加以引導，這樣學生在學習數學概念時就不會覺得很抽象，會覺得這是一個自然的過程。

例如我們在講解導數概念的時候，可以首先介紹曲線切線的斜率和變速直線運動的瞬時速度這兩個實際問題，通過教師的引導，學生可以認識到雖然這兩個問題的背景不同，一個是幾何問題，一個是物理問題，但問題的解決的思想和方法是相同的，最后都可歸結到處理增量之比的極限問題。因此， 數學就有單獨研究增量之比這類極限的必要， 這類極限就定義為導數。通過這兩個實例的引入學生可以自己歸納出導數的定義，并能夠理解導數的概念，這樣概念的形成在學生腦海中就是一個很自然的過程。反之，如果直接給出導數的定義，學生會感到迷茫，無法理解這個概念，覺得它很抽象，是一個孤立的東西。

又如在引入定積分的概念時， 我們可以先介紹如何求平面圖形的面積這個實際問題：即如何來求解由曲線y=f（x），x=a，x=b及x軸所圍成的平面圖形的面積。由于有了前面極限的基礎，在教師的引導下學生會想到利用極限的方法來解決。通過“分割——近似代替——求和——取極限”四個步驟我們可以得到一個和式的極限， 若此極限存在， 我們將其定義為函數y =f（x）在區間[a， b]上的定積分， 也就是上述曲邊梯形的面積。這樣先提出實際問題， 引導學生從問題出發，自己分析并概括出數學概念，讓學生去經歷再創造的過程，會使學生很好的理解并應用概念。作為高等數學的教師，我們應是幫助學生形成概念而不是教概念。實際上， 學生掌握一個概念有困難， 很大程度上是由于這個概念的獲得過程與常識概念的形成過程次序相反造成的， 因此我們應按知識的發生過程來組織教學。

3 采用類比法引入概念

高等數學中有些概念并不是從實際問題的直接需要而引進的，而是已學過的一些概念的引申和推廣。對于這樣的概念用類比法進行教學會取得很好的效果。即通過對比的方式講清原概念和新概念的相同之處、不同之處以及他們之間的聯系。例如原函數概念是從導數概念引伸出來的。這兩個概念沒有明顯的相同點，但是要講清它們之間的關系，要指出求原函數是求導的逆運算。再如多元函數微積分中的絕大多數概念都是從一元函數微積分中的概念推廣而來的。把這些概念， 前后聯系起來，對比著去學習，而不是獨立去理解，教師不僅省力， 學生也更容易明白。

4 利用數形結合的方法引入新概念

形象生動的語言、直觀的幾何圖形、具體的實物模型比抽象思維更容易接受和領悟， 因為它更接近于知識的本源。所以在概念教學中可從具體形象的圖形入手，經過分析、歸納、綜合出新的概念。例如在講函數的單調性、凸凹性及函數的極值等概念時，就可采用數形結合的方法進行講授，使得學生更容易理解這些概念，對于非數學專業的學生來說，理解概念比去背嚴格的數學定義要重要的多。

總之，概念是高等數學不可缺少的重要組成部分， 在教學中應防止不重視概念而只重視計算的教學方式。要講清概念， 讓學生理解好概念， 為他們今后的自學打好堅實的基礎。

參考文獻

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