一線教師研究教材的主要切入點

呂學柱

一線高中數學教師因工作環境和知識結構的局限，從事理論研究通常存在困難.而結合教學實踐進行教學研究則可以發揮自身優勢，取得一定的成效.教材是最主要的教學資源之一，研究教材是一線教師容易上手的教學研究項目.可以從發現瑕疵、問題拓展、比較研究等方面切入開展教材研究.研究教材要從哪里入手呢？筆者結合教學實踐介紹幾個主要切入點，以供參考.

一、拓展

對教材中的問題進行變式、引申、推廣和拓展，可以看清問題的本質，抓住問題的關鍵，為探究式教學和研究性學習提供良好的素材.

【案例1】過點P（1，2）的直線l與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點，當△ABC面積最小時，求直線l的方程.

討論解法后發現，面積最小的三角形恰好以點P為斜邊的中點，這是否具有一般性？這個問題可類似于例題用解析法進行研究.答案是肯定的，并有下面推廣.

推廣1：過已知直角內一定點的直線與直角的兩邊圍成的三角形面積最小時，定點是斜邊的中點.（也可以用幾何法證明，此處略去）

若已知角不為直角，結論如何？經過研究發現結論仍然成立.

推廣2： 過已知角內一定點的直線與角的兩邊所圍成的三角形面積最小時，定點為其所在邊的中點.

證：已知∠XOY=α，其內部定點M，過M的直線l交兩邊與A、B兩點，

過M作OA、OB的平行線分別交OB、OA于A′、B′，，由基本不等式得S最小時M為AB邊的中點. （還可用平面幾何知識簡潔證明，此處略去）

將推廣2拓展到空間，有下述命題成立.

推廣3 ： 已知頂點O為的三面角，其內部一定點M. 過點M的平面與三面角所圍成的四面體OABC（A、B、C三點分別在三面角的三條棱上），其體積V最小時，點M為△ABC的重心.（證明可以類比推廣2的方法，此處從略）

注：推廣1和推廣2可以在例題教學中作為學生探究的素材，推廣3可以作為研究性學習的素材（也可以在“推理與證明”學習時作為探究的素材）.

二、“破格”

在新課程的實施過程中，課程標準按“模塊”編制，教材按“模塊”編寫，打破了傳統的課程體系和教材體系，由此在教學中“水土不服”現象頻頻出現.有的教師直接打破“模塊”界限重組教學內容.這種做法既不符合新課程的要求，也給學生使用教材帶來不便.我在教學中堅持漸進性原則，力避后置內容的前移，采用“挖掘加等待”的模式，打破“模塊”阻隔給教學造成不便的格局.

【案例2】直線的傾斜角增大時，直線的斜率如何變化？

教材中給出利用計算機或計算器計算k=tanα（給定α）來感知變化規律.似乎有“用現代技術把結論灌輸給學生”之嫌.

這個問題等到學完必修4 中“正切函數的圖像和性質”之后可以水到渠成.筆者經過研究認為除了“等待”之外，還可以挖掘現有資源消除“等待”之苦.

①如果直線l過原點，直線上取兩點O（0，0），P（1，y）易知斜率k=y.當傾斜角α滿足0°≤α≤90°時，斜率k隨α的增大而增大；當傾斜角α滿足90°<α<180°時，斜率k隨α的增大而增大.

②如果直線l不經過原點，過原點作直線l′∥l，l′與l有相同的傾斜角和斜率，由①可得同樣的結論.

綜上可知，當0°≤α≤90°時，斜率k隨α的增大而增大；當90°<α<180°時，斜率k隨α的增大而增大.

三、“指瑕”

研究教材可以從發現教材的缺點和不足作為切入點.而教材編寫中科學性錯誤是極少的.對教材“指瑕”主要是指出其在教學活動中的“不合適”.

【案例3】判斷下列表示是否正確：（1）a{a}.

編者意圖是填“∈”，因為a是集合{a}的元素.對這個答案師生中的爭執主要在a是集合時，集合與集合之間的關系能否用“∈”表示.

分析：

當a為實數（或者僅為“英文字母”）時，填“∈”正確；

當S為非空集合時，{a}為一個集合組成的集合，填“”正確；

當a=時，填“∈”正確，填“”也正確（因為空集是任何集合的子集）.

當然，a可以代表“形形色色”的數或集合，我們無法逐一討論，但a是集合{a}的元素是始終不渝的.

不難看出，就“學術”層面而言，教材此處是沒有瑕疵可指的.而就“教學”層面而言，即從有利于學生的“學”和教師的“教”而言，還是值得討論的.

建議：作為練習，編者一定不會讓學生思考如此復雜的情形，這個練習引起這樣的討論應屬“意外”，這種討論也略有超越《課程標準》之嫌.“紛爭”源于a的“自由”.建議在教材中把此題加上限制（如a∈）.作為教師，對問題應有深入的研究，才能扮演好新課程下的教師角色，在課堂生成的“意外問題”面前方可從容淡定，游刃有余.從廣義來說，集合與集合之間也可能出現“∈”關系.如果教師沒有足夠的學識，輕易說“不可能”，那就在不經意間扼殺了學生的創造力.

四、爭議

日常的教學活動中，時常產生教師之間、師生之間或者學生之間對某個問題爭論的現象.爭議常常又源于教材的界定（或者未作界定）.對爭議的研究和處理當然成為研究教材的一個主要切入點.

【案例4】教材中對函數零點作了這樣的界定：

（1）f（x）=0的實數x的值叫做函數y=f（x）的零點.函數y=f（x）的零點就是f（x）=0的實數根，也就是y=f（x）函數的圖像與x軸交點的橫坐標.

（2）對于一元二次方程ax2+bx+c=0和二次函數y=ax2+bx+c，設Δ=b2-4ac.當Δ=0時，一元二次方程有兩個相等實數根x1=x2，二次函數圖像與x軸有唯一交點（x1，0）.

分析：根據教材的界定，對于二次函數y=ax2+bx+c在Δ=0時的零點問題，說成有兩個相等的零點或者說成有唯一的零點都是有根據的.但是教材引入“零點”的初衷是溝通函數與方程的聯系、數與形的聯系，同時還可以使數學表述更為簡潔.而在“二次函數y=ax2+bx+c在Δ=0時的零點”這個問題上不光沒有使表述更簡潔，反而產生明顯的爭議.

建議：在教學中應該盡量回避上述爭議問題，因為這種爭議對學生來說是沒有價值的.

教材在此應予以明確，如果教材中“不便妄言”，可以在教參中“發出聲音”.

五、比較

比較研究法是一種重要的研究方法，可以進行中外教材的比較研究和新舊教材的比較研究，但最貼近教學實踐的當然是新課標教材不同版本之間的比較研究.

【案例5】關于集合表示法（必修1 中1.1）

人教A版給出“描述法”具體方法：在花括號內先寫上集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.例題和練習全是數集.

這種編寫產生兩個問題：1.豎線前后不就都有共同特征了嗎？2.例題和練習全是數集，是不是描述法只能表示數集呀？

對于這一內容，“蘇教版”教材的處理總體是比較好的，“蘇教版”的表示方法學完后再介紹人教A版的表示法，學生就知道后者表示有些“數集”較為簡潔，也就難怪人教A版教材中例題和練習全是數集了.

一線高中數學教師因工作環境和知識結構的局限，從事理論研究通常存在困難.而結合教學實踐進行教學研究則可以發揮自身優勢，取得一定的成效.教材是最主要的教學資源之一，研究教材是一線教師容易上手的教學研究項目.可以從發現瑕疵、問題拓展、比較研究等方面切入開展教材研究.研究教材要從哪里入手呢？筆者結合教學實踐介紹幾個主要切入點，以供參考.

一、拓展

對教材中的問題進行變式、引申、推廣和拓展，可以看清問題的本質，抓住問題的關鍵，為探究式教學和研究性學習提供良好的素材.

【案例1】過點P（1，2）的直線l與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點，當△ABC面積最小時，求直線l的方程.

討論解法后發現，面積最小的三角形恰好以點P為斜邊的中點，這是否具有一般性？這個問題可類似于例題用解析法進行研究.答案是肯定的，并有下面推廣.

推廣1：過已知直角內一定點的直線與直角的兩邊圍成的三角形面積最小時，定點是斜邊的中點.（也可以用幾何法證明，此處略去）

若已知角不為直角，結論如何？經過研究發現結論仍然成立.

推廣2： 過已知角內一定點的直線與角的兩邊所圍成的三角形面積最小時，定點為其所在邊的中點.

證：已知∠XOY=α，其內部定點M，過M的直線l交兩邊與A、B兩點，

過M作OA、OB的平行線分別交OB、OA于A′、B′，，由基本不等式得S最小時M為AB邊的中點. （還可用平面幾何知識簡潔證明，此處略去）

將推廣2拓展到空間，有下述命題成立.

推廣3 ： 已知頂點O為的三面角，其內部一定點M. 過點M的平面與三面角所圍成的四面體OABC（A、B、C三點分別在三面角的三條棱上），其體積V最小時，點M為△ABC的重心.（證明可以類比推廣2的方法，此處從略）

注：推廣1和推廣2可以在例題教學中作為學生探究的素材，推廣3可以作為研究性學習的素材（也可以在“推理與證明”學習時作為探究的素材）.

二、“破格”

在新課程的實施過程中，課程標準按“模塊”編制，教材按“模塊”編寫，打破了傳統的課程體系和教材體系，由此在教學中“水土不服”現象頻頻出現.有的教師直接打破“模塊”界限重組教學內容.這種做法既不符合新課程的要求，也給學生使用教材帶來不便.我在教學中堅持漸進性原則，力避后置內容的前移，采用“挖掘加等待”的模式，打破“模塊”阻隔給教學造成不便的格局.

【案例2】直線的傾斜角增大時，直線的斜率如何變化？

教材中給出利用計算機或計算器計算k=tanα（給定α）來感知變化規律.似乎有“用現代技術把結論灌輸給學生”之嫌.

這個問題等到學完必修4 中“正切函數的圖像和性質”之后可以水到渠成.筆者經過研究認為除了“等待”之外，還可以挖掘現有資源消除“等待”之苦.

①如果直線l過原點，直線上取兩點O（0，0），P（1，y）易知斜率k=y.當傾斜角α滿足0°≤α≤90°時，斜率k隨α的增大而增大；當傾斜角α滿足90°<α<180°時，斜率k隨α的增大而增大.

②如果直線l不經過原點，過原點作直線l′∥l，l′與l有相同的傾斜角和斜率，由①可得同樣的結論.

綜上可知，當0°≤α≤90°時，斜率k隨α的增大而增大；當90°<α<180°時，斜率k隨α的增大而增大.

三、“指瑕”

研究教材可以從發現教材的缺點和不足作為切入點.而教材編寫中科學性錯誤是極少的.對教材“指瑕”主要是指出其在教學活動中的“不合適”.

【案例3】判斷下列表示是否正確：（1）a{a}.

編者意圖是填“∈”，因為a是集合{a}的元素.對這個答案師生中的爭執主要在a是集合時，集合與集合之間的關系能否用“∈”表示.

分析：

當a為實數（或者僅為“英文字母”）時，填“∈”正確；

當S為非空集合時，{a}為一個集合組成的集合，填“”正確；

當a=時，填“∈”正確，填“”也正確（因為空集是任何集合的子集）.

當然，a可以代表“形形色色”的數或集合，我們無法逐一討論，但a是集合{a}的元素是始終不渝的.

不難看出，就“學術”層面而言，教材此處是沒有瑕疵可指的.而就“教學”層面而言，即從有利于學生的“學”和教師的“教”而言，還是值得討論的.

建議：作為練習，編者一定不會讓學生思考如此復雜的情形，這個練習引起這樣的討論應屬“意外”，這種討論也略有超越《課程標準》之嫌.“紛爭”源于a的“自由”.建議在教材中把此題加上限制（如a∈）.作為教師，對問題應有深入的研究，才能扮演好新課程下的教師角色，在課堂生成的“意外問題”面前方可從容淡定，游刃有余.從廣義來說，集合與集合之間也可能出現“∈”關系.如果教師沒有足夠的學識，輕易說“不可能”，那就在不經意間扼殺了學生的創造力.

四、爭議

日常的教學活動中，時常產生教師之間、師生之間或者學生之間對某個問題爭論的現象.爭議常常又源于教材的界定（或者未作界定）.對爭議的研究和處理當然成為研究教材的一個主要切入點.

【案例4】教材中對函數零點作了這樣的界定：

（1）f（x）=0的實數x的值叫做函數y=f（x）的零點.函數y=f（x）的零點就是f（x）=0的實數根，也就是y=f（x）函數的圖像與x軸交點的橫坐標.

（2）對于一元二次方程ax2+bx+c=0和二次函數y=ax2+bx+c，設Δ=b2-4ac.當Δ=0時，一元二次方程有兩個相等實數根x1=x2，二次函數圖像與x軸有唯一交點（x1，0）.

分析：根據教材的界定，對于二次函數y=ax2+bx+c在Δ=0時的零點問題，說成有兩個相等的零點或者說成有唯一的零點都是有根據的.但是教材引入“零點”的初衷是溝通函數與方程的聯系、數與形的聯系，同時還可以使數學表述更為簡潔.而在“二次函數y=ax2+bx+c在Δ=0時的零點”這個問題上不光沒有使表述更簡潔，反而產生明顯的爭議.

建議：在教學中應該盡量回避上述爭議問題，因為這種爭議對學生來說是沒有價值的.

教材在此應予以明確，如果教材中“不便妄言”，可以在教參中“發出聲音”.

五、比較

比較研究法是一種重要的研究方法，可以進行中外教材的比較研究和新舊教材的比較研究，但最貼近教學實踐的當然是新課標教材不同版本之間的比較研究.

【案例5】關于集合表示法（必修1 中1.1）

人教A版給出“描述法”具體方法：在花括號內先寫上集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.例題和練習全是數集.

這種編寫產生兩個問題：1.豎線前后不就都有共同特征了嗎？2.例題和練習全是數集，是不是描述法只能表示數集呀？

對于這一內容，“蘇教版”教材的處理總體是比較好的，“蘇教版”的表示方法學完后再介紹人教A版的表示法，學生就知道后者表示有些“數集”較為簡潔，也就難怪人教A版教材中例題和練習全是數集了.

一線高中數學教師因工作環境和知識結構的局限，從事理論研究通常存在困難.而結合教學實踐進行教學研究則可以發揮自身優勢，取得一定的成效.教材是最主要的教學資源之一，研究教材是一線教師容易上手的教學研究項目.可以從發現瑕疵、問題拓展、比較研究等方面切入開展教材研究.研究教材要從哪里入手呢？筆者結合教學實踐介紹幾個主要切入點，以供參考.

一、拓展

對教材中的問題進行變式、引申、推廣和拓展，可以看清問題的本質，抓住問題的關鍵，為探究式教學和研究性學習提供良好的素材.

【案例1】過點P（1，2）的直線l與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點，當△ABC面積最小時，求直線l的方程.

討論解法后發現，面積最小的三角形恰好以點P為斜邊的中點，這是否具有一般性？這個問題可類似于例題用解析法進行研究.答案是肯定的，并有下面推廣.

推廣1：過已知直角內一定點的直線與直角的兩邊圍成的三角形面積最小時，定點是斜邊的中點.（也可以用幾何法證明，此處略去）

若已知角不為直角，結論如何？經過研究發現結論仍然成立.

推廣2： 過已知角內一定點的直線與角的兩邊所圍成的三角形面積最小時，定點為其所在邊的中點.

證：已知∠XOY=α，其內部定點M，過M的直線l交兩邊與A、B兩點，

過M作OA、OB的平行線分別交OB、OA于A′、B′，，由基本不等式得S最小時M為AB邊的中點. （還可用平面幾何知識簡潔證明，此處略去）

將推廣2拓展到空間，有下述命題成立.

推廣3 ： 已知頂點O為的三面角，其內部一定點M. 過點M的平面與三面角所圍成的四面體OABC（A、B、C三點分別在三面角的三條棱上），其體積V最小時，點M為△ABC的重心.（證明可以類比推廣2的方法，此處從略）

注：推廣1和推廣2可以在例題教學中作為學生探究的素材，推廣3可以作為研究性學習的素材（也可以在“推理與證明”學習時作為探究的素材）.

二、“破格”

在新課程的實施過程中，課程標準按“模塊”編制，教材按“模塊”編寫，打破了傳統的課程體系和教材體系，由此在教學中“水土不服”現象頻頻出現.有的教師直接打破“模塊”界限重組教學內容.這種做法既不符合新課程的要求，也給學生使用教材帶來不便.我在教學中堅持漸進性原則，力避后置內容的前移，采用“挖掘加等待”的模式，打破“模塊”阻隔給教學造成不便的格局.

【案例2】直線的傾斜角增大時，直線的斜率如何變化？

教材中給出利用計算機或計算器計算k=tanα（給定α）來感知變化規律.似乎有“用現代技術把結論灌輸給學生”之嫌.

這個問題等到學完必修4 中“正切函數的圖像和性質”之后可以水到渠成.筆者經過研究認為除了“等待”之外，還可以挖掘現有資源消除“等待”之苦.

①如果直線l過原點，直線上取兩點O（0，0），P（1，y）易知斜率k=y.當傾斜角α滿足0°≤α≤90°時，斜率k隨α的增大而增大；當傾斜角α滿足90°<α<180°時，斜率k隨α的增大而增大.

②如果直線l不經過原點，過原點作直線l′∥l，l′與l有相同的傾斜角和斜率，由①可得同樣的結論.

綜上可知，當0°≤α≤90°時，斜率k隨α的增大而增大；當90°<α<180°時，斜率k隨α的增大而增大.

三、“指瑕”

研究教材可以從發現教材的缺點和不足作為切入點.而教材編寫中科學性錯誤是極少的.對教材“指瑕”主要是指出其在教學活動中的“不合適”.

【案例3】判斷下列表示是否正確：（1）a{a}.

編者意圖是填“∈”，因為a是集合{a}的元素.對這個答案師生中的爭執主要在a是集合時，集合與集合之間的關系能否用“∈”表示.

分析：

當a為實數（或者僅為“英文字母”）時，填“∈”正確；

當S為非空集合時，{a}為一個集合組成的集合，填“”正確；

當a=時，填“∈”正確，填“”也正確（因為空集是任何集合的子集）.

當然，a可以代表“形形色色”的數或集合，我們無法逐一討論，但a是集合{a}的元素是始終不渝的.

不難看出，就“學術”層面而言，教材此處是沒有瑕疵可指的.而就“教學”層面而言，即從有利于學生的“學”和教師的“教”而言，還是值得討論的.

建議：作為練習，編者一定不會讓學生思考如此復雜的情形，這個練習引起這樣的討論應屬“意外”，這種討論也略有超越《課程標準》之嫌.“紛爭”源于a的“自由”.建議在教材中把此題加上限制（如a∈）.作為教師，對問題應有深入的研究，才能扮演好新課程下的教師角色，在課堂生成的“意外問題”面前方可從容淡定，游刃有余.從廣義來說，集合與集合之間也可能出現“∈”關系.如果教師沒有足夠的學識，輕易說“不可能”，那就在不經意間扼殺了學生的創造力.

四、爭議

日常的教學活動中，時常產生教師之間、師生之間或者學生之間對某個問題爭論的現象.爭議常常又源于教材的界定（或者未作界定）.對爭議的研究和處理當然成為研究教材的一個主要切入點.

【案例4】教材中對函數零點作了這樣的界定：

（1）f（x）=0的實數x的值叫做函數y=f（x）的零點.函數y=f（x）的零點就是f（x）=0的實數根，也就是y=f（x）函數的圖像與x軸交點的橫坐標.

（2）對于一元二次方程ax2+bx+c=0和二次函數y=ax2+bx+c，設Δ=b2-4ac.當Δ=0時，一元二次方程有兩個相等實數根x1=x2，二次函數圖像與x軸有唯一交點（x1，0）.

分析：根據教材的界定，對于二次函數y=ax2+bx+c在Δ=0時的零點問題，說成有兩個相等的零點或者說成有唯一的零點都是有根據的.但是教材引入“零點”的初衷是溝通函數與方程的聯系、數與形的聯系，同時還可以使數學表述更為簡潔.而在“二次函數y=ax2+bx+c在Δ=0時的零點”這個問題上不光沒有使表述更簡潔，反而產生明顯的爭議.

建議：在教學中應該盡量回避上述爭議問題，因為這種爭議對學生來說是沒有價值的.

教材在此應予以明確，如果教材中“不便妄言”，可以在教參中“發出聲音”.

五、比較

比較研究法是一種重要的研究方法，可以進行中外教材的比較研究和新舊教材的比較研究，但最貼近教學實踐的當然是新課標教材不同版本之間的比較研究.

【案例5】關于集合表示法（必修1 中1.1）

人教A版給出“描述法”具體方法：在花括號內先寫上集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.例題和練習全是數集.

這種編寫產生兩個問題：1.豎線前后不就都有共同特征了嗎？2.例題和練習全是數集，是不是描述法只能表示數集呀？

對于這一內容，“蘇教版”教材的處理總體是比較好的，“蘇教版”的表示方法學完后再介紹人教A版的表示法，學生就知道后者表示有些“數集”較為簡潔，也就難怪人教A版教材中例題和練習全是數集了.