淺談微積分在不等式證明中的應(yīng)用

摘要：本文介紹了通過微積分理論、方法求解不等式的過程。這種方法思路簡單、無需太多解題技巧，相對于初等方法來說，在求解函數(shù)、三角證明和幾何證明等問題時更值得推廣。

關(guān)鍵詞：微積分 不等式 證明 應(yīng)用

不等式是數(shù)學(xué)在函數(shù)、三角證明、幾何證明中的重要內(nèi)容。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，利用初等方法求解不等式，對解題思路、解題技巧的要求較高。而借助微積分理論來求解不等式，往往使問題變得簡單。

微積分解不等式相較于初等方法來說，思路更加清晰，而且對解題技巧的要求不是太高。筆者將結(jié)合高等數(shù)學(xué)中的微積分理論，在下文中針對微分中值定理、函數(shù)的單調(diào)性定理、極值判定定理、級數(shù)理論來解決不等式的問題進(jìn)行詳細(xì)說明。

1 利用微分中值定理證明不等式

微分中值定理：假設(shè)函數(shù)y=f（x）滿足條件①和條件②：①在區(qū)間[a，b]上連續(xù)；②在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則在區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點ξ，使得f′（ξ）=■。由于ξ在a，b之間，因此f′（ξ）將有一個取值范圍，也就是說■有一個取值范圍，由此可得到一個不等式。因此，可利用ξ在（a，b）內(nèi)的特點證明不等式。利用微分中值定理，證明的關(guān)鍵在于函數(shù)和區(qū)間的選取。

例1 證明：設(shè)0

證：（1）當(dāng)a=b時，上式顯然成立。

（2）當(dāng)0

故當(dāng)0

2 利用函數(shù)的增減性證明不等式

函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則f（x）在（a，b）內(nèi)嚴(yán)格遞增（遞減）的充要條件：f′（x）>0（或f′（x）<0）。可利用此定理證明不等式。

例2 證明：當(dāng)x>0時，x-■x■

證：先證sinx0時，f（x）是遞減的（個別點處f′（x）=0，不影響f（x）是遞減的結(jié)論），所以當(dāng)x>0時，有f（x）

再證左邊不等式，令F（x）=sinx-x+■x■，則F（0）=0，F(xiàn)′（x）=cosx-1+■x2（當(dāng)看不清F′（x）的正負(fù)號時可重復(fù)上述思路），F(xiàn)′（0）=0，F(xiàn)′′（x）=-sinx+x，由sinx0，所以在x>0時，F(xiàn)′（x）>F′（0）=0，故在x>0時，F(xiàn)（x）>0，即x-■x■0時，x-■x■

3 利用極值證明不等式

函數(shù)某領(lǐng)域內(nèi)取得極大值或極小值，就能夠借助極值特點證明不等式。

例3 證明：當(dāng)x≥0時，nxn-1-（n-1）xn-1？燮0（n>1，n∈N）。

證：令f（x）=nxn-1-（n-1）xn-1，

則f′（x）=n（n-1）xn-2-n（n-1）xn-1=n（n-1）xn-2（1-x）。

令f′（x）=0，得駐點x=1（因為x=0是x≥0的端點，所以x=0不是駐點）且當(dāng)x<1時，f′（x）>0；當(dāng)x>1時，f′（x）>0，所以f（1）=0，是極大值也是最大值，從而得：f（x）≤f（1）=0（x≥0），即nxn-1-（n-1）xn-1？燮0。

4 利用函數(shù)凹凸性的特點證明不等式

如果函數(shù)f（x）是凸函數(shù)，則在（a，b）上有■[f（x■）+f（x■）]？燮f■；如果函數(shù)f（x）是凹函數(shù)，則在（a，b）上有■[f（x■）+f（x■）]？叟f■。利用這一特點證明不等式。

例4 證明：若x>0，y>0，x≠y，則xlnx+ylny>（x+y）ln■

證：設(shè)f（t）=tlnt，則t>0，f′（t）=1+lnt，f′′（t）=■>0，因此，函數(shù)f（t）=tlnt在（0，+∞）上是凹的；由函數(shù)凹性的定義， x>0，y>0，x≠y有xlnx+ylny>（x+y）ln■，由此可證原不等式成立。

5 利用級數(shù)證明不等式

按照冪級函數(shù)的形式將函數(shù)展開，對不等式進(jìn)行證明。

例5 證明：■

證明：原不等式等價于■

由e■=1+2x+■+…+■+… x∈（0，1）

■=（1+x）（1+x+x2+…）=1+2x+2x2+2x3+…+2xn+… x∈（0，1）

知不等式級數(shù)展開式左邊的一般項2xn，右邊的一般項■；在n？叟3的條件下2>■，所以，當(dāng)n？叟3，0

有2xn>■，1+■2x■>1+■■。即■

通過以上論述可以得出結(jié)論：熟知高等數(shù)學(xué)的基本理論，并掌握解題方法，不等式的問題就迎刃而解。利用微積分解不等式的方法比初等解題方法更簡單，解題思路更清晰，且不需要太多解題技巧，這是它可以進(jìn)一步推廣的優(yōu)點所在。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡介：

賀建平（1964-），女，寶雞職業(yè)技術(shù)學(xué)院，副教授。