波利亞“思維過程”理論下的數學活動課教學

王裕鑫

美國數學家喬治·波利亞在《數學的發現》第十一章“思維的作用”中，用生動的語言向讀者介紹解數學問題的思維過程理論，引導讀者理解思維的涵義，體會思維的過程，學習如何思考問題、分析問題、解決問題.

對于學生來說，學會如何思考要比得到簡單的數學知識更美妙；而對于教師來說，教會學生方法要比教會學生答案更重要.學習數學的過程，是接受數學思想的過程.教授數學這門課程，是通過對數學問題的學習，展現思維的方式，領悟思維的過程.筆者以“制作無蓋的長方體紙盒”為例，談一談如何將思維的過程融入數學教學中，讓學生在學習中和情感上都有愉悅體驗.

《制作無蓋的長方體紙盒》是蘇科版數學七年級上冊中一課題學習的題目.該課題學習主要考查立體圖形的平面展開，逆向思維如何將平面圖形折成立體圖形，以及逼近的思想.

本節課的重點是：用數學知識解決實際問題需要建模，會用函數式表達變量之間的相依關系；感受數量之間相依變化的狀態和趨勢。由于七年級的學生還不能應用學過的知識確定體積的最大值，因此讓學生應用分割逼近的方法求體積的最大值，體驗從特殊到一般的探究過程.

設計教學過程如下。

一、有一個問題

問題是數學的心臟，一個好的問題可以激發學生一連串的猜想.問題的提出要讓學生具有解決問題的愿望、干勁和決心.教師可以這樣引出話題：我們生活在豐富的圖形世界里，生活為我們提供了豐富的素材，元旦快到了，小明和媽媽去商場為奶奶購買新年禮物時，被商場里許多商品精美的包裝盒深深吸引了，這些精美的包裝盒都可以近似地看成？搖 ？搖？搖？搖（長方體）.如果老師把上面的蓋子取走，它就是一個？搖？搖 ？搖？搖（無蓋的長方體紙盒）.

設計意圖：提出問題，營造舒適、輕松愉快的學習氛圍，使學生以積極的學習心態進入課堂.

二、相關性

解題者在解決問題時注意力是選擇的，他排斥與題目不相關的事，選擇與題目相關的資料，這就是所謂的相關性.對于上面給出的問題，我們不斷地引導學生朝著問題的發展方向延伸和思考，如何制作無蓋長方形紙盒，我們可以將問題轉化為無蓋的長方形紙盒的平面展開圖是什么，這樣一來，我們就找到了同原來問題相關的問題.教師可以這樣設計：用剪刀將你事先準備的一個無蓋的長方體紙盒剪開，展開成一個平面圖形.無蓋的長方體紙盒因為剪開棱的方式不同，得到的平面圖形不盡相同.反過來，我們將這些平面圖形折疊后又能得到無蓋的長方體紙盒.那么同學們可以通過展開、折疊解決這個問題.

設計意圖：通過動手實踐，讓學生得出無蓋長方體的平面展開圖.

三、接近度

在學生做數學題的時候，對于是否正確，大致都會有一個感覺.一道數學題，應該從這個方向著手，應該這樣做出輔助條件，學生在心理上會有趨向于正確解法的感覺，這就是解題者與題目之間“心理上的距離”接近度.同樣，對有我們上面這個并不難的問題，學生會有解決問題的趨向.這時候，教師只要稍加引導：同學們，用一張正方形紙板如何制作一個無蓋的長方體紙盒？基本操作步驟是什么？先思考，再與同學交流.經過學生們發言討論之后，可以得到基本步驟：一畫（先在正方形的4個角畫出4個相同的小正方形），二剪（用剪刀剪去這4個小正方形），三折（折疊成一個無蓋的長方體紙盒）.

設計意圖：教師引導，學生按照自己的體驗，歸納出制作無蓋長方體的基本步驟.

四、預見

解題者面對問題時，都會適當地猜想，感覺猜想與實際答案的偏離程度，感覺自己的猜想與答案接近，又或者立即就可以做出來了，這和上面我們談到的相關性和接近度是一樣的.教師請同學們根據基本步驟，用一張邊長為的正方形紙板制作一個無蓋的長方體紙盒.通過學生們的動手操作，很快有不同的長方形紙盒從同學們的手中展現出來.此時，師：同學們，請你們觀察，這幾個長方體，有什么發現？生：顏色不同，高矮不同，胖瘦不同，大小不同.師：大小也就是容積，那么它的容積與什么有關系呢？生：長、寬、高.到這里為止，教師已經很好地引導學生預見下面的問題.師：怎樣做，長方體的容積最大？

設計意圖：學生在簡單的動手操作后， 讓學生從視覺的角度觀察不同的長方體，引導學生思考怎樣才能制作出容積最大的無蓋長方體紙盒.

五、探索范圍

正如小朋友們玩捉迷藏一樣，游戲的規則就是要在指定的范圍內找到躲藏者.做數學題也是一樣，你要尋求的答案也是在一定范圍之內，這就需要解題者不斷地探索，尋找正確解答.那么我們上面要解決的問題，怎樣做，長方體的容積最大？教師進一步地啟示：長方體的容積同長方體的長、寬、高有關，那在這里，大正方形的邊長為20cm，假如設減去的小正方形邊長為，那么，你能用的代數式表示無蓋長方體紙盒的容積嗎？這里的取值又是在什么范圍之內呢？

設計意圖：讓學生感受紙盒的長、寬、高和原來紙片的邊長及剪去的小正方形的邊長之間的關系.

六、決斷

解決數學問題，像是爬山一樣，會有很多不同的曲折蜿蜒的小路，每到轉折的時候，都需要解題者做出決斷.這個決斷不是果斷和武斷，它是對相關性和接近度的感覺，以及對正解的歸屬感，這種決斷會擴大探索范圍，放棄限制，更進一步地向正解邁進.

七、動員與組織

當解題者面臨問題的時候，他會搜尋自己的記憶，尋找一切與這個問題相關的定理、材料、輔助資源等.在腦海中篩選，哪些定理是可以用得到的，哪些材料可以成為輔助資源，將這些有用的信息提取出來與問題相結合.這種搜尋我們稱為動員，這種將信息同問題相結合的聯系，我們稱為組織.二者相輔相成，不能分割.針對我們討論的問題，教師可以這樣設計：師：長方體紙盒的容積為V.減去的小正方形邊長x，那么怎樣表示它的容積？生：V=x（20-2x）■.師：觀察這個體積的表達式，回想我們學過的知識，同學們會有什么發現呢？生1：……生2：體積隨著減去的小正方形邊長的變化而變化.師：說得好，“變化而變化”函數思想.師：你能確定減去小正方形邊長是__時，容積就是最大的嗎？有可能更大嗎？

設計意圖：通過教學引導，讓學生回想過去學過的函數知識，并體會實際問題轉化為數學問題的過程，體會建模的方法.

八、辨認與回憶

在動員組織這個過程中，當我們辨認出一些與問題有關的素材或資料時，回憶起這些素材和資料是否與要解答的問題有關時，往往有豁然開朗的感覺.辨認能夠引起我們回憶一些有用的東西，從而把有關的知識動員起來.師：邊長x取什么數時，V最大呢？生：……師：請看公式，這里的x是不是任意數？生：不是.師：它有什么限制？生：0

設計意圖：體積的大小與小正方形的邊長有關，它們之間也是一種函數關系.學生通過回憶過往的知識，對現在的問題提出解決方案.

九、充實與重新配置

在解題的過程中，解題者在頭腦中不斷的動員一些可利用的因素，這就不斷地充實了問題本身.充實讓解題的資料更豐富完整，但有的時候也并不需添加什么新的資料，只需將現有的條件重新組合配置，在新的關系下，我們在問題的解決方面依然會得到進展.重新配置相當于重建，重新建造問題的結構，改變問題的重點，從而使解答的方法柳暗花明，更加明了.教師可以將問題的條件更進一步充實，（分組練習一段時間后）師：同學們，你們得出結果了嗎？老師已經把結果算出來了.綜合你們自己和老師的結果，同學們看一下有什么發現.看下面的表格：

生1：x=3時V最大.師：你還有什么發現？通過剛才的研究，我們發現隨著剪去小正方形邊長的增大，長方體容積先變大后變小，那么x=3時，容積是最大的嗎？（板書x=3時，V=588）

設計意圖：讓學生通過合作的方式完成大量的計算，增強學生與他人合作的能力.

十、分離與組合

當問題變得復雜時，也會有很多細節不斷顯露出來，將這些細節分離出來再重新組合，又會得到一個新的整體，這樣我們就使用了分離與綜合兩種手段進行分析問題.以上面的問題為例，教師可以將x=3時體積V=588分離出來，進一步分析：師：x=3時，容積是最大的嗎？（板書x=3時，V=588）生：不一定.師：那你估計呢？生：2～3或3～4之間.師：很好，我們繼續嘗試，那么到底在2～3還是3～4之間呢？我們不如取2.5、3.5時，請同學們用計算器算一下.（板書：x=2.5，x=3，x=3.5時V分別等于多少？）

師：其實我們可以用同樣的方法繼續嘗試下去，實驗研究表明，當x=■時，容積最大.（板書：x=■時，V最大）.

設計意圖：探究當取什么值時，的值最大，歸納出結論；體會分割逼近的思想；體會探究學習的方法.

十一、回顧與總結

我們重新回顧一下，首先由一個問題引發我們解決問題的期望，在解決問題的過程中，我們要根據與問題相關的資料合理的預見解決問題的方法和道路，當然這也是依賴解題者在心理上對問題答案的接近度決斷的.這就需要我們在一定的知識范圍內動員腦海中熟悉的條件和資源，辨認哪些定理和知識是我們可以用到的，將其充實到問題中，抑或是將重建問題的條件，使資料更豐富完整.當然當面臨比較復雜的問題時，我們也不必慌亂，總會注意到一些細節，將它們分離出來重新組合，又會是一個新的方向，不斷推進解題的進行.

接下來，我們回到課堂總結中.

師：老師在電腦上演示一下，容積隨x的變大情況.同學們，我們用逼近的方法，探求出x=■時，所制作的無蓋長方體的容積最大.本節課，我們通過制作無蓋長方體紙盒的活動，從中

經歷

的過程.

同學們，通過本節課的學習，你們有什么收獲呢？（由學生總結發言）

師：數學源于生活并指導生活，希望同學們學會用數學的眼光看世界，相信同學們一定能用自己靈巧的雙手，敏銳的思維，設計出一張美麗的人生名片，包裝自己，充實人生！下課！

設計意圖：總結本課的知識要點、探究過程中的方法，消除疑惑.

到此，制作無蓋長方體紙盒這節活動課就結束了，這節課從提出問題到分析問題，再到解決問題，遵循了思維的規律，按照思維的發展過程，一步一步地將思維的方式方法呈現給學生.學生通過本節課的學習，掌握了兩個重要的數學思想，函數思想和分割逼近思想，相信在日后的數學學習過程中會有很大的幫助.教師通過這堂課的教學，更明白“授人以魚，不如授人以漁”的重要性；思考如何進行思維模式的教學設計，對教師的專業化水平提高有很大的作用.