例談分類法在等腰三角形中的應用

摘 要：分類討論是將要研究的數學對象按照一定的標準劃分若干不同的情形，然后再逐類進行研究和求解的一種數學解題方法。分類思想方法實質上是按照數學對象的共同性和差異性，將其區分為不同的種類從而化整為零，各個擊破，然后對討論的結果進行歸納、合并、綜合得出結論。其作用是克服思維的片面性，防止漏解。

關鍵詞：分類討論；等腰三角形；直角三角形

分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數學方法，同時也是一種重要的解題策略。這類試題不僅考查我們的數學基本知識與方法，而且考查了我們思維的深刻性。下面我以特殊三角形為例，淺顯地談談分類法的應用。

一、等腰三角形的腰或底邊不定時需要分類討論

在等腰三角形中求邊長時，要看給出的邊長是否確定為腰長或底邊，若已確定，則直接利用等腰三角形的性質定理求解；若沒有指出所給的邊是腰還是底邊，要分兩種情況討論，并三角形內角和三邊的關系檢驗其是否能構成三角形。

例1.已知在等腰三角形中，（1）若一邊長等于4 cm，另一邊等于5 cm，求它的周長；（2）若周長為20 cm，一邊長為5 cm，求它的三邊長。

分析：不能確定已知邊是腰還是底邊，因此分兩種情況討論：

（1）若底邊長為4 cm，則腰長為5 cm，這時它的周長為4+5+5=14 cm；若腰長為4 cm，則底邊長為5 cm，這時它的周長為4+4+5=13 cm，所以這個三角形的周長等于14 cm或13 cm.

（2）若底邊長為5 cm，則腰長為7.5 cm.

（3）若長為5 cm的邊是腰，則底邊長為10 cm，因為5+5=10 cm，即兩邊之和等于第三邊，不符合三角形三邊關系，因此三角形不存在，所以它的邊長為5 cm，7.5 cm，7.5 cm.

例2.若等腰三角形一腰上的中線分周長為9 cm和12 cm兩部分，求這個等腰三角形的底和腰的長。

分析：已知條件并沒有指明哪一部分是9 cm，哪一部分是12 cm，因此，應有兩種情形。

若設這個等腰三角形的腰長是x cm，底邊長為y cm，可得x+ x=9 x+y=12或x+ x=12 x+y=9解得x=6y=9或x=8y=5即當腰長是6 cm時，底邊長是9 cm；當腰長是8 cm時，底邊長是5 cm。

二、等腰三角形的頂角或底角不定時需要分類討論

在等腰三角形中求邊角時，要看給出的角是否確定為頂角或底角，若已確定，則直接利用三角形內角和定理及等腰三角形的性質定理1（等邊對等角）求解；若沒有指出所給的角是頂角還是底角，要分兩種情況討論，并看是否符合三角形內角和定理。

例3.已知等腰三角形的一個內角度數，計算三角形的另外兩個角的讀數。

（1）已知一個角是30°；（2）已知一個角是160°。

分析：如果已知等腰三角形的一個內角是銳角，可分兩種情況，頂角是已知銳角或者底角是已知銳角；如果已知一角是鈍角或者直角，那么它一定是等腰三角形的頂角。

（1）若已知角是頂角，則另外兩個角是底角，度數為 ×（180°-30°）=75°；若已知角是底角，則頂角度數為180°-2×30°=120°，另一個底角為30°。

（2）由于已知等腰三角形的一個角是160°，又由于兩個底角相等，因此這個角只能是頂角，因此這個角只能是頂角，因此兩個底角度數都是 ×（180°-160°）=10°

三、等腰三角形的形狀不定時需要分類討論

由于等腰三角形類型的不同，高線所處的位置也不同。如果是銳角三角形則高線在三角形內部；如果是直角三角形，高線就是一條直角邊；如果是鈍角三角形，高線在三角形外部。所以在等腰三角形中求高線時，要看給出的三角形是否確定，若已確定，則直接利用三角形高線的位置進行求解；若沒有指出則要分三種情況討論。

例4.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，腰長為a，求底邊上的高線長。

解析：題目沒有確定三角形的類型，所以這個等腰三角形需分三種情況進行討論。

（1）如圖1，若△ABC是銳角三角形時，已知AB=AC，BE⊥AC，∠ABE=30°，AD⊥BC，求AD的長。

因為腰長為a，∠ABE=30°，故腰上的高為 a，且頂角為60°，從而△ABC是等邊三角形，所以底邊上的高為 a。

（2）如圖2，若是鈍角三角形，已知AB=AC，BE⊥AC，∠ABE=30°，AD⊥BC，求AD的長。

因為∠ABE=30°，所以∠BAC=90°+30°=120°.又因為AB=AC，所以∠BAC=30°。因為AD⊥BC，所以AD= AC= a。

（3）若頂角為直角，顯然是不成立的。

綜上所述，底邊上的高為 a或 a。

由以上的幾個例子我們可以看出分類討論往往能使一些錯綜復雜的問題變得異常簡單，解題思路非常的清晰，步驟非常的明了。

利用現有教材，教學中著意滲透并力求幫助學生初步掌握分類的思想方法，結合其它數學思想方法的學習，注意幾種思想方法的綜合使用，給學生提供足夠的材料和時間，啟發學生積極思維。相信會使學生在認識層次上得到極大的提高，收到事半功倍的教學成效。

參考文獻：

方志平.例談避免分類討論的解題策略.福建中學數學，2013（01）.

個人簡介：周晶晶，女，1984年11月出生，本科，就職于浙江省浦江縣第四中學，研究方向：初中數學教學。