例談函數常見綜合題型的解答

摘要：函數綜合題，是中考命題的熱點，也常成為試卷的壓軸題。由于函數綜合題輻射的知識面廣，能力要求高，因此，大多學生心生恐懼，考試得分率不高。要提高學生解答函數綜合題的能力和效率，扎實掌握有關函數知識是前提，善于運用有效的數學思想方法，將函數問題、幾何問題轉化為方程或不等式問題，往往是解題的關鍵。下面就如何提高學生解答函數綜合題的能力，略述幾點備考的策略和方法。

關鍵詞：初中；數學；函數；綜合題；解答

函數綜合題，不僅能綜合考查函數及其圖象、方程（組）、不等式（組）及幾何等許多知識點，而且能更好地考查學生運用函數和方程思想、數形結合思想以及分類討論等數學思想方法進行分析、解答問題的能力。函數綜合題，是中考命題的熱點，也常成為試卷的壓軸題。由于函數綜合題輻射的知識面廣，能力要求高，因此，大多學生心生恐懼，考試得分率不高。要提高學生解答函數綜合題的能力和效率，扎實掌握有關函數知識是前提，善于運用有效的數學思想方法，將函數問題、幾何問題轉化為方程或不等式問題，往往是解題的關鍵。下面就如何提高學生解答函數綜合題能力，略述幾點備考的策略和方法。

一、重視雙基落實，加強數學思想方法的滲透和提煉

函數是中學數學的核心概念，它能串接許多知識，因此，在復習時要把知識、技能和思想方法糅合起來，幫助學生建構相對完整的知識和能力體系。

1.重視函數知識的建構，強化知識的運用

初中函數知識主要包括函數的有關概念以及常見的各類函數的特征。復習這些知識時，系統地引導學生建構知識體系固然不可少，但一定要加強知識運用的訓練。只有在運用中，才能切實幫助學生深刻理解知識和系統鞏固知識。

2.加強數學思想方法的滲透和提煉

函數綜合題蘊含豐富的數學思想方法，因此，在復習中，要以數學知識為載體突出數學思想方法教學。數學思想方法是觀念性的東西，是解決數學問題的靈魂，同時它又離不開具體的數學知識。函數內容最重要的數學思想是函數思想和數形結合的思想，此外還應注意分類討論、換元等思想方法以及等價轉化或非等價轉化的思想方法的靈活運用。

3.重視綜合運用知識分析問題、解決問題能力的培養

函數知識復習如放在開始階段，還不可能在大范圍內綜合運用知識。如把它放在最后或者進行專題復習時，效果會好些。在復習中，學生如能初步建立函數與方程、不等式及幾何有關知識的橫向聯系，無疑有助于提高他們綜合運用知識解決問題的能力。

二、重視典例分析和變式訓練，提高學生類比、遷移能力

數學能力的高低，在很大程度上體現在學生解答數學題的速度和準確度上，而能力的提高必定要經過一定量的習題訓練。教學中，尤其在備考過程中，老師應通過各種有針對性的訓練，切實幫助學生打開思路，積累經驗，以提高數學思維能力和運算能力。尤其像函數綜合題，專題訓練是備考中必不可少的有效策略。在進行訓練過程中，我們可以分兩步走，第一步根據知識間的聯系，進行函數與方程，與不等式，與幾何等直接聯系的單項專題訓練；第二步瞄準中考題，選擇歷年有關函數綜合題進行專題訓練，在訓練過程中，通過典型例題分析和變式訓練相結合的方式，使學生在學中用，在用中思，在思中結，不斷提高他們的舉一反三和類比遷移能力。

例1：如圖2-4-20，二次函數的圖象與軸交于A、B兩點，與軸交于點C，點C、D是二次函數圖象上的一對對稱點，一次函數的圖象過點B、D．（1）求D點的坐標．（2）求一次函數的解析式．（3）根據圖象寫出使一次函數值大于二次函數的值的的取值范圍．

分析與解答（1）由圖2-4-20可得C（0，3）．

∵拋物線是軸對稱圖形，且拋物線與軸的兩個交點為A（－3，0）、B（1，0），

∴拋物線的對稱軸為x=-1，D點的坐標為（－2，3）．

（2）設一次函數的解析式為y=kx+b，

將點D（－2，3）、B（1，0）代入解析式，可得-2k+b=3

k+b=0

，解得k=-1，b=1．∴一次函數的解析式為y=-x+1．

（3）當時x＜-2或x＞-1，一次函數的值大于二次函數的值．

說明：本例是一道純函數知識的綜合題，主要考查了二次函數的對稱性、對稱點坐標的求法、一次函數解析式的求法以及數形結合思想的運用等。

例2 如圖2-4-21，二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與軸交于A、B兩點，其中A點坐標為（－1，0），點C（0，5）、D（1，8）在拋物線上，M為拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式．（2）求△MCB的面積．

分析與解答第（1）問，已知拋物線上三個點的坐標，利用待定系數法可求出其解析式．第（2）問，△MCB不是一個特殊三角形，我們可利用面積分割的方法轉化成特殊的面積求解．

（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bk+c，根據題意，得

a-b+c=0

c=5

a+b+c=8 ，解之，得a=-1

b=4

c=5 ．

∴所求拋物線的解析式為y=-x2+4x+5．

（2）∵C點的坐標為（0，5）．∴OC=5．令y=0，則x2+4x+5-0，解得x1=-1，x2=5．

∴B點坐標為（5，0）．∴OB=5．

∵y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9，∴頂點M坐標為（2，9）．

過點M用MN⊥AB于點N，則ON=2，MN=9．

∴S△OCMN+S△BNM-S△OBC=12(5+9)×9×（5-2）-12×5×5=15

說明：以面積為紐帶，以函數圖象為背景，結合常見的平面幾何圖形而產生的函數圖象與圖形面積相結合型綜合題是中考命題的熱點。解決這類問題的關鍵是把相關線段的長與恰當的點的坐標聯系起來，必要時要會靈活將待求圖形的面積進行分割，轉化為特殊幾何圖形的面積求解。

例3 ：已知拋物線y=-x2+(m-4)x+2m+4與x軸交于A（x1，0）、B(x2，0)，與y軸交于點C，且x1、x2滿足條件x1x2，x1+2x2=0

（1）求拋物線的解析式；

（2）能否找到直線y=kx+b與拋物線交于P、Q兩點，使y軸恰好平分△CPQ的面積？求出k、b所滿足的條件．

分析與解答（1）∵△=(m-4)2+4(m+4)=m2+32＞0，

∴對一切實數，拋物線與軸恒有兩個交點，

由根與系數的關系得x1+x2=m-4…①，x1x2=-(2m+4)…②．

由已知有x1+x2=0…③．③－①，得x2=4-m，x1=-2x2=2m-8由②得(2m-8)(4-m)=-(2m+4)．化簡，得m2-9m+14=0．

解得m1=2，m2=7當m1=m2時得x1=-4，x2=2，滿足得x1＜x2．當m2=7時，x1=6，x2=-3，不滿足x1＜x2，∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+8．

（2）如圖2-4-22，設存在直線y=kx+b與拋物線交于點P、Q，使y軸平分△CPQ的面積，設點P的橫坐標為XQ直線與y軸交于點E．

∵S△PCE=S△QCE=12#8226;CE#8226;|XQ|，

∴|XP|=|XQ|，由y軸平分△CPQ的面積得點P、Q在y軸的兩側，即XP=-XQ，∴XP+XQ=0，由y=kx+b

y=-x2-2x+8 得x2+(k+2)x+b-8=0．

又∵XP、XQ是方程x2+(k+2)x+b-8=0的兩根，

∴XP+XQ=-(k+2)=0，∴k=-2．

又直線與拋物線有兩個交點，

∴當k=-2時且b＜8，直線y=kx+b與拋物線的交點P、Q，使y軸能平分△CPQ的面積。故y=-2+b(b＜8)．

說明本題是一道是以函數為主線，與方程、幾何相結合的綜合題，解答這類題時要注意運用數形結合思想，將圖象信息與方程的代數信息相互轉化，例如：二次函數與軸有交點．可轉化為一元二次方程有實數根，并且其交點的橫坐標就是相應一元二次方程的解，點在函數圖象上，點的坐標就滿足該函數解析式等。厘清了知識間的這些聯系，就可運用數形結合的思想方法順利地進行解答了。

參考文獻：

［1］肖春芳 李樹臣 初中數學教學中應加強數學思想方法教學 山東教育2000( 6)

［2］蘇晨，吳乃忠數學思想方法的思維訓練功能山東教育2000( 6)