用“代數方法”解“幾何問題”

摘要：輔導小學生參加奧數時，有些幾何問題超出學生的理解力，為了揚長避短，可以巧妙運用代數方法解答。

關鍵詞：代數方法；幾何問題；空間觀念；奧數；揚長避短；學習樂趣；快樂體驗；梯形；三角形；方程；分析能力

“幾何問題”又叫圖形問題。小學數學課程標準中指出，“要發展學生的空間觀念”。在小學六年的學習中，學生逐步認識了簡單的幾何體和平面圖形的形狀、大小、位置關系及變換。盡管這樣，學生的空間觀念還不能達到解決稍復雜的幾何問題的程度，特別是對于一些奧賽題，難度完全是初中甚至高中的程度，作為小學數學教師，怎樣輔導學生解決這類問題呢？

我在輔導學生的過程中發現，有的學生的分析能力特別強，但是空間想像力稍差。對于一些需要“剪”、“拼”、“旋轉”、“平移”的圖形，他們想不到，即使想到了，也不能正確在圖形中表達出來，造成錯誤。也有的學生，對老師講的“旋轉”之類的方法，理解得很費勁。而有時我通過簡單的“代數方法”幫助他們解題，他們卻接受得很快。

“代數方法”也叫“設置參數”法，就是用字母表示數的方法，有時就是解方程的方法，有時不用解方程，把算式通過合并同類項、去括號、化簡等運算就能得到想要的結果。

比如這樣一道題：如圖在一個梯形內有兩個面積分別為8與15的三角形，已知梯形的上底是下底長的2/3，那么陰影部分的面積是多少？

學生通過圖形就能直觀的看出：陰影部分的面積=梯形的面積-8-15，那么梯形的面積怎么算？能不能借助已知條件——兩個三角形的面積，來算出梯形的高或者上、下底？可以嘗試一下！

因為“梯形的上底是下底長的2/3”，學生根據以往的經驗知道，可以設梯形的上底為2x，下底為3x，因為三角形的面積=底×高÷2，所以三角形的高=面積×2÷底，這樣一來，可以分別用x和8、15來表示出上、下兩個三角形的高——

上面三角形的高為：8×2÷（2x）=8/x

下面三角形的高為：15×2÷（3x）=10/x

而梯形的高等于兩個三角形的高的和，所以

梯形的高為：8/x+10/x

從而可以求出梯形的面積，

梯形的面積為：（8/x+10/x）×（2x+3x）÷2

=（18/x）×5x÷2

=45

所以陰影部分的面積=45-8-15=22。

大家發現，雖然開頭設了未知數x，但是解題過程中并沒有把未知數x求出來，而是在代入梯形面積公式時，因為乘除運算將x約分了。

像這種題目，學生熟練掌握了設未知數的方法，也能熟練運用三角形的面積公式求三角形的高，運用梯形的面積公式求面積，通過分析三角形、梯形、陰影部分的面積關系，列出含有未知數的算式，就把一道幾何問題轉化成了代數題目。而且在一步一步化簡過程中，發現未知數x被約分了，不用解出來，就能算出梯形的面積。當然這是在逐漸探索中、嘗試性地解決了問題，有一種“小徑探幽”，“豁然開朗”的心情體驗。

再比如克拉瑪依區教育局主編的《小學數學幾何問題輔導用書》上有這樣一道題目：（17頁第7題）

如圖所示，已知長方形的長AD是40厘米，剪去一個正方形ABFE后，剩下的長方形的周長是多少厘米？

要算長方形的周長，無非是兩個長+兩個寬，也就是EF+FC+CD+DE。因為剪去的是一個正方形，所以可設正方形的邊長為x，那么DE=CF=40-x，所以長方形的周長=x+x+40-x+40-x=80（cm）。

上面兩道題都是只用字母代替數就解決了問題，不用列方程，下面我再舉個例子，是列方程解題的。

比如這道題：（克拉瑪依區教育局主編的《小學數學幾何問題輔導用書》16頁第5題）

如圖，梯形ABCD的中位線EF長15厘米，∠ABC=∠AEF=90o，G是EF上的一點。如果△ABG的面積是梯形ABCD面積的1/5，求EG的長。

輔導時我先告訴他們用中位線求面積的方法。這里需要補充知識：梯形的中位線的長等于上、下底的和的一半。由于

梯形的面積=（上底+下底）×高÷2

而（上底+下底）÷2正好等于中位線的長度，于是梯形的面積公式可以轉化為

梯形的面積=中位線×高，

有了這個知識以后，我引導學生，能不能根據題目中的條件“△ABG的面積是梯形ABCD面積的1/5”列出一個方程呢？小學生列方程解題最怕出現兩個以上的未知數，因為不會解方程組。所以我提示學生說：“不要怕未知數多，也許有的未知數在化簡過程中可以約分掉。”

那么列方程時需要把哪些量設成未知數呢？首先學生發現線段AB是三角形和梯形共有的邊，于是把它設為x，而不是將所求的EG設為x，于是就可以列出方程了：x×EG÷2=15×x×（1/5），比較等號兩邊，發現x可以約分，于是算出EG=6厘米。

多未知數的題目有個情況要注意，中學生習慣用線段兩端的字母表示線段，小學生有的不習慣，他們非要用x表示才明確是未知數，換成y或a、b之類他們就不習慣。這道題目中，如果學生難以接受不求x反而求EG，也可以把它們交換一下，把EG設為x，AB就用AB表示，那么方程變成AB×x÷2=15×AB×（1/5），比較兩邊，把AB約分，剩下x÷2=15×（1/5），學生就會很自然的解這個方程了。

綜上所述，用“代數方法”解“幾何問題”，是迫于小學生幾何知識水平有限，而奧數題目難度很大的情況才采取的一種方法，當孩子們的空間想像力達不到游刃有余時，將圖形問題轉化為邏輯推理問題，從而經過寫寫算算，得出需要的答案。我提倡的用“代數方法”解“幾何問題”并不是逃避“培養學生的空間觀念”的責任，而是“揚長避短”，畢竟輔導奧數的任務是很重的，不可能把中學幾何的知識全部講給學生，也沒必要，那樣學生上中學就沒事可干了。再說強化訓練學生的分析能力也很有好處，在數學的學習中，有很多知識是要經過抽象的邏輯推理的，能對事物中蘊含的數量關系有敏銳的感知能力，并且提煉出合理的算式，在嘗試性的解題過程中體驗學習的樂趣，最終獲得成功的快樂，這是多么重要！

參考文獻：

克拉瑪依區教育局主編的《小學數學幾何問題輔導用書》