圓錐曲線的妙用

趙金榮

摘 要：圓錐曲線是指使用平面切割椎體而形成的曲線，包括橢圓、拋物線和雙曲線等，早在古希臘，人們就已經開始學會使用雙曲線解決問題。圓錐曲線在實際應用中非常廣泛，本文從這個角度入手，利用幾個實例，讓大家體會圓柱曲線的妙處所在.

關鍵詞：圓錐曲線；橢圓；雙曲線；拋物線

圓錐曲線是指使用平面切割椎體而形成的曲線，包括橢圓、拋物線和雙曲線等，早在古希臘，人們就已經開始學會使用雙曲線解決問題。John Lighton Synge（1897-1987）說過，開普勒通過分析天文觀測數據發現了，而牛頓則是使用數學方法證明了。行星的運行軌跡是橢圓。從某種意義上可以說，是因為對圓錐曲線的使用，使得古希臘的幾何學變成了當代天文學的基礎。

在本文中，我們要利用學生們學習的有關圓錐曲線的分析幾何學知識，給大家介紹一些實例，用來幫助學生更深入地了解數學知識源于生活，高于生活，又用來為生活和科學服務的實質。雖然圓錐曲線首先是由古希臘人確定的，本文中我們將會使用大家熟知的x-y直角坐標系以及與之相聯系的代數方法來研究這些曲線。

最早發現和研究錐形曲線的數學家之一是希臘數學家Menaechmus（大約公元前380-320年），他是亞歷山大大帝的導師之一。十七世紀前，圓錐截面僅作為純數學的一部分被研究。到了十七世紀，世界各地，尤其是歐洲，科學技術得到了迅猛發展，生產力獲得了極大的提高，當時的歐洲，無論是在鋼鐵冶煉、機械制造、天象觀測、槍炮制造還是遠洋航海，等等，都對數學提出了急待解決的問題。人們發現，在使用數學知識表達一些最重要的自然界規律時，使用圓錐截面非常關鍵。這些發現主要是由當時的物理學家J.L.Synge做出的。

本文中，你會發現一些使用圓錐曲線的例子，體會圓錐曲線在科學和生活各方面的奇妙的用途其中包括：

無線電望遠鏡的設計

拱橋的設計

彗星或行星的軌道分析（11.4中的例題7）

不需要全球定位系統確定地球上的一個位置（11.5的課題）

本文還會給出一些課本上沒有的知識，用來擴展學生的知識面，提升大家的學習興趣，并為后續知識的學習提供一些支撐。我們就來看幾個類似的小課題及知識補充。

1 橢圓的周長

大家都知道，一個半徑為a的圓的周長能用一個非常簡單的表達式表示，即 。然而，卻沒有一個類似的基本表達式可以用來表示一個橢圓的周長。（一個橢圓的周長使用微積分能夠計算出來，這種方法得到的數值，想要具有多少位小數都可以得到。）雖然如此，一些非常有趣的基本公式也能夠使得我們可以相當精確地估測一個橢圓的周長。下面的表格中給出了四個這樣的公式，以及它們的發現者的名字，發明公式的大體時間。每個公式都能夠得到一個形如 的橢圓的周長的近似值。

2 雙曲線的妙用

橢圓是任意一個閉合軌道的普遍形狀。。。天體的運行軌道還可能是一個不閉合的形式，這類軌道的形狀用開放的曲線表示。即使兩個物體彼此之間沒有通過彼此的重力綁在一起，彼此之間的重力吸引對其彼此的相對運動也有影響。它們的軌道的一般形式就是雙曲線。—Theodore P.Snow在《宇宙動力學：天文學簡介》中說過。可以看出，雙曲線在天文學上的應用，在這里我們給出一個更加接地氣的問題，需要利用雙曲線知識解決，即不需要全球定位系統確定地球上的一個位置。

一個軍隊的基地位于一個x-y直角坐標系中的原點O。一個士兵位于P點需要確定他相對于軍隊基地的坐標，但是他沒有全球定位系統。然而，他與基地附近的幾個小鎮有無線電聯系。如圖I所示，其中的兩個小鎮是A和B。小鎮A在基地南面6英里處；小鎮B位于基地的北邊6英里處。在同一時間，兩個小鎮同時發送相同的無線電信號。這個士兵收到B鎮的信號比A鎮的信號稍微早一些，所以他知道他離著B鎮比離A鎮近一些兒。另外，通過測量收到的兩個信號的時間差，這個士兵能夠計算出他離B鎮比離A鎮僅8英里。

在這里可以讓學生組成小組，利用所需雙曲線的知識進行計算，并用清晰易懂的語言解釋一下為什么點P必須要位于雙曲線的某一個分支上，并能夠找到這個雙曲線的方程。

接下來，這個士兵按照相同的方式使用小鎮C和D，如圖II所示。鎮C在基地的西方19英里處；鎮D位于基地東方15英里處。這個士兵計算出他離鎮D比離鎮C要近16英里。在這里，也可以讓學生使用這些信息，解釋為什么點P必須要位于另一條雙曲線上，然后確定其方程。

建議學生在課余時間學會使用使用繪圖軟件，并嘗試使用繪圖軟件繪制出兩條拋物線，計算出兩雙曲線的交點相對于這個士兵所在的位置的的坐標，。接下來，使用代數方法得到坐標的更精確的坐標（正如10.6中所示）用以求出兩個雙曲線的相關交點。最后，使用計算器計算期近似值，每個坐標四舍五入保留到小數點后三位數。這樣的一個課題設置，能夠讓學生把數學知識與生活密切結合。

3 拋物線的用處

（一）建立拋物線

這個課題能夠告訴你如何畫出一條拋物線。按照說明，然后解釋為什么由此畫出的曲線的確是一條拋物線。除了一張紙、一支筆或氈筆，你還會需要下面的工具：

一個丁字尺和一個繪圖板或能夠很容易地把丁字尺從左到右沿水平路徑移動的平面

一段帶子，與丁字尺的等長（見圖A）

兩個圖釘

（參考圖B。）用大頭針把帶子的一段固定在畫板上的一點。把這個點叫做F。把帶子的另一個端點用大頭針固定在丁字尺的最右側，如圖B所示。現在，使用鉛筆或氈筆，按照下面的兩個約束條件水平移動丁字尺：帶子必須用鉛筆拉緊，而鉛筆必須始終沿著丁字尺的邊緣移動。鉛筆畫出的曲線將會是一條拋物線的一部分。（實際上，帶子的長度應該比丁字尺稍微長一些而，因為有一部分的帶子要被圖釘固定起來。）

在科學上，拋物線有大量的應用。這些應用中，很多都涉及到拋物面反射。下圖的圖C給出了一個望遠鏡在紅拋物鏡面的截面圖。正如圖C中所示，光線從平行于拋物線的對稱軸方向射入，通過反射經過焦點。而事實上，詞語“焦點”本就來源于意為“壁爐”的拉丁語。除了望遠鏡和無線電望遠鏡，拋物面反射器也被用于信息交流體系，例如衛星電視信號的接受天線，監視體系的接受天線，和機動車的車燈也都是拋物面。

拋物線在工程學中的用途也極其廣泛，下面的拱橋的設計課題從某種程度上說明了這一點.

（二）拱橋的設計. 圖D給出了一座跨河橋。橋的拱門是一條拋物線，六條豎直的纜線幫助支撐著橋面，纜線以4米為間隔等距離隔開。圖E給出一個x-y直角坐標系中這個拋物線拱的橫截面，使得拱的左端點對應著坐標系的原點。如圖E所示，最遠的纜線的長是3.072米。確定這條拋物線的方程形式為 。然后，使用這個方程確定其他纜線的長度，以及纜線離路面的最大的高度。

寓教于樂，使得學生習慣于把學習當做樂趣，這是教學的最高目的.把課本上的枯燥乏味的知識與生動活潑的現實問題結合，就能夠實現.

參考文獻

[1]Precalculus A Problem-Oriented Approach，Cohen，Lee，6ed，Thomson Learning，Inc.， 2005.