不等式證明的微分法與積分法

程村

【摘要】不等式是高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇到而又比較困難的問題之一，掌握證明不等式的常用方法是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基本要求。本文用微分法（單調(diào)性，微分中值定理，Taylor公式，極值，凹凸性）與積分法（定積分的幾何意義，積分中值定理，變限積分， Schwarz不等式）討論不等式的證明。

【關(guān)鍵詞】不等式 微分 積分 中值定理

【中圖分類號】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）11 -0221-03

不等式是高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇到而又比較困難的問題之一，掌握證明不等式的常用方法是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基本要求。本文將用微分法與積分法討論不等式的證明。

1 利用單調(diào)性證明不等式

例1 證明

證明 所證不等式等價于

令

注意到

所以，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增。于是，當(dāng)0f（0）=0，

即

不等式得證。

2 利用拉格朗日中值定理證明不等式

拉格朗日中值定理為我們證明不等式提供了一種途徑，當(dāng)要證明的不等式可以寫成一個函數(shù)在兩點的函數(shù)值之差時，可以考慮用拉格朗日中值定理。

例2 設(shè)0

證明 令

對函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上運用拉格朗日中值定理，則至少存在一點，使得

3 利用Taylor公式證明不等式

例3 證明>1+-，x>0.

分析 對不等式的左邊可利用Taylor公式（1+x）a=1+ax+x2+…+xn+Rn（x）

其中Rn（x）=（1+ζ）a-n-1xn+1，ζ介于0，x之間。

證明=（1+x）

=1+x+××（-1）x2+××（-1）×（-2）（1+ζ）x3

=1+x-x2+（1+ζ）x3，

其中ζ介于0，x之間。

顯然，（1+）x3>0.

所以，>1+-，x>0.

4用求極值的方法證明不等式

例4 若n≥1及x≥0，y≥0，證明不等式≥（）.

證明 先考慮z=在條件x+y=a（a>0，x≥0，y≥0）下的極值問題。

設(shè)L（x，y）=+λ（x+y-a）.

解方程式

=

x+λ=0

=

y+λ=0，

x+y=a得

x=

y=.

將（，）與邊界點（0，a），（a，0）的函數(shù)值比較，有

z（0，a）=z（a，0）=>（）=z（，）.

所以，z在條件x+y=a（a>0，x≥0，y≥0）下的最小值為（）.

于是，當(dāng)x+y>0，x≥0，y≥0時，有≥（）=（）.

又當(dāng)x=y=0時，顯然有≥（）.

綜上所述，當(dāng)x≥0，y≥0時，有≥（）.

5 利用函數(shù)的凹凸性證明不等式

例5 證明當(dāng)0x.

證明 令f（x）=sinx-x，則f′（x）=cosx-，f′′（x）=-sinx，當(dāng)0

所以，f（x）在區(qū)間0，

上是凸函數(shù)。

從而，f（x）>minf（0），f（

）=0，x∈（0，）.

即，sinx>x，0

6 利用定積分的幾何意義證明不等式

若f（x）二階可導(dǎo)，且f′′（x）>0，則f（x）dx<（b-a）.

其幾何意義是f（x）在a，b上的圖形是凹的，則f（x）在a，b上的曲邊梯形面積小于與該曲邊梯形同底，以為高的梯形面積。

例6 證明當(dāng)x>0時，<.

證明 令f（x）=e，則f′′（x）=e>0.

所以，當(dāng)x>0時，edx<（x-0），即<.

7 利用積分中值定理證明不等式

例7 設(shè)f（x）在a，b上連續(xù)且單調(diào)增加，求證xf（x）dx≥f（x）dx.

證明 xf（x）dx-f（x）dx=（x-）f（x）dx

=（x-）f（x）dx+（x-）f（x）dx.

根據(jù)積分中值定理， ζ1∈（a，），ζ2∈（，b），使得xf（x）dx-f（x）dx

=f（ζ1）（x-）dx+f（ζ2）（x-）dx

=-f（ζ1）+f（ζ2）=[f（ζ2）-f（ζ1）]≥0.

8 在不等式兩端取變限積分證明新的不等式

例8 證明當(dāng)x>0時，x-

證明 已知cosx≤1（x>0）.

在此式兩端同時取0，x上的積分，得

sinx0）.

再次取0，x上的積分，得

1-cosx<（x>0）.

第三次取0，x上的積分，得

x-sinx<（x>0）.

即，x-0）.

繼續(xù)在0，x上積分兩次，可得

sinx0）.

綜上所述，x-0）.

9 利用Schwarz不等式證明不等式

若f（x），g（x）在[a，b]上可積，則（f（x）g（x）dx）≤f（x）dxg（x）dx.

例9 已知f（x）≥0，在a，b上連續(xù)，f（x）dx=1，k為任意實數(shù)，證明：

（f（x）cos kxdx）+（f（x）sin kxdx）≤1.

證明 對不等式左端第一項應(yīng)用Schwarz不等式

（f（x）cos kxdx）

=

（cos kx）dx≤f（x）dxf（x）coskxdx

=f（x）coskxdx.

同理，（f（x）sin kxdx）≤f（x）sin kxdx.

所以，（f（x）cos kxdx）+（f（x）sin kxdx）≤1.

參考文獻(xiàn)：

[1] 邱家彩. 用高等方法定積分證明不等式[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2011，21：90.

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[3] 裴禮文. 數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M]. 北京：高等教育出版社，1993.