數學物理方程課程教學的實踐與認識

陳正爭

摘 要：數學物理方程主要指從物理學和其他各門自然科學、技術科學中所產生的偏微分方程。它是數學理論聯系實際問題的一個重要橋梁。數學物理方程課程就是通過講授三類典型的數學物理方程（即波動方程、熱傳導方程和調和方程）的導出、定解問題的求解以及解的性質的探討來培養學生掌握基本的數學物理方程的理論、方法和技巧，形成理性思維品質以及具有較高的分析和解決實際問題的能力，為后續課程的學習或者從事相關工作奠定基礎。

關鍵詞：數學物理方程 課程特點 教學方法 教學手段

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）12（a）-0131-02

數學物理方程主要指從物理學和其他各門自然科學、技術科學中所產生的偏微分方程[1]。它是數學理論聯系實際問題的一個重要橋梁。數學物理方程課程就是通過講授三類典型的數學物理方程（即波動方程，熱傳導方程和調和方程）的導出、定解問題的求解以及解的性質的探討來培養學生掌握基本的數學物理方程的理論、方法和技巧，形成理性思維品質以及具有較高的分析和解決實際問題的能力，為后續課程的學習或者從事相關工作奠定基礎。

目前，數學物理方程課程是國內眾多高校數學類有關專業本科生的一門重要的專業基礎課，同時也是物理、力學和土木等理工科專業本科生或研究生的一門專業必修課。然而在這門課教與學的過程中，學生普遍反映難學，教師普遍反映難教。究其原因，主要有以下幾個方面：（1）該課程涉及的專業知識多。學習這門課程需要學生事先掌握“數學分析”“線性代數”“常微分方程”“復變函數”與“大學物理”等課程的有關知識。（2）該課程的理論性強、計算量大。在介紹三類典型方程定解問題的求解過程中，會有許多數學理論和方法，其計算過程往往復雜、冗長，學生易產生畏難情緒。（3）學生缺乏運用數學知識解決實際問題的能力。這直接導致學生反映作業難度大。針對這些問題，筆者結合自身的教學實踐，談談對這門課教學的一些做法和體會。

1 督促學生復習相關基礎知識

學習數學物理方程課程，需要學生具備較好的數學和物理基礎，即要預先掌握上面提到的一些基礎課程的相關知識。例如在講授三類典型方程的導出時，頻繁用到“數學分析”中二重與三重積分、曲面積分、Green公式和場論初步等知識；講授用分離變量法求解三類方程的定解問題時，需要求解二階齊次常微分方程的特征值問題；講授用Fourier變換法求解熱傳導方程的Cauchy問題時，需要學生會利用“復變函數”中的Cauchy積分定理來求解已知函數的Fourier逆變換。學生雖已學過這些知識，但可能沒有學好或者遺忘。因此在講授這些內容前，都要督促學生提前復習有關基礎知識，這對課堂教學起到了重要的鋪墊作用。否則，學生聽課就會感到費解，從而逐漸失去學習興趣。另外，教師在介紹三類方程的導出時，應帶領學生及時回顧有關物理知識，如沖量定理和熱量守恒定律等，這都有利于學生的理解。

2 結合課程特點講授內容，突出重點

2.1 突出課程的主要內容

在課程內容的選擇上，應根據專業特點及培養方案，精選經典的內容，淘汰復雜難懂的內容。在課時較少的情況下，更應如此。以數學系信息與計算科學專業該課程的教學為例，應重點講授三類方程的導出、定解問題的提法、定解問題的適定性理論、解的性質以及解的物理意義這些內容；詳細講解行波法、分離變量法、Fourier變換法和格林函數法。通過例題講解和習題訓練讓學生牢固掌握這些方法，這有利于培養學生分析、解決實際問題的能力。

2.2 突出講授最基本的數學思想

在講授課程內容的過程中，應突出講授其中蘊含的最基本的數學思想，即“轉化思想”。它是將各種復雜的或者未知的問題通過適當的變換轉化為簡單的或者已知的問題，從而最終解決原問題。數學物理方程課程教學過程中廣泛體現了這一數學思想，例如在講三類方程的導出時，我們從實際問題出發，抓住主要因素，忽略次要因素，從而將實際問題轉化為數學模型；在講分離變量法時，我們利用線性方程的疊加原理，將偏微分方程的邊值問題轉化為常微分方程的特征值問題來進行求解；在解非齊次方程的有關定解問題時，我們利用齊次化原理將其轉化為齊次方程的情形處理，等等。“轉化思想”充分體現了人們不斷化繁為簡、化難為易、化未知為已知的認識過程[2]。突出講授這一數學思想，可以培養學生掌握科學的思維方法，從而提高他們運用數學知識解決實際問題的能力。

2.3 突出有關內容的物理背景

數學物理方程主要來源于物理學和工程技術學科中，從每一類方程的導出到基本概念的建立，到解決問題的方法，最后到解的物理意義的闡述，無不與有關物理現象緊密相連。因此講授這門課，要講清楚有關內容的物理背景。這樣某些數學概念和結果就有了直觀性，既有利于學生理解和記憶，又有助于培養學生的數學想象力。比如在講授二維和三維波動方程初值問題解的物理意義時，從數學表達式上可以推出三維情形下的解滿足Huygens原理，二維情形的解反映出波的傳播具有彌散現象。然而由于數學理論的抽象性，學生通常難以理解。如果結合生活中聲音的傳播和水波的例子分別加以說明，學生便不難理解其內容。

2.4 突出課程知識體系的統一性

數學物理方程課程的內容繁多，突出知識體系的統一性能讓學生更好地從整體上把握這門課程的結構。而實現這一點，筆者認為關鍵是要強調該課程中人們處理問題的基本思路，即從實際問題出發，通過數學建模來導出數學物理方程，再根據實際問題來提一些定解條件，進而研究方程定解問題的適定性以及解的性質，最后利用所得到的數學理論來解決有關實際問題。這一基本思路貫穿于這門課教學的主要內容。教材[1]中所介紹的三類典型方程的數學理論均是按照這一思路展開的。在總結各類方程的知識時，可按照定解問題的提出、定解問題的適定性以及解的性質這幾個方面將有關知識點統一起來。

3 運用多種教學方法與手段，提高學生的學習興趣

數學物理方程課程的理論性強，其計算或證明的過程往往繁且難，單一的灌輸式教學容易使學生失去學習興趣。因此在課堂上，我們應采用多種教學方法和教學手段來提高學生的學習興趣，調動他們學習的積極性和主動性。

首先，要實施啟發式教學。教師在教學過程中，應堅持以學生為主體，采用引導和類比的方法，啟法學生自覺思考，讓他們獨立地發現知識。為此，教師可以在問題的引入、語言的運用和板書的設計等方面精心組織安排，創設問題情境。比如在講授完用分離變量法來求解波動方程具第一類邊界條件的初邊值問題后，自然要提問：如何對具有第二、第三類邊界條件以及混合邊界條件來求解？進一步地，此方法能否用到熱傳導方程的初邊值問題和調和方程的邊值問題中？這樣學生的思路就會打開，起到了舉一反三的效果[3]。

其次，利用多媒體輔助教學。數學物理方程中有許多復雜的公式和結論，可以利用多媒體進行演示，這樣可以節省很多課堂時間，從而將更多的時間安排在重、難點的處理和師生互動的環節。課程中定理的證明和主要的求解方法還是應該詳細地板書。此外，利用多媒體可以形象、生動地演示一些生活實例，這樣可以提高學生的學習興趣。

最后，適當補充一些學科前沿知識以拓寬學生的知識面。例如在講Fourier變換時，可以簡單地介紹下Fourier分析在信號分析和圖像處理中的應用；在講擴散方程時，可介紹下描述生物種群趨化性現象的Keller-Segel模型；在講調和方程時可以介紹有關斑點形成等知識。這些既開闊了學生的視野，又激發了他們進一步學習的欲望。

參考文獻

[1] 谷超豪，李大潛，陳恕行，等.數學物理方程[M].3版.北京：高等教育出版社，2012.

[2] 艾軍.“數學物理方程”教學上的“三突出”[J].高等理科教育，2006（2）：36-39.

[3] 張彬，趙美霞.數學物理方程教學改革與探索[J].西安郵電學院學報，2009， 14（4）：161-163.endprint