畫畫數(shù)數(shù)解難題，思維升華展奇跡

劉慧+劉孫淵

教學(xué)內(nèi)容：雞兔同籠

教學(xué)對象：小學(xué)二年級學(xué)生

教學(xué)目標(biāo)：

知識與技能：了解“雞兔同籠”問題，掌握畫畫數(shù)數(shù)的解法及其升華——假設(shè)法，并能用來解決生活中簡單的該類問題。

過程與方法：掌握將畫畫數(shù)數(shù)解法抽象升華到假設(shè)法的過程，培養(yǎng)初步的抽象邏輯思維能力、符號和數(shù)學(xué)建模意識，滲透對應(yīng)思想、優(yōu)化思想。

情感與價(jià)值：獲得解決問題的成功體驗(yàn)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和自信心；了解有關(guān)的數(shù)學(xué)史，增強(qiáng)民族自豪感；體會(huì)“雞兔同籠”問題的應(yīng)用價(jià)值。

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：將畫畫數(shù)數(shù)的解題方法抽象升華為假設(shè)法及模型的過程。

教學(xué)準(zhǔn)備：多媒體課件、白紙等

教學(xué)過程：

一、觀察提煉，做好鋪墊

師：同學(xué)們，你們喜歡小雞和小兔嗎？

生：喜歡。

師（放錄像）：我們先放一段有小雞和小兔的錄像，同學(xué)們觀察一下一只雞和一只兔子各有幾個(gè)頭、幾個(gè)身子、幾條腿，一樣多嗎？

生1：一只雞有一個(gè)頭，一個(gè)身子，兩條腿；一只兔有一個(gè)頭，一個(gè)身子，四條腿；一只兔比一只雞多兩條腿。

師：很好！可雞和兔子的腿長在哪里呢？

生1：長在身子上。

師：雞和兔的身子都像什么圖形？

生1：扁圓形。

師：同學(xué)們觀察得很仔細(xì)。雞和兔的身子有相似性，都接近于扁圓（橢圓）形，也就是這種 形狀。

【評析：引導(dǎo)學(xué)生對雞兔的頭、身子、腿的數(shù)量及對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行觀察，提煉出身子的形狀，為后面畫身子、畫腿做了鋪墊。這有別于大多數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)“用圓或橢圓表示頭，在頭上畫腿”的不合情理的教學(xué)設(shè)計(jì)。】

二、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

師（課件展示）：一天傍晚，小明去王阿姨家串門，發(fā)現(xiàn)阿姨把養(yǎng)的雞和兔關(guān)進(jìn)了一個(gè)籠子里。他就問：“為啥關(guān)在一個(gè)籠子里？”阿姨說：“家里只有這一個(gè)籠子，晚上把它們關(guān)在一個(gè)籠子里睡覺好管理。”小明又問：“您養(yǎng)了多少只雞，多少只兔？”阿姨說：“籠子里的雞和兔共有8個(gè)頭，20條腿，你就自己算算吧。”“啊！這也需要數(shù)學(xué)？”

師：是啊！生活中到處都要用到數(shù)學(xué)。為了方便，我們先結(jié)合這個(gè)問題產(chǎn)生的背景給它起個(gè)名字，然后幫幫小明吧。

生2：叫“籠子里的雞兔問題”。

生3：名字太長，也沒說明是同一個(gè)籠子。叫“雞兔同籠”吧。

師：同學(xué)們真善于動(dòng)腦筋。我國古代的勞動(dòng)人民早就給它起了“雞兔同籠”問題這個(gè)名字，既簡短，又能反映其產(chǎn)生的背景。這節(jié)課，我們就來探討這個(gè)問題。（板書課題：雞兔同籠問題）

【評析：教者從創(chuàng)設(shè)生活情景入手，既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，又使問題的引出水到渠成。】

三、誘導(dǎo)啟發(fā)，主動(dòng)探索

師：同學(xué)們都喜歡畫畫，看看能不能用畫畫數(shù)數(shù)的辦法來解決這個(gè)問題呢？當(dāng)然，沒有必要像美術(shù)課那樣去畫，只要簡單地畫出來，能體現(xiàn)題目中雞和兔子的有關(guān)數(shù)量關(guān)系就行。可不知道各有幾只，畫多少個(gè)雞頭、兔頭好呢？頭的差異又比較大，難畫，畫錯(cuò)了改的時(shí)候也麻煩。怎么畫好呢？

生4：一個(gè)頭對應(yīng)一個(gè)身子，身子都是扁圓形，先畫身子，再畫腿，確定了雞和兔后再畫頭。

師：同學(xué)們真善于動(dòng)腦筋。那就用 表示身子，用一道豎杠“|”表示一條腿試試吧。少畫了補(bǔ)上好辦，多畫了擦掉麻煩，不多畫當(dāng)然最好。

（教師巡視，以便選擇不同畫法的學(xué)生回答）

師：我看到同學(xué)們都畫完了，也都畫對了，而且畫法好多啊！有的先全畫成雞；有的先全畫成兔；有的先畫2只雞，再畫6只兔；有的先畫5只雞，再畫3只兔；有的先畫4只雞，再畫4只兔；有的按一只雞一只兔的順序畫；有的按兩只雞兩只兔的順序畫；等等。結(jié)果都是——

生（齊答）：6只雞，2只兔。

師：由于時(shí)間關(guān)系，老師下面請三位同學(xué)把畫的過程說出來。

生5：我先畫了8個(gè)身子，再在身子下畫腿。考慮到多畫了還得擦掉，就把它們當(dāng)雞來畫，在每個(gè)身子下畫2條腿，數(shù)一數(shù)畫了16條腿，比實(shí)際的20條腿少4條腿，需添上4條腿。一只兔比一只雞多兩條腿，畫的每只雞上添2條腿就改成兔，4條腿添到了兩只雞上，所以兔有2只，雞有6只。

師：這個(gè)同學(xué)很善于動(dòng)腦，思路很清晰，表述得也很好。

生6：我也先畫了8個(gè)身子，再在身子下畫腿。我估計(jì)雞應(yīng)該多，就先在5個(gè)身子下畫2條腿當(dāng)雞，在3個(gè)身子下畫4條腿當(dāng)兔，數(shù)一數(shù)畫了22條腿，比20條腿多2條腿，就把畫4條腿的一個(gè)身子擦掉了2條腿改成雞，所以兔2只，雞6只。

師：這個(gè)同學(xué)首先進(jìn)行了估計(jì)，思路也很清晰，值得我們學(xué)習(xí)。

生7：我也先畫了8個(gè)身子，再在身子下畫腿。我喜歡兔，就先在每個(gè)身子下畫4條腿當(dāng)兔，數(shù)一數(shù)畫了32條腿，比20條腿多12條腿，就每個(gè)擦去2條腿改成雞，擦到第6個(gè)時(shí)就一共擦去了12條腿，所以6只雞，2只兔。可惜我喜歡的兔太少了。

師：這個(gè)同學(xué)從喜歡的角度出發(fā)開始畫，思路也很清晰，表述也很好。老師也給出了多種畫法，就包含這三位同學(xué)的畫法。同學(xué)們比較一下這三種畫法，哪種最簡單呢？（展示課件，讓學(xué)生瀏覽）

生8：第一種畫法簡單，沒多畫腿，省了擦的工夫。

師：以后我們解題時(shí)，既要善于探討不同的方法，又要比較哪個(gè)方法更好，爭取掌握最好的方法。

【評析：不同畫法的展示及優(yōu)劣比較，既培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維能力，又滲透了數(shù)學(xué)優(yōu)化思想。尤其是讓學(xué)生把畫的過程用語言表述出來，實(shí)際上是解決問題思維過程的展現(xiàn)，有利于學(xué)生思維的清晰化、條理化、系統(tǒng)化，以及方法的內(nèi)化和語言表達(dá)能力的培養(yǎng)。】

四、抽象提煉，思維升華

師：既然大家都認(rèn)為第一種畫法簡單，我們一起把這種畫畫數(shù)數(shù)的過程邊說邊用算式來表示一下。endprint

師（課件展示過程）：把8個(gè)身子當(dāng)雞來畫，在每個(gè)身子下畫2條腿，數(shù)一數(shù)畫了16條腿，可以列成——

生9：2×8=16（條）腿。

師：比實(shí)際的20條腿少4條腿，可以列成——

生10：20-16=4（條）腿。

師：一只兔比一只雞多兩條腿，可以列成——

生11：4-2=2（條）腿。

師：畫的每只雞上添2條腿就改成兔，4條腿添到了2只雞上，所以兔有2只，雞有6只。可以列成——

生12：4÷2=2（只）兔，8-2=6（只）雞。

師：同學(xué)們真棒！寫出畫的過程太麻煩，我們把能用式子表示的語言替換下來，寫成下面的解法。

解：全當(dāng)做雞，有2×8=16（條）腿，比實(shí)際少20-16=4（條）腿。一只兔比一只雞多4-2=2（條）腿，兔有4÷2=2（只），雞有8-2=6（只）。

答：有6只雞，2只兔。

師：同學(xué)們看，簡單吧？

生：簡單。

師：以后我們再解這類問題就沒有必要真的去畫，只要在自己大腦里展現(xiàn)畫的過程，邊說邊寫就行了。

【評析：首先，教者不厭其煩地引導(dǎo)學(xué)生從畫法中提煉、抽象算式的做法有著重要的意義。這種把漢語語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言過程的展現(xiàn)，有利于學(xué)生掌握轉(zhuǎn)化的方法，為升入高年級解數(shù)學(xué)應(yīng)用題奠定了基礎(chǔ)。因?yàn)椋鈶?yīng)用題的實(shí)質(zhì)就是實(shí)現(xiàn)這兩種語言的轉(zhuǎn)化。同時(shí)，也有利于學(xué)生的認(rèn)知由具體運(yùn)算階段向形式運(yùn)算階段過渡，由具體形象思維向抽象邏輯思維發(fā)展。

其次，教者在畫畫數(shù)數(shù)方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行提煉、升華，呈現(xiàn)出了用假設(shè)法解決雞兔同籠問題的解題過程。這一渾然天成的處理方式，既抓住了兩種方法之間的聯(lián)系，又展現(xiàn)了假設(shè)法的實(shí)質(zhì)就是畫畫數(shù)數(shù)解決問題的這一學(xué)前兒童都能掌握的方法，實(shí)現(xiàn)了兩種方法的統(tǒng)一，有利于學(xué)生掌握。另外，假設(shè)法出而不點(diǎn)的處理方法還是很有新意的，既避免了不同方法的羅列，又避免了學(xué)生產(chǎn)生新的疑惑。】

師：同學(xué)們能仿照著老師寫解法的過程，把第二和第三種畫畫數(shù)數(shù)的過程，邊說邊寫嗎？（課件展示畫法及畫圖過程）

（教師巡視指導(dǎo)，讓兩個(gè)學(xué)生板演）

生13：寫第二種。

解：5只當(dāng)做雞，3只當(dāng)做兔，共有2×5+4×3=22（條）腿，比實(shí)際多22-20=2（條）腿。一只兔比一只雞多4-2=2（條）腿，所以多了2÷2=1（只）兔，兔有3-1=2（只），雞有8-2=6（只）。

答：有6只雞，2只兔。

生14：寫第三種。

解：全當(dāng)做兔，有4×8=32（條）腿，比實(shí)際多32-20=12（條）腿。一只兔比一只雞多4-2=2（條）腿，雞有12÷2=6（只），兔有8-6=2（只）。

答：有6只雞，2只兔。

師：同學(xué)們都寫得很好（課件展示這兩個(gè)解法）。大家都掌握這個(gè)問題的解法了嗎？

生（齊聲答）：掌握了。

【評析：教者首先示范，再讓學(xué)生去抽象、提煉解法，既發(fā)揮了低年級學(xué)生模仿性強(qiáng)的優(yōu)勢，又可促進(jìn)學(xué)生抽象邏輯思維的發(fā)展。尤其是三種不同假設(shè)法的展現(xiàn)，打破了大多數(shù)書籍、教學(xué)論文中只假設(shè)全是雞或全是兔的做法。事實(shí)上，若雞和兔共有n個(gè)頭，可以假設(shè)有m（0≤m≤n）只雞（兔）來解答。】

五、鞏固拓展，建立模型

師：前面說過，我國古代的勞動(dòng)人民早就提出了雞兔同籠問題。大約在1500年前，數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中就有一個(gè)這樣的問題。（課件展示）“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”

師：雉就是雞，足就是腳，幾何是指多少。用現(xiàn)代話來說是“現(xiàn)在有若干只雞和兔在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94只腳，問雞兔各有幾只？”

師：同學(xué)們幫古人解決這個(gè)問題好嗎？要邊在大腦里畫，邊說邊寫解法。

（學(xué)生獨(dú)立練習(xí)，小組交流自己的解法）

師：《孫子算經(jīng)》中的“雞兔同籠”問題還漂洋過海傳到了世界上很多國家，如日本、俄羅斯等。人們又仿照它編出了“龜鶴問題”、“人狗問題”等，這說明了它具有重要的價(jià)值。其實(shí)，“雞兔同籠”問題不是一個(gè)題，而是一類問題，畫畫數(shù)數(shù)的解題過程可作為一個(gè)模型用來解決很多類似的問題。

師（課件展示）：這個(gè)問題就屬于“雞兔同籠”類問題。老師買了兩種不同的圓珠筆共16支，一種每支3元，另一種每支5元，共花了62元。問兩種圓珠筆各買了多少支？

生15：這里沒有雞和兔啊？

師：不要緊啊，我們可以把每支3元的圓珠筆當(dāng)成“1個(gè)頭，3條腿”的“怪雞”，把每支5元的圓珠筆當(dāng)成“1個(gè)頭，5條腿”的“怪兔”。這樣，16支變成了什么？62元變成了什么？

生16：16支變成了16個(gè)頭，62元變成了62條腿。真有意思！

師：那就在大腦里想象畫畫數(shù)數(shù)的過程，邊說邊寫，把解法寫出來吧。可要靈活啊！

生17：全當(dāng)做是3元的圓珠筆共花3×16=48（元），比實(shí)際少62-48=14（元）。1支5元的圓珠筆比1支3元的圓珠筆多花5-3=2（元），所以5元的圓珠筆有14÷2=7（支），3元的圓珠筆有16-7=9（支）。3元的圓珠筆有9支，5元的圓珠筆有7支。

師：大部分同學(xué)解的都很好，只是個(gè)別同學(xué)把圓珠筆真的寫成了“怪雞”、“怪兔”。我們說可以當(dāng)做 “怪雞”與“怪兔”，但不要機(jī)械地往上套啊！

【評析：教者通過對有關(guān)史料的介紹，在傳承我國古代數(shù)學(xué)文化的同時(shí)，也使學(xué)生體會(huì)到我國文化的博大精深，有利于學(xué)生民族自豪感的培養(yǎng)。另外，讓學(xué)生感受問題的變式，使其解法成為解決這類問題的模型，既滲透了建模思想，又有利于學(xué)生的靈活應(yīng)用。】

六、課堂小結(jié)

師：今天我們學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？你有什么收獲？

生18：學(xué)習(xí)了“雞兔同籠”問題，會(huì)解這類問題了。

師：這類問題難不難？

生：不難。

師：這可是五六年級的哥哥姐姐們才學(xué)的呀！

生：啊！

師：這說明只要我們勤動(dòng)手、勤動(dòng)腦，數(shù)學(xué)一點(diǎn)都不難。也說明同學(xué)們真棒（伸大拇指）！最后請同學(xué)們在大腦里再畫一遍，嘴里默默地把過程再說一遍好嗎？

生：好！

【評析：通過回顧總結(jié)，讓學(xué)生對知識進(jìn)行梳理，再次鞏固和內(nèi)化了解“雞兔同籠”問題的數(shù)學(xué)模型。最后揭示該問題是五六年級所學(xué)知識，使學(xué)生樹立了信心，培養(yǎng)了學(xué)生的自豪感。】

七、課后作業(yè)（略）

總評：“雞兔同籠”問題是我國廣為流傳的有名的古算題。由于解決這個(gè)問題的思維含量高，人們常常拿它來考察一個(gè)人的智力狀況，也成了小學(xué)高年級奧數(shù)的經(jīng)典題型，現(xiàn)已進(jìn)入小學(xué)五六年級的數(shù)學(xué)教材。因此，讓二年級的學(xué)生掌握這類問題的解法，是一具有挑戰(zhàn)性的教學(xué)任務(wù)。當(dāng)我的學(xué)生劉慧進(jìn)行課外實(shí)踐，提出想給二年級學(xué)生講這堂課時(shí)，我為她捏了一把汗。沒想到的是，她的教學(xué)設(shè)計(jì)取得了很好的教學(xué)效果，不僅深受學(xué)生歡迎，還得到了任課教師的好評。總之，這是一堂出色的課，除了穿插的評析外，再指出以下幾點(diǎn)。

1.符合學(xué)生的認(rèn)知和思維發(fā)展水平是本節(jié)課成功的關(guān)鍵

教學(xué)從畫畫數(shù)數(shù)入手，抽象與提煉解法時(shí)要求學(xué)生腦子里想象畫法、邊說邊寫，以及解法用語言與式子混合寫出，沒有只用算術(shù)表達(dá)式（含綜合算式）等，均符合二年級學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展與思維發(fā)展水平。

2.引導(dǎo)到位，放收合理

本節(jié)課教師的引導(dǎo)與學(xué)生的自主探究結(jié)合得比較好，教師始終有效地掌控教學(xué)，沒有大撒把，避免了自主探究流于熱熱鬧鬧的形式。

3.語言簡練，親和力強(qiáng)，不乏幽默感

語言表達(dá)通俗易懂，猶如日常交流談話，具有親和力但又不多余，拉近了師生之間的距離，易被學(xué)生接受；沒有華麗的語言，但像怪雞、怪兔等語言的出現(xiàn)又不乏幽默感，有利于活躍課堂氣氛。

（責(zé)編 金 鈴）endprint