讓數學操作活動更富有智慧

戴麗云

數學操作活動作為學生探究新知的重要學習方式之一，隨著課程改革的深入實施，越來越受到廣大教師的重視。的確，有效的數學操作活動不僅有利于學生對知識進行“再創造”，而且能有效啟迪學生的思維，激發學生的智慧。但在當下眾多的數學課堂中，我們仍看到有相當多的教師往往采用指令性的教學方式，把操作活動的要求、方法等強加給學生，導致學生僅做機械的“操作工”，使數學操作活動失去啟迪思維、激發智慧的作用。那么，如何改進才能讓數學操作活動更富有智慧呢？下面，談談自己在聽課比較中得到的啟示。

一、理解概念定義的數學操作活動，使學生由概念的接受者轉化為主動發現者

案例：教學“三角形按角分類”

課始，教師先出示三種不同情況的三角形，問學生：“在這三個三角形中，哪個三角形的三個內角都是銳角？”然后教師告訴學生三個內角都是銳角的三角形叫銳角三角形……

上述案例，學生可能會記住知識的結論，考試成績也不差，但教師這樣教學實際上剝奪了學生思考的權利，導致學生機械、被動地接受知識。如果我們遵循小學生的心理特征和認知規律，考慮到學生是具有主觀能動性的人，就可以這樣設計教學：先出示7個特征鮮明的不同的三角形，為研究方便可以給每個三角形的每個角都編上序號，再通過填表、分組、命名、定義、分類等五個環節進行教學。第一個環節，先讓學生按照角序、角別、圖序填表（如下）。通過填表既可以使學生對三角形內角的情況一目了然，又為下一步歸納、分析做好準備，并有機滲透了科學統計的數學思想方法。第二個環節，引導學生在分析7個三角形內角的共性和特性的基礎上，對這7個三角形進行分組。第三個環節，讓學生根據分成三組的三角形各自的特征，給它們取一個合適的名字，使學生感到有趣，從而調動了他們學習的積極性。第四個環節，讓學生為每一種三角形下一個明確的數學定義，進而從7個三角形推廣到所有的三角形，使學生對所學概念的感性認識上升到理性認識。第五個環節，引導學生在操作中發現任何一個三角形都在這三種三角形的范圍之內，進而得出結論：三角形按角分類，應分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三種。這樣教學可能需要花較多的時間，但它不僅僅是向學生教授數學的概念與方法，更重要的是重視了數學概念的發生和形成過程，克服了“概念+例題”的教學模式，注重引導學生形成知識結論的科學方法和科學態度，從而使課堂教學更多地體現人文性。

《數學課程標準》中指出“數學教學不僅要教給學生數學知識，而且要揭示獲取知識的思維過程”“在教學中，應當注意數學概念、公式、定理、法則的提出過程，知識的形成過程、發展過程，解題思路的探索過程，解題方法和規律的概括過程，使學生在這些過程中展開思維，從而發展他們的能力”。上述概念教學中的一系列操作活動，使學生由知識的被動接受者轉化為知識的主動發現者，不僅將所學知識記得牢，而且理解透徹。

二、內化作圖技能的數學操作活動，使學生由操作步驟的被動執行者轉化為主動建構者

案例：教學“平移”

師：圖形的平移有哪些特點？下面，我們請這個金魚圖（如下）來幫助我們研究。

（多媒體播放金魚圖各部分筆直移動，但不是朝同一個方向移動的過程）

師：整個金魚圖的移動是平移嗎？

生（大笑）：不是。

師：為什么？

生1：因為魚都散了，魚身向左移，魚尾向右移……

師：那怎么樣才能使整個金魚圖的移動是平移呢？

生2：每個部分都朝同一個方向移動。

師：好，那我們讓魚身和魚尾都朝同一個方向移動。

（多媒體播放金魚圖各部分朝同一個方向筆直移動，但各部分移動的距離不一樣的過程）

師：這下是平移了吧？

生（哄堂大笑）：不是。

師：為什么？

生3：這條魚又散了。怎么魚身一直向左移動，魚尾向左移動幾格后卻停在那兒了呢？

師：那怎樣才能使整個金魚圖的移動成為平移呢？

生4：每個部分移動的距離都要相等。

師：我們再來試試。

（多媒體演示金魚圖平移的過程）

生：成功了。

師：比較一下，平移前后的金魚圖有什么相同的地方和不同的地方？

生5：圖形的位置不同了，圖形的大小、形狀完全相同。

師：下面，你們根據這些特點來判斷一個圖形是不是平移，同時考慮圖形向什么方向平移了幾格。

（師出示圖形，學生先在獨立思考的基礎上進行小組討論，再全班交流）

師：你們已經能根據平移的特點，數出一個圖形向哪個方向平移了幾格。那么，你們能畫出三角形（如下圖）向右平移6格后的圖形嗎？試試看。

師：下面，誰來展示交流自己的畫法和想法？

生6：因為一個圖形平移時，它任何部分移動的距離都相等，所以我先將三角形的3個頂點向右平移6格，再將它們連起來。

生7：我是先將三角形最上面的頂點向右平移6格，再數一數豎著的這條邊的長，畫出來后再數一數橫著的這條邊的長，畫出來后……

生8：我是先將豎著的這條邊向右平移6格，再……

一般教師在教學這一內容時，往往在學生感知物體平移現象后，直接要求學生畫出平移的圖形，并告知學生畫的方法和步驟：先數一數平移的距離（多少格），再畫出平移前后圖形的對應點，最后將這些點連起來。這樣教學，雖然學生能按教師的指令快速地掌握操作的基本要領，并有較多的時間進行反復訓練，使學生逐步形成正確的操作技能，但也會導致學生成為操作步驟的被動執行者，這樣的學習只能是機械的。上述教學中，教師先讓學生觀察兩個平移的反例，總結出平移的特點，這就為學生自主構建畫平移后圖形的方法和步驟搭建好了“腳手架”。學生以“圖形平移時，任何部分移動的距離都相等”的平移特點為生長點，運用想象、比較、判斷、推理等思維方式，由理入法，自主構建了具有個性化的多種作圖的方法和步驟。這些作圖的方法和步驟，學生不僅知其然，而且知其所以然，使他們在獲得新知的同時，思維能力也得到了訓練和發展。endprint

三、探索公式推導的數學操作活動，使學生由“遵命而為”的操作者轉化為操作活動的主動設計者

案教：教學“圓錐體積”

師（多媒體演示轉筆刀將圓柱形鉛筆的一頭削卷成圓錐形的過程，并出示等底等高的圓柱與圓錐）：你認為這個圓錐與圓柱的體積之間有什么關系？

生1：它們的底面相同，高也相同，且圓錐的體積是圓柱體積的一部分。

師：請你猜想一下，這個圓錐的體積大約是這個圓柱體積的幾分之幾？

生2： 。

生3： 。

生4： 。

……

師：到底誰的猜想正確呢？如果給你們一些工具和材料（如等底等高的圓柱和圓錐形容器、同質材料制成的等底等高的圓柱和圓錐形實物、水、天平等），你們能設計一個操作實驗來證明你們的猜想嗎？

（學生小組討論）

生5：我們小組認為，可以在圓錐形容器里裝滿水，再將水倒入與它等底等高的圓柱形容器里，如果倒2次正好倒滿，說明圓錐的體積是圓柱體積的 ;如果倒3次正好倒滿，說明圓錐的體積是圓柱體積的 。

生6：我們小組認為，可以在天平的一端放上一個圓柱，再在另一端放上圓錐，看到底放幾個圓錐能使天平兩端平衡，就能證明圓錐的體積是與它等底等高的圓柱體積的幾分之一。

生7：我們組認為還可以將圓錐和圓柱分別放在裝水的容器中來測量。

……

師：請你們按自己小組設計的操作實驗方案，來領取工具和材料進行操作實驗。

……

教學這一內容時，一般由教師指定學生小組實驗操作的步驟和方法，學生在這樣的操作活動中成為“遵命而為”的操作工。我們認為，這樣的操作活動與學生觀察教師的演示實驗所獲得的結果差別不大。而上述教學中，教師先鼓勵學生憑直覺猜想等底等高的圓柱和圓錐體積之間的關系，學生有了自己的猜想，就會產生需要驗證自己猜想的欲望。接著教師出示操作實驗的工具和材料，讓學生設計驗證猜想的操作實驗方案。當各小組學生都確定了方案后，教師才放手讓學生按自己的方案開展操作實驗。在這樣的教學過程中，學生自己引導自己的思維，自己設計操作實驗活動的方法和步驟，自主經歷猜想、假設、確定（或否定）的過程，從而品嘗到創造、發現的喜悅，既長知識，又長智慧。

皮亞杰說過：“智慧自動作發端。”數學是一門抽象性、邏輯性很強的學科，而小學生的思維正處于由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段，動手操作活動不僅可以在數學知識的抽象性和學生思維的形象性之間架起一座溝通的橋梁，而且是發展學生智慧的重要途徑。

（責編 藍 天）endprint