區域霧霾環境的優化監測探究

□凌 龍 錢學明

近年來，隨著經濟規模的迅速擴大和工業化進程的加快，大氣污染日趨嚴重。2013年1月，我國中東部地區相繼出現大范圍霧霾，城市能見度降低，空氣質量差，對交通安全和人們的日常生活造成了嚴重影響。目前，霧霆天氣的發生已經無法避免，如何減少霧霾天氣造成的損失和傷害，降低霧霾天氣污染物對人們身體健康的毒害，成為眾多專家學者關注的焦點［1～2］。不難發現，霧霾問題的解決在于預防和治理，而其基本任務是要迅速建立有效的監測系統。為此，我們需要解決兩個基本問題。其一，天氣狀況的預報依賴于模型，霧霾作為一種天氣現象，需要建立符合其內在規律的數學模型。其二，霧霾環境的有效監測在于能否確定最佳的測量時間。研究發現，大氣污染呈現為一個擴散輸運過程，其特點是系統的狀態不但依賴于時間而且依賴于空間，且具有復雜的動態特性。陳英杰等［3］通過擴散過程的動力學分析，建立了大氣污染的三維反應擴散模型。基于此類模型，Qian［4］進一步討論了擴散過程中移動控制下的優化測量方案。

一、區域霧霾環境的模型描述

本文考慮一類線性反應擴散方程描述區域霧霾的天氣

其中x 表示一維空間的位置，x∈［0，ι］，時間t∈R+，N(x，f)表示霧霾環境中t 時刻x 處污染物的濃度，ɑ ＞0 為擴散系數。系統滿足初始條件N(x，0)=N0(x)和Dirichlet 邊值條件N(0，t)=N(l，t)=0。φ(x)＞0 為吸收衰減函數，且φm≤φ(x)≤φM。

二、模型的穩定性分析

定理:區域霧霾環境的線性擴散模型(1)在其初、邊值條件下，若滿足α ＞0 成立，則(1)是全局指數穩定的。

證明:對于動態系統(1)，我們取Lyapunov 函數如下

計算沿系統(1)軌跡的時間導數

以下討論系統的指數穩定性。為此，考慮

于是，eαtV(t))=V(0)+(eαtV(t))ds≤V(0)，不難計算得到V(t)≤e-atV(0)。

因此，‖N(x，t)‖2≤ρ0e-at。即系統(1)是全局指數穩定的。

三、測量時間優化方案

事實上，霧霾天氣的產生來源于大氣氣溶膠的影響［5］。研究表明，大氣氣溶膠的測量可用于霧霾的定量。換言之，我們通過測量大氣氣溶膠來間接確定霧霾的濃度。

因此，對于區域霧霾的線性擴散模型，系統的測量輸出可以寫成以下形式。

其中U(x，t)為儀表測量輸出的電壓值，U0為太陽地外常量，σ 為大氣中所含氣團量，一般取σ=1/sinθ(θ 是太陽光入射到地面的夾角)，D(x，t)為氣溶膠光學厚度，與霧霾濃度N(x，t)線性相關，即D(x，t)越大，N(x，t)越大，反之亦然。因此，D(x，t)可用來表征霧霾濃度N(x，t)。w(x，t)表示不同位置的測量噪聲。假設w(x，t)為獨立分布的白噪聲，且滿足E{w(x，t)}=0，E{w(s，t0)wT(x，τ)}=I。

為了得到系統的最佳測量時間，我們將儀表的測量輸出在t=t0的領域內線性化。利用泰勒公式，則(4)式可寫為U(x，t)=g(x，t0)+t=t0(t-t0)+o(ρ)+w(x，t)，其中，g(x，t)=U0e-σD(x，t)。

考慮到g(x，t0)+t=t0t0與t 無關，且忽略高階項，則可近似寫為

其中h(x，t0)=|t = t0= -|t=t0。

設輸出誤差平方準則函數為

利用加權最小二乘法計算可知，時間估計誤差的方差最小時，時間估計值滿足:

通過以上分析可知，μ 與最佳測量時間t0有關，且其取最大值時時間估計誤差的方差最小。因此，使μ 取得最大值的t0即為所求最佳測量時間。

四、數值例子

圖1 霧霾濃度的時空分布

系統在［0，1］上測量輸出為U(x，t)=U0e-σD(x，t)+w(x，t)。設最佳測量時刻為t1，我們考慮μ(t1)，計算可知當t1=0．02時，μ 最大。于是，t1=0．02 為系統的最佳測量時間。

［1］張軍英，王興峰．霧霾的產生機理及防治對策措施研究［J］．環境科學與管理，2013，38(10):157～159

［2］周廣強，陳敏，彭麗．霧霾科學監測及其健康影響［J］．科學，2013，65(4):56～59

［3］陳英杰，劉玉良，劉萍．三維大氣污染反應擴散方程模型［J］．哈爾濱師范大學自然科學學報，2014，5:1～3

［4］X．Qian．Optimal monitoring in reaction-diffusion model of the atmospheric pollution［J］．Journal of Simulation，2015，3(2):3～6

［5］何杰，董國波，李英姿，等．使用太陽光度計測大氣霧霾［J］．物理實驗，2013，33(11):1～3