畫龍點睛注重根本
——新課程高效教學例談與思考

☉江蘇省海門中學吳惠琴

畫龍點睛注重根本
——新課程高效教學例談與思考

☉江蘇省海門中學吳惠琴

高效教學是一個老生常談的問題，作為一線教師尤其要關注教學的效率和實效性·新課程中的高效教學與傳統高效教學的最大區別是什么？新課程中數學高效教學實施應該如何與時俱進？南師大數學教授喻平說：“現階段的新課程中學數學教學，要以引導學生積極思考、將知識以符合學生心理預期的方式進行傳授，并且這些知識需要教師以一定的形式進行組織，這樣的教學與傳統教學高效的灌輸式相比有了長足的進步，符合新時代的教學特征·”

因此，新課程下的高效教學需要一些特征：其一是主動性，教師如何在教學中去調動學生的積極性，需要用實效性的問題、及時的激勵、積極的參與等手段；其二是核心性，高效教學必須始終圍繞唯一的教學重點實施，這是高效教學的根本，如何圍繞根本設計問題是教師能力的滲透和體現；其三是歸納性，圍繞根本教學展開的高效課堂，需要將教學核心和重點進行歸納達到教學的目的·近期，筆者聆聽了一節公開展示課，內容是高三平面向量教學中關于數量積的一個復習教學，該教師以獨特的視角引進了高考向量問題中向量數量積與向量加法、減法之間的本質關系，將問題進行了合理的梳理，是高效課堂的體現·

一、課堂設計

本課是平面向量高三復習課，因此并不花哨，且注重實用和高效，現大致對本課用一個流程作簡單的回眸：

1·回歸課本

例1（必修4，P120：B組2）已知向量a，b為非零向量，求證：a⊥b?|a+b|=|a-b|·

提問：同學們，大家有沒有發現a·b與a+b，a-b之間的關系？a·b=_________·

2·尋根問底

3·“根”繁葉茂

例2（南京二模改編）在△ABC中，M是BC的中點，AM=3，BC=10，則A—→B·A—→C=_________·

例3（無錫市一模）已知a·b=0，向量c滿足（c-a）·（c-b）=0，|a-b|=5，|a-c|=3，則a·c的最大值為_________·

例4（浙江省理改編）設△ABC，P0是邊AB上一定等于或小于）

4·推本溯源

本節課復習了哪些內容？主要有哪些常規解法？滲透了哪些數學思想方法？如何選擇最合適的解法？通過本節課的學習，你得到哪些啟示？

二、課例分析

筆者有幸聽到王老師的《注重根本復習加強知識積累——向量恒等式復習》一課，聽課之余不禁為王老師深厚的教學功底、精湛的教學藝術及先進的教育理念所折服·下面筆者抓住其中幾點來談談對這節課的分析·

本節課教學過程共分為四個層次：回歸課本，尋根問題，根繁葉茂，推本溯源，這四個環節之間和諧緊湊，自然遞進，就好比導游（教師）帶領游客（學生）進行登山活動，欲欣賞美景，請君更上一層樓·

1·本源——自然遞進的層次結構

在第一層次中，由課本的一道練習題引出（已知向量a、b為非零向量，求證：a⊥b?|a+b|=|a-b|），由學生給出兩種不同的證明方法——代數法和幾何法·看似平常普通的練習題，其中既蘊含了本節課的主要思想——數形結合，也隱含了本節課需要解決的問題——向量中的問題·接下來問學生：能發現a·b與a+b、a-b之間的關系嗎？學生可以很自然地想到運用數量積運算法則進行計算，給出兩者關系·

這里由課本練習引入復習課，顯得十分自然并且可以引起學生足夠的重視·在高考的復習中，教師往往側重于讓學生大量、不停地做課外題而忽視了最本質、最原始的材料——課本·歷年的高考題中有很多是以課本為原型而改編的，因此在復習中回歸課本、回歸基礎也是我們教師所要注意的問題·

同時用課本練習引入也可以對不同程度的學生能起到“保底和提高”的作用·對于程度不好的學生，那么課本的練習便是保底，給他們自信心；對于程度好的學生，后面的練習便是提高，提出更高的挑戰，起到了兼顧各個層次學生的作用·

2·本質——扎實可靠的理論依據

在經歷第一層次的登高后，景色若隱若現，此時在第二層次尋根問底中，教師便直接揭開了神秘景色的面紗，對剛才的等式關系給出了一個名字——向量恒等式·并結合圖形解釋了該恒等式的幾何意義·把兩向量的數量積與三角形中的中線和邊聯系起來·與本課開頭的引入呼應：既有代數的運算，又從幾何角度得到了完美的解釋，達到了數形的統一·印證了華羅庚先生的一句話：“數形結合百般好，隔離分家萬事休，幾何代數統一體，永遠聯系莫分離·”也同時在提示學生，做題目時要注重數形結合的思想，再一次呼應本節課的學習目標·

向量恒等式原本是高等數學中泛函分析的內容，是溝通線性空間與內積空間的橋梁·在這里教師結合高中數學的實際情況對該等式進行靈活應用，這一做法值得我們大家借鑒、學習·高中數學課程的理念之一是構建共同基礎，提供發展平臺·其中，認為高中數學的基礎性包含兩個方面的含義，一是“提供更高水平的數學基礎，使學生獲得更高的數學素養”；二是為學生“進一步學習提供必要的數學準備”·因此，在平常的教學實踐中，用高等數學的知識來指導初等數學是非常有必要的·

3·整合——融匯貫通的知識脈絡

“貫通”本身是哲學中的術語，教學活動作為一種學術活動也可以借鑒“貫通”思想來執行·數學教學的貫通是指教師能夠對本學科的理論體系通曉含義、脈絡清晰，進而觸類旁通，以靜制動，以點帶面，連面成林，從而使教學活動完整而有效·美國著名數學家G·波利亞曾說：“一個專心的認真備課的教師能夠拿出一個有意義的但又不太復雜的題目，幫助學生發掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域·”

而在本課例中，王老師介紹完向量恒等式之后，依次給出了與數量積有關的三個例題，實現了從理論到實踐的統一，也實現了從各個方面幫助學生發掘問題、解決問題的目標·在例2中分別采用分解向量、利用向量的線性運算，或直接利用向量恒等式，或采用坐標法，或采用特殊情況等方法對例2進行了完美的解決·在解決過程中體現了各種方法的殊途同歸，實現了研究方法的貫通，也讓學生體現到了一題多解的重要性；例2中又把向量問題和解析幾何中的圓、四邊形聯系起來，讓學生深切感受到數學知識的統一性，讓學生感受到了各種知識之間的內在聯系·縱觀本課乃至平時的數學學習，貫通思想是必不可少的·各章節知識點之間的貫通，各種解題方法的貫通，各種數學思想的貫通，包括數學與其他學科的貫通等都需要教師在平時的課堂上無形中滲透給學生·

值得一提的還有王老師的課堂中始終貫徹了“學生先行，交流呈現，教師斷后”的指導思想·看似普通的十二個字，做到卻不容易，筆者統計了一下，每次題目給出后，王老師都會給學生至少2分鐘左右的思考時間，帶著思考之后的結果去聽教師的講解，效果定然比只聽不思考好很多，這是值得我們大家借鑒、學習的地方！

4·美景——無處不在的數學美景

數學美是美的高級形式，它的特點在于無限豐富的感性內容可以提取出抽象的理性形式·而在教學中，教師要運用大量生動感性的材料給學生以美感直覺，把抽象枯燥的數學概念、公式、定理先給學生以具體的直觀形象，再上升為理性形象，成為字母與運算符號間的造型藝術，使學生對所學知識易于接受，便于理解·在課堂上，教師通過嚴密的推理、生動的語言、優美的圖形等做出審美示范，創設思維情境，把數學美的簡單統一、和諧對稱等特征融匯貫通在教學的整個過程中，使學生能夠在美的享受中獲得知識、理解知識、掌握知識，在潛移默化中體會數學美·在本節課中，王老師做到了，王老師就像數學王國中的導游，逐步引導學生欣賞數學中的對稱美、統一美、簡潔美和邏輯美·同時，教師自身獨到的見解、循循善誘的語言，本身也是一種美，致使學生在做題目時不斷地感受數學之美，而不是單純地在解答題目·

綜上，在合理安排教學的同時，又極為簡捷、高效地復習了向量恒等式，進行積極滲透、師生共探，以達到新課程高效課堂教學的目的·

三、課后反思

在欣賞王老師的這節精彩的課例外，筆者還有一些不太成熟的個人看法，這里僅供參考，歡迎大家批評指正·

1·教學安排上的商榷

在第二個環節尋根求底中，教師通過計算得出了向量恒等式，進而借助向量的平行四邊形法則給出了其幾何解釋，又進一步推廣到了三角形中，得出數量積與三角形的中線和邊的關系，接下來馬上進入了第三環節例題展示·第二環節只用了短短的4分鐘時間，在這里筆者認為第二環節安排時間過少·向量恒等式本是一個陌生的概念，是從熟悉的向量和、差、數量積得出，雖然符合學生的認識規律，但學生還沒有來得及內化、轉變為自己的知識，教師已經開始下面例題的講解·當然也有可能教師認為需要通過做題目來進行鞏固、內化·

在第三環節的教學中，王老師先安排例2的講解，這里體現了一題多解，鼓勵學生從多角度思考問題，也調動了學生學習的積極性·接下來，筆者認為例3、例4的位置可以互換一下·畢竟例3的題目需要運用圓等知識，而例4是可以馬上利用向量恒等式的·顯然例3比例4更綜合、更具有挑戰性·因此，兩道題目順序調換后，更符合一節課例題逐步加深，從易到難的安排，也讓學生更具有學習的積極性·

2·教學過程中的商榷

王老師這堂課從頭到尾都貫穿著“學生先行，交流呈現，教師斷后”的先進教學理念，但貫徹的不是特別徹底·在展示出題目之后，教師都會空出時間讓學生自己思考，但思考之后便是單純的一對一式的對話或是教師的獨自講解·此效果比直接講解題目效果要好，但效果可以更好一點的是教師完全可以放手讓學生來講·因為給出向量恒等式之后，后面的例題便是此等式的應用·認真思考之后，過半的同學完全有能力自己解決例題·所以不妨把后面例題的講解轉變為學生自主講解；同時要求在“學生先行”時，教師要走下講臺巡視學生的解答情況，對于典型的錯誤、精彩的解法挑選出來展示給大家看·此時更能提高學生學習的積極性，也能對學生掌握的情況有相對準確的把握·當然，此方法比較費時間，所以也可以提前把學案發給學生，提前研究，相信課堂中會有意想不到的精彩呈現·

盡管本課有幾處小地方有待商榷，但從總體上來看，這節課確實有很多地方值得大家來學習、借鑒，特別是教師融會貫通的能力、循循善誘的語言及先進的教學理念指導，值得筆者學習和思考·

1·楊建輝·新課程標準下教師教學設計中應具備的幾種意識［J］·數學通報，2014（2）·

2·何宗羅·整體凸顯結構優化問題引領［J］·教學月刊，2012（4）·

3·冷少華·淺談學生的數學問題意識及其培養［J］·教育探索，2013（6）·F