高等數學中“導數”的教學研究

張明

【摘 要】導數在微積分中起著承前啟后的作用，但由于教改的原因，大學數學中導數的部分知識已經被添加到初等數學里面，也就是高中數學，且在部分地區的高考中占有一席之地，但是部分地區或文科學生又不學習該部分內容。本文從教師的角度去深度探究該部分內容在大學數學中的相關問題，以期解決相關問題。

【關鍵詞】導數 高等數學 初等數學 教學

導數的概念是微積分的核心概念之一，它在數學及其他學科有著廣泛的應用，由于其定義的構造性，導致該定義又比較抽象且難以理解，因此，導數的教學定位以及如何進行導數的教與學成為高校數學教師研究的一個重要課題。另外，由于教學改革的原因，高中教材也發生了較大的變化，高三實驗新教材限定選修本第二章增加了極限的內容，第三章添加了導數與微分，而導數這部分內容在教學大綱的要求突出一個“用”字，即要會用導數的概念、公式及相關知識解決有關單調性和最值問題，但是同樣是由于教學改革的原因，部分地區，比如上海等地區的高考又是不考導數這部分知識的，從而其在高中階段并沒有學習導數的知識，這就使得大學課堂關于導數這一部分很是尷尬。本文將結合這些現實情況對導數知識的教學進行相關探討與研究。

一、高等數學中“導數”教學的現狀

導數章節是高等數學的重中之重，具有承上啟下的作用，因而導數的教學具有重要的意義。隨著高中新課程教學改革的深入，大學高等數學的內容被引入或者介紹了很多，比如導數的概念、幾種常見函數的導數、導數的四則運算法則、導數的應用等相關知識，在高中階段有些地區的學生已經進行了系統的學習。

但是有些地區的學生以及部分文科學生卻沒有學習這些內容。而到了大學高等數學的第二章《導數》的部分知識與高中數學教材中的知識出現了重疊，甚至有學生覺得所學知識與中學的初等數學知識大致相同，從而失去了學習的熱情和積極主動性，同時，沒有學過的同學卻由于前一章極限的影響，感覺導數的學習倍加困難。

因此，高等數學教師應該處理好這些重復點的講解，否則會使所有學生感覺到失望。從而失去了學習高等數學的動力與興趣，使很多學生錯失接觸美妙的高等數學其他知識的良機。

二、高等數學中“導數”相關內容及與初等數學重合的內容

（一）導數的定義或概念

高中數學和高等數學教材中，這一內容是相同的，不同的是教學目的與教學要求。初等數學要求學生了解導數概念的某些實際背景；掌握函數在一點處的導數和其幾何意義；理解導函數的概念等。所以，在中學，盡管學生已經學習過極限與導數，但主要是了解概念和掌握相關的簡單計算，對概念的深入理解并沒有多少掌握。但高等數學要求學生完全掌握并且能夠熟練應用，所以到了大學，一些學生概念上似懂非懂，模糊不清，而且又由于更多的是死記硬背，從而不會靈活運用，最終成了夾生飯。

（二）導數的運算

高中新課標教材要求較低：根據導數的定義或者熟背基本導數公式從而會求簡單函數的導數；能利用導數的四則運算法則去計算導數，包括部分復合函數的導數；而利用導數的幾何意義去分析問題、解決問題的綜合能力是更主要的要求。高等數學對這部分內容要求卻變成了掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法；掌握初等函數的一、二階導數及高階導數的求法，會計算分段函數、隱函數、反函數及參數方程所確定的函數的一階、二階導數；了解微分的概念與四則運算等，這完全是初等數學中導數部分的深化。

（三）導數的應用

高中新教材中僅是借助幾何直觀了解函數的單調性與導數的關系，并通過實際的背景和具體應用事例引導學生經歷由函數增長到函數減少的過程，使學生了解函數的單調性、極值與導數的關系，要求結合函數圖象，知道函數在某點取得極值的必要條件和充分條件，會用導數求不超過三次的多項式函數的最大、最小值；能夠利用導數知識解決利潤最大、用料最省、效率最高等優化問題。

三、高等數學中“導數”知識的教學建議

從上面的敘述我們不難發現，在初等數學里面所添加的高等數學的知識，目的是加強初等數學，特別是高中數學與高等數學的聯系，讓中學生初步了解微積分的思想。從而，高中學過的僅僅是相對基礎且過于簡單的相關知識，因此需要重新學習已學過的內容，為以后學習其他更深入更難的內容打好基礎。

我們也可以發現，雖然高等數學與初等數學的微分內容差別不大，但內容體系框架卻有很大差異，高等數學的知識體系更加系統，更加嚴謹，邏輯性也更強，這就需要教師打好每一名學生的微分基礎，為后面積分及二元微積分的學習創造便利的條件。

同時，高等數學教師在課堂教學過程中，在制訂教學 目標、設計教學方法時，以及在課堂上進行教學活動時，不僅要重視知識的教授，還要注重相關知識與初等數學的銜接與拔高，以及學生學習能力、學習態度和學習習慣的鍛煉與養成。更要在數學教學中培養學生的創造精神，把培養學生的創新思維作為數學課堂教學的核心目標。

四、高等數學中“導數”教學的總結

導數在微分學中的地位是非常重要且基礎的，但由于其定義的特殊性，它又是很抽象的，就算有很多實際應用例子，對大學新生而言這也算是一個不容易完全掌握的難點。又因為在中學，也就是初等數學階段，一些地區的學生或多或少接觸過導數，自以為學得還可以，所以這些學生很容易忽視之。這就需要高等數學教師把握好課堂教學的進度和適當的難易程度，以利于所有學生順利掌握該知識點，為后面積分學的學習打下堅實的基礎。

【參考文獻】

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[2]趙樹嫄主編.微積分[M].北京：中國人民大學出版社，2007.endprint