豎直液柱與水平液面作用激起毛細波探究

鞏欣亞， 張 煜， 張永戰， 沈 宏， 潘永華， 高惠濱(. 南京大學物理學院，江蘇 南京 20093； 2. 中國科學院 大氣物理研究所，北京 00029)

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豎直液柱與水平液面作用激起毛細波探究

鞏欣亞1，2， 張 煜1， 張永戰1， 沈 宏1， 潘永華1， 高惠濱1
(1. 南京大學物理學院，江蘇 南京 210093； 2. 中國科學院 大氣物理研究所，北京 100029)

探究豎直液柱自由下落到水平液面上，液柱底部受擾激起的表面毛細波傳播出現穩定的波節、波腹，如同“駐波”形式的實驗現象。利用Navier-Stokes方程分析表面毛細波的傳播規律；對比實驗探究不同初始條件下，豎直液柱與水平液面相互作用激起毛細波的現象。結果表明,下落高度及水平液面性質有關；純凈深水液面與淺水液面的對比實驗表明，淺水液面上液柱底部更易激起穩定毛細波，相同條件淺水液面上激起的毛細波波數較大，波長較短；油膜液面上豎直液柱底部的毛細波被抑制，出現一段筆直液管，并在液柱中部激起穩定的毛細波形。

毛細波； 液體表面張力； 豎直液柱； 駐波； 水平液面

0 引 言

用手指截住自由下落的細水流，保持豎直液流處于穩定的層流狀態，當手指距離水龍頭口約幾cm處時，在液柱底部可觀察到穩定的波節和波腹現象，如同“駐波”形式(見圖1)。將手指不斷抬高，豎直液流受到的擾動增大，表面毛細波不再保持穩定形式，連續的液流將斷裂成大液滴。若截住下落液柱的手指上沾有油污或肥皂，液柱底部的毛細波將受到抑制，出現一段光滑的筆直液段，而在液柱中部激起穩定的毛細波形。

圖1 水龍頭下豎直液柱表面的波動現象

水平液面上液體表面流速v與表面毛細波波數k(=2π/λ)的關系[1]：

v2=Tk/ρ+g/k

(1)

式中：T為液體表面張力；ρ為液體密度；g為重力加速度。Lord[2]根據式(1)提出通過對液流速度和液體表面張力波波長的光學測量，計算流動的液體表面張力系數的方法[3-5]。隨后Yoshimasa等[1，6]先后觀察并初步討論了豎直液柱表面的毛細波傳播現象。Awati K[7]在理想流體的基礎上引入牛頓黏性力的作用，分析了黏性流體中液體表面毛細波的傳播。Setterwall[8-9]首先注意到了液體表面活性物質對表面毛細波的影響，Matthew等[10]建立數學模型驗證分析了豎直液柱底部的表面毛細波受到抑制，在液柱中部出現穩定毛細波形的現象。

本文針對下部水平液面的深度和表面性質對豎直液柱底部能否產生穩定的毛細波形，以及毛細波形的變化有著重要的影響，建立理想流體的基本物理模型，推導出影響豎直液柱表面出現穩定的“駐波”波形的條件。根據物理模型的分析，設計出穩定的實驗裝置和對比實驗方案，分別使自由下落的豎直液流沖擊到純凈的深水液面、淺水液膜表面以及薄層油膜液面上。通過控制初始條件的變化探究豎直液柱表面激起的表面毛細波波形對不同實驗條件的響應。

1 基本物理模型

豎直液柱在自由下落過程中，液柱中的液流速度受到重力作用加速；同時，只要液流保持穩定連續，根據連續方程可得液柱的截面半徑隨著下落高度也有緩慢減小。

柱坐標系下，垂直方向z以向下為正，設定常流量為Q，密度為ρ，黏性系數為ν，液體表面張力系數為σ，液柱中液流初始流速為U0，初始截面半徑為a。在大雷諾數Re=Q/(aν)條件下忽略黏性流體的作用，假設豎直液柱的流速只與下落高度z有關，流速表示為U(z)，截面半徑為r(z)。根據流體力學方程組推導豎直液柱在重力作用和液體表面張力作用下，液柱中液流速度和液柱截面半徑隨下落高度的變化[10-12]：

(2)

(3)

(4)

表示隨著下落高度z增大，液柱中的液流速度U(z)增大，液柱截面半徑r減小。

下面分析長直液柱表面受到小擾動激起毛細波的波動情況。設平衡半徑為R0，徑向小擾動為ε(ε?R0)。液柱截面半徑r=R0+ε·exp(ωt+ikz)，其中，k=2π/λ為毛細波數，ω=2πυ為圓頻率。根據豎直液柱的Navier-Stokes方程，結合邊界條件解得表面毛細波的傳播方程[11]：

(5)

式中：V為波動速度；In(x)表示第一類貝塞爾函數；

f(x)=(1-x-2)·I1(x)/I0(x)

是對有限截面半徑的豎直液柱的修正，f(1)=0，f(10)?0.94，f(50)?0.99[1]。因此當kR0有限但逐漸增大時，f(kR0)逐漸趨近于1，豎直液柱退化為水平液面，傳播方程形式與式(1)相同。

在自由下落的豎直液柱表面看到穩定的毛細波傳播，將式(4)與(5)比較，即令表面毛細波的傳播速度與液柱下落的流速相同，在實驗室參考系下將看到穩定的“駐波”形式。用液柱截面半徑r代替平衡半徑R0，在初始流速U0、下落總高度H和毛細波波數k之間，具有如下關系：

(6)

因此，可以設計定量實驗驗證液柱表面毛細波與初始條件的關系，進一步實驗探究與不同水平液面作用，液柱表面毛細波的變化。

2 實驗方案設計

設計實驗裝置如圖2所示，可用于定量調節初始條件，并準確測量毛細波形的變化：右邊的大量筒、流量計和潛水泵組成穩定的循環水系統；流量計和豎直千分尺可分別定量調節豎直液柱的初始流量Q=πa2U0和下落高度H；左邊的大、小水池構成連通器，保證實驗中水平液面的穩定；固定的CCD攝像頭連續記錄豎直液柱表面的毛細波形，再利用圖片處理軟件截取穩定毛細波段，并計算平均波數和平衡截面半徑之積。

圖2 實驗裝置示意圖

實驗對比豎直液柱與深水液面、淺水液面和油膜液面的相互作用：①豎直液柱自由下落到實驗水池中，視為與無限大深水液面的相互作用；②在實驗水池中加入固體介質，使其上表面恰好沒入水平液面形成淺水液膜；③在深水液面表面緩慢滴入清油，待其自然擴散成薄層油膜后，使豎直液柱自由下落到油膜液面上。

3 實驗結果

在相同初始條件下，豎直液柱與深水液面、淺水液面和油膜液面的相互作用，都激起了穩定的表面毛細波，但具體形式有微小變化。如圖3所示：(a)深水液面上，豎直液柱底部出現穩定的毛細波形；(b)淺水液面上，液柱底部激起的毛細波形與深水液面相比，波長變短，波數變大，且更易達到穩定狀態；(c)油膜液面上，液柱底部毛細波受到抑制，出現一段筆直的光滑液段，在液柱中部激起穩定的毛細波形。

(a)深水液面(b)淺水液面(c)油膜液面

圖3 豎直液柱與不同水平液面相互作用激起毛細波實驗圖

3.1 豎直液柱與深水液面相互作用

圖4表示在不同初始條件下，豎直液柱與深水液面相互作用液柱底部激起毛細波形的變化，圖中：Q表示初始流量，L/h；H表示液柱下落高度，mm。由圖4看出，初始流量Q保持一定時，隨下落高度H逐漸減小，豎直液柱表面毛細波波長增大，波數減小，而豎直液柱的平衡截面半徑隨下落高度的變化不大；由圖4(a)、(d)、(g)(或圖4(b)、(e)、(h)，圖4(c)、(f)、(i))看出，下落高度H保持一定時，隨Q增大，液柱表面毛細波波長減小，波數增大。

(a)Q=10，H=15．9(b)Q=10，H=12．1(c)Q=10，H=9．2(d)Q=14，H=11．6(e)Q=14，H=11．6(f)Q=14，H=8．6(g)Q=18，H=15．5(h)Q=18，H=11．5(i)Q=18，H=8．7

圖4 不同初始條件下豎直液柱與深水液面相互作用激起毛細波實驗圖

3.2 豎直液柱與淺水液面相互作用的對比實驗

相同初始條件下，對比實驗探究豎直液柱在深水和淺水液面上激起毛細波形的變化。改變實驗條件，驗證豎直液柱與純凈水平液面作用，表面毛細波的kr與初始條件間的線性變化關系。

圖5為豎直液柱與(a)深水、(b)淺水液面相互作用，表面毛細波的kr與下落液柱高度H的線性擬合曲線。表1為不同初始流量下kr—H線性擬合曲線的相關參數，不同流量分別對應圖5中的一條擬合曲線。在豎直液柱與純凈水平液面的相互作用中，kr—H擬合曲線的斜率始終為正，表示當初始流量一定時，表面毛細波的kr與下落高度H正相關；當初始流量逐漸增大時，kr—H擬合曲線的斜率逐漸增大。對比深水和淺水液面，初始流量相同時，淺水液面的kr—H曲線斜率比深水液面的大。

豎直液柱與純凈水平液面相互作用激起液體表面的擾動，其中一部分擾動能量將以毛細波形式沿豎直液柱表面傳播；另一部分能量將耗散在水平液面上。在淺水液面上，豎直液柱向下沖擊堅硬的固體表面，激起的擾動將沿豎直液柱向上反射，因此液柱表面的毛細波波長較短，波數較大，攜帶擾動能量較大。若液柱的下落速度過大，還將出現湍流現象，難以觀察到穩定的毛細波形。

(a) 深水液面

(b) 淺水液面

Q/(L·h-1)深水液面淺水液面截距斜率相關系數截距斜率相關系數60．13840．00910．97-0．05890．01070．9670．18930．00970．98-0．01310．01200．968-0．18660．01180．99-0．00570．01250．9290．23810．01030．980．07600．01280．9810-0．16920．01420．950．46870．01290．9711-0．09930．01460．990．44480．01440．9212-0．12010．01550．990．47970．01450．9813-0．42360．01760．990．18730．02130．9714-0．05060．01830．99150．32230．01750．97

3.3 豎直液柱與油膜液面相互作用

圖6為在深水液面表面加入一層薄油膜，豎直液柱與油膜液面作用激起的毛細波實驗圖。如圖所示，可將豎直液柱化分為調整段、駐波段和筆直液段。設水的液體表面張力系數為σ，油膜的液體表面張力系數為σ′(σ′<σ)。由于吉布斯-馬朗格尼效應[13-15]，使得液體從液體表面張力低的地方向液體表面張力高的地方流動，豎直液柱底部的毛細波形將被抑制，出現一段表面光滑的筆直液段，其高度h與液體表面張力系數的梯度Δσ=σ-σ′有關[5]：

(7)

豎直液柱中部重新激起穩定的“駐波”波形，可以看作初始流量Q和實際下落高度(H-h)條件下，豎直液柱與純凈水平液面作用激起的毛細波動。

圖6 豎直液柱與油膜液面相互作用的毛細波形實驗圖

圖7表示豎直液柱與油膜液面相互作用的實驗結果：(a)筆直液段。當初始流量一定時，液柱底部的筆直液段高度h隨下落高度H增大而減小；當下落高度一定時，底部筆直液段高度h隨初始流量Q增大而減小。(b)駐波段。當初始流量一定時，豎直液柱表面毛細波的kr與(H-h)成正比關系；當初始流量逐漸增大時，kr—(H-h)擬合曲線的斜率也逐漸增大。油膜液面上駐波段的性質與純凈水平液面相似。

4 結 語

本文在理想流體的理論模型下，討論了影響豎直液柱表面波動形式的因素，解釋了豎直液柱與水平液面相互作用，液柱表面及其毛細波的現象。設計了一整套穩定可控的實驗裝置。定性分析豎直液柱與純凈深水液面相互作用的實驗現象，并通過定量實驗驗證了表面毛細波的kr與初始流量Q和下落高度H之間存在線性關系。

通過對比實驗，分析討論了純凈水流分別沖擊到深水液面、淺水液面以及油膜液面上時激起的液柱表面毛細波波形的變化。發現在相同條件下，與純凈深水液面相比，淺水液面上豎直液柱底部激起的毛細波波長較短，kr—H擬合曲線的斜率較大。油膜液面上豎直液柱底部的毛細波被抑制，出現一段表面光滑的筆直液段，在液柱中部激起穩定的毛細波形，毛細波的kr與(H-h)具有線性相關關系。根據豎直液柱與不同水平液面相互作用激起毛細波形的微小變化，可以對水平液面性質的微小變化作精密的檢測。

(a) 筆直液段

(b) 駐波段

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Capillary Waves on Vertical Jets Impinging upon Different Types of Liquid Surfaces

GONGXin-ya1,2,ZHANGYu1,ZHANGYong-zhan1,SHENHong1,PANYong-hua1,GAOHuibin1
(1. Department of Physics, Nanjing University, Nanjing 210093, China;2. Institute of Atmospheric Physics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100029， China)

When small cylindrical fluid jets impinge upon liquid surfaces, a stationary field of capillary waves can be excited on the base of the vertical jets. Theoretical description of the phenomena is derived from transformation of Navier-Stokes equation. Comparative experiments showed that the form of wave pattern excited on vertical jet depends on the jet’s initial conditions and type of liquid surface. Further results are presented by theoretical and experimental investigation: 1) The form of wave pattern is influenced by several matters, the major ones are the initial flow velocity, jet’s downward distance and type of liquid surface. 2) Under the same initial conditions, the capillary wave pattern excited on a shallow water base is more stable than which excited upon a deep water base; and the capillary wavelength is shorter and wave number is smaller. 3) When fluid jets impinge upon a thin oil surface base, the field of stationary wave is suppressed on the bottom of the jets, and excited somewhere above.

capillary wave; liquid surface tension; vertical jet; stationary wave pattern; liquid surface

2014-04-04

南京大學教育部大學生創新訓練計劃項目(XZ1110284090)資助

鞏欣亞(1990-)，女，四川成都人，碩士，主要研究方向為大氣物理及流體力學。

Tel.:13021121846;E-mail: gongxinya13@mails.ucas.ac.cn

潘永華(1971-)，女，浙江義烏人，高級工程師，現主要從事大學物理實驗和演示實驗教學研究。

Tel.: 025-89680302；E-mail：pan_yong_hua@sina.com

O 353.3

A

1006-7167(2015)02-0029-05