數學教學中如何引導學生建立模型思想
——對“植樹問題”一課教學的深層思辨

浙江長興縣第二實驗小學（313100） 吳慧婷

數學教學中如何引導學生建立模型思想
——對“植樹問題”一課教學的深層思辨

浙江長興縣第二實驗小學（313100） 吳慧婷

模型思想是《數學課程標準》（2011版）新增的核心概念之一。模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型應先從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，再用數學符號表示數學問題中的數量關系和變化規律，最后求出結果并討論結果的意義。數學教學中，可通過“基于經驗，生成模型；把準目標，關注模型；突出本質，聚焦模型；優化材料，支撐模型；借助直觀，提煉模型”的步驟，提高學生運用模型思想的能力。

數學教學 模型思想 數學建模 植樹問題

課堂重現：

學校開展教研活動，一名有10年教齡的數學教師執教五年級上冊“數學廣角”中“植樹問題”一課，教學過程如下。

板塊一：創設情境，發現問題

1．出示題目。

師：城市綠化小隊要在一段長24米的公路的一邊等距離進行綠化植樹，請你幫助設計一份植樹方案，要求植樹美觀合理。

2．分析題意。

（1）你得到了哪些信息？“等距離”是什么意思？要設計這樣一份植樹方案，還有什么問題？

（2）你覺得間距可以是多少米？你是怎么想的？

3．學生第一次獨立學習。

師：選間距6米來設計植樹方案。

板塊二：合作探究，得出規律

1．研究種4棵樹。

師：你是怎么種樹的？先圈一圈，再說說24、6、4分別表示什么。

2．研究種5棵樹：為什么要加1？

3．研究種3棵樹：為什么要減1？

4．比較觀察。

（1）這三種設計方案，有什么相同點？

（2）既然間隔數一樣，為什么最后用到的棵數不一樣呢？

5．學生第二次獨立學習。

師：先選間距8米來設計植樹方案，再根據圖，直接列算式說明需要多少棵樹苗。

6．小結。

師：這樣種樹簡單嗎？為什么？

7．用字母表示。

師：如果路的長度由24米變成n米，間距還是6米，這三種情況分別需要多少棵樹苗？（生思考）

板塊三：聯系生活，運用規律

1．你們能舉一些生活中類似的例子嗎？

2．用這類知識來解決一些實際問題。

（1）5路公共汽車行駛路線全長為12千米，相鄰兩站之間的距離是1千米，一共有幾個站點？

（2）同學們排練團體操，10名女同學等距離排成一隊，每兩位女同學之間相距8分米，第一位女同學和最后一位女同學之間相距多少？

……

問題探討：

聽了“植樹問題”一課，筆者最大的感受是教師關注“雙基”目標的落實，但由于教師將教學重點放在得出公式上，導致在引導學生建立“植樹問題”的模型上沒有到位。

從學生層面來看，學生在被動學習。學生根據教師給的學習任務，先在24米的路上按6米一棵的間距種樹，再反饋三種種樹情況，然后以8米為間距種樹，最后通過觀察、分析得出三個公式：間隔數＝棵數，間隔數＋1＝棵數，間隔數－1＝棵數。在解決實際問題“第一位女同學和最后一位女同學之間相距多少”時，學生用10×8來解決。從這可以看出，學生頭腦中沒有建立“植樹問題”的模型，不會用模型思想解決實際問題。

從教師層面來看，有兩個方面的問題：一是學生通過畫圖、列式、比較等活動得出規律，教師誤認為這是學生主動探究出來的。其實不然，一直是教師“叫”學生做，而學生則順著教師的思路按規定程序做。其二，學生得出三個公式，教師誤認為學生建立了模型，其實是忽視了引導學生理解和溝通這三個公式，導致學生沒有真正建立植樹問題的模型。

“植樹問題”是“數學廣角”的內容之一，教學重點是引導學生經歷探索和建立模型的過程。因此，本節課教學應重在引導學生建立“植樹問題”的數學模型，并能運用數學的思維方式進行思考，提高學生分析和解決該類問題的能力。

改進思考：

模型思想的建立離不開數學建模活動，《數學課程標準》從義務教育數學課程的實際情況出發，將數學建模活動過程簡化為三個環節：一從現實生活或具體情境中抽象出數學問題；二用數學符號表示數學問題中的數量關系和變化規律；三通過模型去求出結果并討論結果的意義。那么，在“植樹問題”一課教學中，如何引導學生建立數學模型呢？筆者對此作了一些思考。

1．基于經驗，生成模型

《數學課程標準》強調：“數學教學應尊重學生已有的知識與經驗。”筆者對四年級一個班級的學生進行訪談：“你知道‘植樹問題’嗎？怎么知道的？”全班48人，有39人知道“植樹問題”，而學生知道的方式有從書上看到的、課外奧數班學的、科學課上說過的、植樹節時問家長的等。筆者接著問道：“學了一節課，怎么還不會呢？”全班48人，5人認為已經會了，43人不會的原因如下。

生1：“植樹問題”的類型有很多，就算學會了幾種方法，也只是皮毛而已。

生2：有時候分不清楚是加、不加還是減。

生3：老師說的沒聽懂。

生4：不知道“路程除以間隔數”是什么。

生5：答案都不統一，有些是三個答案，所以就弄不清楚是哪個答案了。

生6：學習“植樹問題”后還沒好好練習。

……

通過訪談知道，我們的課上與不上都一樣，因為這樣的教學沒有建立在學生已有的知識和經驗基礎之上，師生糾結于間隔數與棵樹的關系。浙江省特級教師葉柱點評時指出：“教師應關注學生已有的知識和經驗，讓學生經歷模糊感覺、充分感知、逐漸感悟的過程。”

本節課中，學生已有的經驗比較豐富，教師教學時應引導學生從“植樹問題”走向用除法解決問題的理解上。學生在板塊一、板塊二的教學中充分感知到位，如對信息的分析、對間隔的理解、數與形的結合等，但教師在學生感悟的環節中提供的空間不夠。因此，教學此課時，教師不妨分步引導學生將植樹的三種情況進行比較，找到共性，從而自然地將“植樹問題”歸結于用除法解決的問題，然后利用幾何直觀引導學生進行梳理，使學生將所學知識前后融會貫通。模型思想的建立離不開數學建模活動，從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，發現和提出問題是數學建模的起點。

2．把準目標，關注模型

教學目標既是上好一堂課的前提，又是教學活動的靈魂，并制約著教學活動的全過程。本節課教師預設的目標如下：（1）利用生活情境，引導學生通過探究發現間隔數與棵數之間的關系，并能運用規律解決生活中簡單的“植樹問題”；（2）滲透數形結合的思想方法，提高學生解決實際問題的能力；（3）使學生感受數學在日常生活中的廣泛應用，培養學生的應用意識。其中，教學目標（1）是引導學生探究發現間隔數與棵數之間的關系，這里教師就事論事，沒有將“植樹問題”與除法知識之間建立聯系；教學目標（2）滲透數形結合的思想方法，教師認識膚淺，因為模型思想才是本節課要滲透的重要數學思想方法。另外，教學目標（1）中讓學生能運用規律解決生活中簡單的“植樹問題”，可學生在解決問題時出現了較大的錯誤率，說明模型建構有問題，導致模型價值無法得到體現。

湖州市小學數學教研員楊海榮老師在評課時談到教學目標的定位，指出單元目標、課時目標要準確，環節目標要具體，具有可操作性，同時要舍去一些目標，步步落實小目標，對過程不斷進行思辨。

本節課的教學目標應圍繞“植樹問題”模型的建立，引導學生將現實問題轉化為數學問題，再經歷猜想、試驗、歸納、推理的過程，采用數形結合、一一對應等方法理解模型的本質，最后用模型解決現實生活中的同類問題。

3．突出本質，聚焦模型

從平時的聽課中看“植樹問題”，課堂上雖一帆風順，可課后學生的作業錯誤百出，導致學生、教師、家長都討厭看到“植樹問題”的有關練習。關于“植樹問題”，筆者對本校15位數學教師和5位實習教師做了訪談，有18位教師認為將“植樹問題”的三種類型放在一起進行教學，不僅名詞多、難理解，造成學生學習困難，而且他們認為間隔數與棵樹的關系應是教學的重點，學生的學習困難也是不熟悉這三種類型。有2位骨干教師認為：“教師應讓學生靈活應用‘植樹問題’，結合情景對商靈活處理。”“如何抓住‘植樹問題’的本質？如何與之前所學的除法知識相聯系、溝通，真正理解總長度÷間距＝間隔數，理解幾里面有幾個幾？這里的教學難點是建模的過程。”……

從訪談中可以看出，教師的本體性知識缺失，對知識的理解不深刻。一是對建模的理解錯誤，誤認為得出“植樹問題”的三種類型的規律就是建模。二是缺乏分析。學生、家長、教師都感覺“植樹問題”有難度，卻沒有分析“覺得難的原因是什么”“與‘植樹問題’類同的‘路燈問題’、‘排隊問題’等現象的共性是什么”等問題。本課中，突出“植樹問題”模型的本質，可以采用從算式——圖式——模式的策略。如在學生列式計算24÷6、24÷6＋1、24÷6－1后，教師應引導學生解釋每個算式的意義，再與所畫的圖對照理解算式的意義，在此基礎上得出“植樹問題”模型的本質。三種“植樹問題”的類型其實是根據實際情況對結果的不同處理而已，因此教師教學時應突出除法是“植樹問題”的本質。

4．優化材料，支撐模型

教學時，教師總想讓學生學得很順暢，于是用心埋下伏筆。如本節課開始后，教師問“還有什么問題”，學生問“兩棵樹之間的距離是多少米”，教師很有心地指著圖問：“你指的是這一段嗎？這個隔在兩棵樹之間的這一段，我們把它叫做間隔。你能說說什么是間隔嗎？哪里有間隔？上面這幅圖中還有間隔嗎？”這里，學生需要知道什么是間隔嗎？此時出現間隔有必要嗎？教師的教學要為學生的學習服務，將學生的思維引向教師預設的軌道，學生會失去主動思維的機會，干擾了后續知識的學習。

又如，課堂教學中，基于學生的經驗，交流反饋時教師應從哪里入手進行講解呢？筆者通過對學生的畫圖情況統計后發現，12位學生中有9位認為兩端都種，只有3位學生認為只種一端。課堂上教師先選擇只種一端的情況進行講解，大多數學生沒有經歷畫圖的過程，學習處于被動狀態。因此，交流反饋時，教師應從學生的實際情況出發，引導學生將兩端都種、只種一端、兩端都不種這三種類型進行比較，使學生更深刻地理解這三種類型的異同。

再如，教學中的觀察比較環節，教師通過問題“這樣種樹簡不簡單啊？為什么呢”，引導學生得出：間隔數＝棵數，間隔數＋1＝棵數，間隔數－1＝棵數。此環節教師只引導學生得出這三個公式，卻沒有讓學生深究模型的本質。因此，課堂教學中，在學生列出24÷6、24÷6＋1、24÷6－1的算式后，教師應引導學生尋找其中不變的東西，再追問“這三種情況為什么答案不一樣”，從而使學生不斷經歷觀察、分析、抽象、概括、選擇、判斷等過程，建立豐富的表征，完成模式抽象，逐步建立“植樹問題”的模型。

5．借助直觀，提煉模型

借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡單、形象，有助于探索解決問題的思路和預測結果，可以直觀地理解數學。模型思想與幾何直觀密切相關，利用幾何中的圖形，結合具體的實際問題，可以從模型的角度闡釋特定的意義。在本節課教學中，畫圖的作用尤為突出，如學生自己畫圖解決問題、利用圖交流各種方法、借助圖發現規律等，真正發揮圖的直觀性作用。在對教師的訪談中發現，20位教師都認為畫圖可心幫助學生理解抽象的規律，便于學生建立模型。同時，在對48位學生進行訪談中發現，很多學生認為畫圖方便、清晰、不易錯，平時學習也常通過畫圖解決問題。形象的線段圖可以幫助學生理解、思考，激活學生的思維，形成正確的表象，利于模型的建立。

總之，模型思想是一種基本的數學思想，教師應在小學階段教學中予以落實，重在引導學生經歷、感悟。學生經歷數學建模的過程，不僅能獲得知識，提高技能，更有經驗的積累和思想、方法的滲透。因此，課堂教學中，教師應引導學生掌握建模的方法，使他們逐步形成運用模型進行數學思維的習慣。

（責編 藍 天）

G623.5

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1007-9068（2015）26-021