《正余弦定理的應用（一）——距離測量問題》教學設計

董 強

甘肅省西和縣第一中學，甘肅 西和742100

教學目標：

知識目標：能夠運用正弦定理和余弦定理等解三角形知識，解決不可到達點的距離測量問題.

能力目標：能夠將實際問題，尤其是距離測量問題轉化成解三角形的問題進行解決。

情感目標：（1）通過本節課所學知識解決一些生活中的實際問題，讓學生體會數學的實用性；

（2）通過小組討論活動，培養學生的團隊協作意識。

學情分析：

正余弦定理是高中數學中很重要的內容之一，在學生已經具備一些數學基本功的基礎上，以正余弦定理本身為出發點，以其在實際生活中的應用為主線系統學習和掌握正余弦定理在諸如距離測量等的實際問題中的應用。數學建模的過程是一個長期學習的過程，學生對數學必修內容的學習即將結束的時候，數學建模意識已經建立起來并達到成熟，教科書在必修5 安排正余弦定理的應用是恰到好處，對教師的教和學都是有積極意義的。

教學重點：分析測量問題的實際背景，從而找到測量距離的方法。

教學難點：從實際問題中抽象出正確的數學模型，同時做到操作的可行性。

教學方法：小組討論法、引導探究法、講練結合法

教學過程：

一、復習回顧

（一）正弦定理

注：正弦定理可以解決以下的解三角形問題：

（1）已知三角形的任意兩邊和其中一邊的對角；

（2）已知三角形的任意兩角和一邊。

（二）余弦定理

a2=b2+c2-2bc cosA

b2=a2+c2-2ac cosB

c2=a2+b2-2ab cosC

注：余弦定理可以解決以下的解三角形問題：

（1）已知三角形的三邊；

（2）已知三角形的任意兩邊和一角。

（三）回顧小測

（1）在△ABC 中，若sin2A=sin2B+sin2C，則△ABC的形狀是______三角形。

（2）在△ABC 中，已知a=2，則bcosC+ccosB 等于______。

二、講授新課

一些實際問題：

1.如何測量地球和月亮之間的距離；

2.怎樣在航行途中測出海上兩個島嶼之間的距離；

3.怎樣測量不可到達的兩點之間的距離。

這將是我們今天要解決的問題。

例1：設A、B 兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離。測量者在A 的同測，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC 的距離是55m，∠BAC=51°，∠ACB=75°，求A、B 兩點間的距離（精確到0.1m）。

春天，一顆顆種子隨手扔下，生根、發芽、長葉，精心料理，澆水施肥，理所當然會生長出各式各樣的蔬菜。英老是這樣想：子宮和菜地都是屬于女人的，一個為男人傳宗接代，一個需要女人辛辛苦苦耕耘一輩子。年復一年，菜地照常綠意蔥蔥，生機勃勃，而子宮就不一樣了，和身體其他器官一樣，它一天天走向衰老。更可怕的是，一頭兇猛的野獸魯莽地鉆入了英衰老而脆弱的子宮，肆無忌憚地吞噬著她。

分析：已知兩角一邊，可以用正弦定理解三角形.解：根據正弦定理，得

答：A、B 兩點間的距離為65.7m。

點評：

1.是根據測量的需要適當確定的線段，稱其為基線。

2.這是測量不能直接度量的兩點的一種方案，可引申如下：

測量兩點都不能到達的兩點間距離，如下例.

例2：A、B 兩點都在河的對岸（不可到達），設計一種測量兩點間的距離的方法。

解：測量者可以在河岸邊選定兩點C、D，測得CD=a，并且在C、D 兩點分別測得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA=δ.△ADC 在△BDC 中，應用正弦定理得：

計算出AC 和BC 后，再在△ABC 中，應用余弦定理計算出AB 兩點間的距離

請同學們想一想，還有沒有別的測量方法？

三、隨堂練習

練習1、為了測量河寬，在岸的一邊選定兩點A、B，望對岸的標記物C，測得∠CAB=45°，∠CBA=75°，AB=120 米，則河寬為________米.

練習2、（2009 年寧夏高考）

為了測量兩山頂M、N 間的距離，飛機沿水平方向在A、 B 兩點進行測量，A、B、M、N 在同一個鉛垂平面內（如示意圖），飛機能夠測量的數據有俯角和A、B 間的距離，請設計一個方案，包括：①指出需要測量的數據（用字母表示，并在圖中標出）；②用文字和公式寫出計算M、N 間的距離的步驟.

四、小結

解應用題的基本思路：

五、作業

P19習題1.2A 組1、2。

六、教后反思

本節課是繼正弦定理和余弦定理之后的應用型的章節，是基于正余弦定理基礎之上的知識應用層次，正余弦定理的應用是高中重要且實用的章節，是知識層次的最高要求.能將實際問題轉化為解三角形的問題，通過解三角形來求解實際問題是本節課的重點，也是知識能力的最高要求，通過學情分析，結合教材難易程度設計了本課，通過教學過程可以發現，學生對知識的應用已經上了一個臺階，需要在練習的過程中再加要求.基于以上分析，以后備課授課的過程中教師應該注意以下幾點：

首先，將課前測試科學合理地重視起來，做到新課前的小測鞏固.這比單獨的知識點的復習回顧效果明顯，而且學生也有挑戰感，讓他們覺得自己是“跳起來吃到了桃子”，學生有成就感，教師也覺得開場有了激情，有了新課開演的前奏。

其次，例題的教學分層次展開是本節課的一大亮點，這樣做，既降低了例題本身的難度，使得學生一節課后有一種自我整理為精華的感覺，更重要的是讓學生在探究的過程中學會了化歸思想，學會了如何將同類問題劃歸為基本問題。

再次，課前準備這一環節也是必不可少的，比如本節課中要用到的距離測量的鋼卷尺或者皮尺，角度測量的測角儀等，有的學生平時很少接觸，可能不是很熟悉，這樣的圖片給學生做一課前演示準備是很有必要的，這樣做，無疑會讓學生對新解決的問題產生“熟悉感”，會對新課的講授起到一定的輔助作用。

最后，練習的設計符合遞進式原則，從易到難，也符合學生的認知規律，學生從做練習的過程中既能體會到成就感，也能感受到挑戰性.在練習中加入一定難度的高考題鏈接，是遵循了新課改的基本理念的，以能力為基本要求，以知識點為基本依托，做到知識和考題的前呼后應。

[1]張奠宙，宋乃慶.數學教育概論[M].北京：高等教育出版社，2004.10.

[2]傅佳.實施數學課堂教學有效性之我見[J].教育觀察，2012，（6）：71-72.

[3]張春莉，王小明.數學學習與教學設計[M].上海：上海教育出版社，2004.

[4]課程教材研究所.數學必修5[M].北京：人民教育出版社，2012（5）.

[5]任志鴻.志鴻優化十年高考分類解析與應試策略（數學）[M].海南：南方出版社，2013（1）.