平面向量在高中數學中的應用

王原光

摘要：平面向量作為數學工具，是代數和幾何的紐帶，是中學數學知識網絡中的一個交匯點，成為聯系多項內容的媒介。向量和圖象、函數、三角、數列、不等式、平面幾何等基礎知識結合，應用數形結合和化歸與轉化等思想方法，將幾何知識和代數知識有機地結合在一起，能為多角度地展開解題思路提供廣闊的空間。本文從六個方面說明了平面向量在高中數學中的應用。

關鍵詞：平面向量;數學思想方法;應用

近年來，我國把坐標和向量、概率分布、導數等陸續納入三年制高中教學大綱，無疑是國家數學課程改革的一個正確方向，也向教育先進國家靠攏邁出了堅實的一步。

坐標與向量，作為現行中學數學教材各成員中的“寵兒”，與其它數學知識有密切的聯系，應用起來非常方便，很討人喜歡。以下根據本人的教學實踐以及組織數學課外興趣小組活動的經歷，與各位同仁談談平面向量如何體現它的工具與紐帶的作用。

一、向量在圖形上的應用

向量源于圖形，它和幾何的關系本是“魚水”關系。許多幾何問題，都可借向量簡單解決。

例1、已知平面上的一個三角形ABC，在已知平面上有一點P，設AP的中點是Q，BQ的中點是R，CR的中點是S.證明只有唯一的一點P使得S=P，另外，設這點為P0時，求△ABC和△P0BC的面積比。

解析：取A為始點，設AB=a，AC=b，AP=p，則AQ=12p，AR=12（AQ+AB）=14（p+2a），AS=12 （AR+AC）=18（ p+2a+4b），根據題意，18 （p+2a+4b） =p。因此，p=27（a+2b），由于a和b是確定的向量，所以p是唯一的一個向量。

再設D是將BC內分為2﹕1的點，那么，AP0=27（a+2b ）=67a+2b2=67AD，P0是將AD內分為6﹕1的點，設S△P0DC=k，則S△P0BD=2k， S△AP0C=6k， S△ABP0=12k.

因此，S△ABC： S△P0BC=21k：3 k=7：1. 這里，向量加法和定量比分點起了關鍵的定位作用，具有其它方法所沒有的優越性。

用向量法解幾何題，通常分三步進行：

首先，將幾何問題的條件和結論轉化為向量問題，用向量語言表示;然后，設置基本向量，將問題中的相關向量用“基本向量”表示出來;最后，通過“基本向量”進行推理、運算，得出求解結論。其中“基本向量”選取是否恰當，直接影響問題解決的難易程度，這是解題過程中一個關鍵要素。

至于向量在空間圖形上的應用的好處，教材和各種資料已有較多的論述，各類問題都有專門的討論。比如證明共線（面）問題、平行問題、垂直問題、角和距離的求解，以及存在性等問題幾乎都可以用向量來解決，這里就不再舉例了。

二、向量在函數中的運用

利用向量模的不等式︱︱-︱︱≤︱±︱≤︱︱+︱︱（適當注意各種取等號的條件），可以求解一類函數的最值問題。

例2、求函數y=x2-2x+5+x2+1的最小值以及y取得最小值時x的值。

解析：y=（1-x）2+22+x2+12設向量=（1-x，2）， =（x，1）。

則y=︱︱+︱︱≥︱+︱=（1-x+x）2+（2+1）2=10

上式等號成立時，當且僅當與同向共線。

即（1-x）·1-x·2=0 ， x=13時。

本例關鍵是構造向量，。但有許多學生在操作時，令=（x-1，2）， =（x，1） ， y=︱︱+︱︱≥︱-︱=2

注意：這里取等號的條件是，反向共線，由（x-1）·1-x·2=0得x=-1.這是一個矛盾的結果。所以應把調整為=（x-1，-2）.

三、向量在證明不等式中的應用

設非零向量，的夾角為θ，則︱·︱=︱︱·︱︱·︱Cosθ︱。故·≤︱·︱≤︱︱·︱︱。該不等式結果簡單，但應用廣泛，現舉例如下。

例3、已知a>0，b>0，0

解析：因為00，b>0得a+b≤a2x+b21-x·1即a2x+b21-x≥（a+b）2。（容易求得取等號的條件是x=aa+b∈（0，1））

該題證法極多，但構造向量來證明不失為一種好方法。

傳統的不等式的證明要用到分析、綜合的各種“技巧”，而向量法卻回避了這些高“技巧”，較為簡單地解決了這些令人頭痛的問題。

四、向量在三角中的應用

當把向量坐標形式表示，且引進三角函數于坐標中時，向量與三角就交溶為一體了。近年來各省份的高考、模擬考題，經常出現這類問題，應引起足夠重視。

例4、在△OAB中，O為坐標原點，A（1 ， Cosθ），B（Sinθ， 1）θ∈（0 ，π2 〕。求△OAB的面積的最大值。

解析：設∠AOB=α，OA=（1 ， Cosθ），OB=（Sinθ ， 1）則

S△OAB=12︱OA︱·︱OB︱Sinα

=12︱OA︱·︱OB︱1-Cos2α

=12|OA|2·|OB|2-（OA·OB）2

=12（1+Cos2θ）（Sin2θ+1）-（Sinθ+Cosθ）2

=12︱SinθCosθ-1︱=12（1-12Sin2θ）

∵θ∈（0 ， π2]，∴2θ∈（0 ， π]0≤Sin2θ≤1

當Sin2θ=0，即θ= π2 時，△OAB的面積達到最大值12。

以上用到了向量的數量積定義，坐標表示下的模公式，內積公式以及三角恒等變形，體現了綜合利用三角知識和向量知識解題的能力。這種方法也比傳統的解三角形方法更簡易。

五、向量在數列中的應用

在向量坐標化的情況下，如果考慮的是向量序列，那么向量的問題實際便成了數列的問題。

例5、已知一列非零向量an滿足a1=（x1 ，y1）， an=（xn ，yn）= 12（ xn-1- yn-1 ， xn-1+ yn-1）（n≥2）.

（1）證明：﹛︱an︱﹜是等比數列;

（2）求向量an-1與an的夾角（n≥2） ;

解：（1）由︱an+1︱=12（xn-yn）2+（xn+yn）2

=122（x2n+y2n） =22︱an︱，即知

（2）∵an-1·an=（xn-1，yn-1）·12（xn-1-yn-1，xn-1+yn-1）

= 12（ x2n-1+y2n-1） = 12︱an-1︱2

∴Cos= an-1·anan-1an=12an-1222an-12=22，

又∈[0，π] 知=π4

這類問題的關鍵是利用向量的概念或運算轉化為數列問題，再用數列的有關知識解之。

六、向量在解析幾何中的應用

解析幾何的許多問題，常常用向量語言來敘述。因此，首先要正確運用向量概念把原文“翻譯”過來;以便看出所論問題的實質。

例6、已知在平面直角坐標系xoy中，向量=（0，1），△OFP的面積為23，且OF·FP=t， OM=33OP+

（1）設4

（2）設以原點O為中心，對稱軸在坐標軸上，以F為右焦點的橢圓經過M，且︱OF︱=c，t=（3-1）c2當︱OP︱取最小值時，求橢圓的方程。

解析：（1）由23=12︱OF︱·︱FP︱Sinθ得︱OF︱·︱FP︱=43Sinθ

由Cosθ=OF·FPOF·FP=tSinθ43得tanθ=43t

∵4

∵θ∈[0 ， π]∴夾角θ的取值范圍是（π4，π3）

（2）設P（x0，y0），不妨令y0>0， 則FP=（x0-c，y0），OF=（c，0），∴OF·FP=c（x0-c）=t=（3-1）c2，∴x0=3c.又 S△OFP = 12︱OF︱·y0=23，∴y0= 43c，∴︱OP︱= x20+y20=（3c）2+（43c）2≥2·3c·43c=26。

當且僅當3c=43c ，即 c=2時，︱OP︱取最小值26

此時，OP=（23，23），OM=33（23，23）+（0，1）=（2，3）

橢圓長軸2a=（2+2）2+（3+0）2+（2-2）2+（3-0）2=8

∴a=4，b2=12，故所求橢圓方程為x216+y212=1。

事實上，向量與解析幾何的結合也是高考命題的趨勢，也應引起重視，從上例可以看出，除了要讀懂“向量語言”外，就是一個運用向量和解析幾何知識綜合解決問題的過程。

最后，要強調的是，向量具有工具性作用，用它可證明許多重要公式。如利用向量的內積，可證明公式Cos（α-β）=CosαCosβ+SinαSinβ

在單位圓周上取兩點A，B使半徑OA，OB的角分別為α，β，

則OA=（ Cosα， Sinα）， OB=（ Cosβ， Sinβ）

有OA·OB=︱OA︱︱OB︱Cos（α-β）=Cos（α-β）

且OA·OB=（Cosα，Sinα）·（Cosβ， Sinβ）= CosαCosβ+ SinαSinβ

∴Cos（α-β）=CosαCosβ+ SinαSinβ

同樣，可利用單位向量和數量積證明解三角形必須的三大定理——射影定理、正弦定理和余弦定理。

綜上所述，向量象一貼強有力的粘合劑，把各部分知識連成一個有機的整體。由于這一點，我們在教學中至少要做以下工作：（1）讓學生掌握向量的基本概念和基本運算，在此基礎上學會運用向量語言;（2）了解向量知識與其它數學知識的交匯作用，應用向量知識盡量簡便地分析和解決問題;（3）經常去對照有關問題的向量解法和傳統解法，把“向量思想”、“向量法”納入基本數學思想或數學方法，并在教學實踐中逐步歸納、總結、完善向量思想，學會舉一反三。這無論對他們應考和將來的深造，都是有益的。

（作者單位：長汀一中）

參考文獻：

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[2][日]矢野健太郎著《數學解題技巧》（第二卷上冊）黑龍江人民出版社。1983，10

[3]《新概念教材·奧賽全解》（高一數學）南方出版社2005，5

[4]《2005全國各省市高考模擬試題匯編·數學》西藏人民出版社2005， 7