取值于局部凸空間向量測度的變差、半邊差與有界性

烏仁其其格，楊梅榮（赤峰學院　數學與統計學院，內蒙古　赤峰　024000）

取值于局部凸空間向量測度的變差、半邊差與有界性

烏仁其其格，楊梅榮
（赤峰學院數學與統計學院，內蒙古赤峰024000）

摘要：提出取值于局部凸空間向量測度的p-變差與p-半邊差的概念，通過給出有關p-變差與p-半邊差的幾個結論，給出了取值于局部凸空間有界向量測度族一致有界的充分條件.

關鍵詞：局部凸空間；向量測度；p-變差；p-半邊差；Nikodym有界性定理

1　預備知識

2有關p-變差與p-半邊差的幾個結論

容易驗證，取值于局部凸分離空間的向量測度F的每個變差和半變差具有下列性質：

（1）變差|?|p和半變差||?||p具有單調性；

（2）變差和半變差具有非負性；

（3）變差|?|p具有有限可加性，半變差||?||p具有半可加性；

（4）對任意的E∈F有||F||p（E)≤|F|p（E).

其中（4）的證明如下

||F||p（E)=sup{|x*F|（E):x*∈B（X*（p))}

例1.1取值于局部凸分離空間向量測度的例.

F（E)=（μn（E))，?E∈F

顯然F是取值于ω上的向量測度.

一般的，設{μτ:τ∈T}是有限可加數值測度族.KT表示所有函數f:T→K構成的線性空間，賦予點點收斂拓撲是完備的局部凸分離空間，定義F:F→KT如下

F（E)（τ)=μτ（E)，?E∈F，τ∈T

F是取值于KT上的向量測度.

引理1.2對任意的x*∈X*（p)和x∈X，有|x*（x)|≤||x*||pp （x).

證明

引理1.3設（X，P)是局部凸分離空間，則對任意的p∈P和x∈X，有

定理1.4設（X，σP)是局部凸分離空間，F:F→X是向量測度，p∈P，E∈F則

（2）sup{p[F（H)]:H?E，H∈F}≤||F||p（E)≤4sup{p[F（H)]:H?E，H∈F}

證明（1）設p∈P，E∈F

對每個A∈Π令

這樣|εA|≤1，且

因為x*∈B（X*（p)根據引理1.2有

又根據引理1.3對E的任意F分劃和滿足條件|εA|≤1的有限族{εA，A∈Π}，有

所以

||F||p（H)≤||F||p（E)

故

sup{p[F（H)]:H?E，H∈F}≤||F||p（E).

對任意的x*∈B（X*（p)，設Π是E的關于F的任意分劃，當X是實的局部凸分離空間時，記

這里Π+是使x*F（A)＞0的集合A構成的有限族，Π-是使x*F（A)≤0的集合A構成的有限族

當X是復的局部凸分離空間時

x*F（A)=x1*F（A)-ix2*F（A)

其中x1*F（A)表示x*F（A)的實部，x2*F（A)表示x*F

（

A)的虛部，我們有||x1*||p≤||x*||p≤1，||x2*||p≤||x*||p≤1，所以

≤4sup{p[F（H)]:H?E，H∈F}

這樣

||F||p（E)≤4sup{p[F（H)]:H?E，H∈F}

從而

sup{p[F（H)]:H?E，H∈F}≤||F||p（E)

≤4sup{p[F（H)]:H?E，H∈F}

參考文獻：

〔1〕武立中，孫立民.局部凸空間上矢值測度某些有界變差的等價性.哈爾濱工業大學自然科學學報，1995(4).

〔2〕孫立民.取值于局部凸空間矢值測度的幾個性質.哈爾濱師范大學自然科學學報，1996(4).

〔3〕J.DiestlandJ.Uhl，VectorMeasures，Math.Surveys，Vol.15，Am. Math.Soc.Providence，1997.

〔4〕Wilansky.A，Morden Methods in Topological Vector Spaces，New York：Mc GranHill，1978.

〔5〕Halmos p.R.Measure theorey，New York：Springerverlag，1974.

〔6〕林敏.對局部凸空間凸性和光滑性的探討[D].內蒙古大學，2002.

〔7〕Taylor，A.E. Introduction to Functional Analysis，～NewYork.John Wiley &sons 1958.

〔8〕Wilansky.A，Mordern Methods in Topological Vector Spaces，New York：Mc GranHill，1978.

〔9〕Christopher E.Stuart，Paul Abraham Generalizations of the Nikodym boundedness and Vitali-Hahn-Saks Theorems J.Math.Appl.300(2004)351-361.

〔10〕D.R.LEWIS，Integration with respect to Vector Measures Pacific Journal of Mathematics，Vol.33，No. 1，1970.

中圖分類號：O177.99

文獻標識碼：A

文章編號：1673-260X（2015）09-0005-02