時變加權LQT設計方法理論推導及應用

李建平, 陶呈綱, 李導

(1.成都飛機設計研究所 飛控部, 四川 成都 610091;2.西北工業大學 航空學院, 陜西 西安 710072)

時變加權LQT設計方法理論推導及應用

李建平1, 陶呈綱1, 李導2

(1.成都飛機設計研究所 飛控部, 四川 成都 610091;2.西北工業大學 航空學院, 陜西 西安 710072)

利用矩陣運算公式和極值原理,對時變加權性能指標下的線性二次型跟蹤器(LQT)迭代方程進行了理論推導。以F-16飛機為例,利用飛行控制經驗構建俯仰速率控制系統線性框圖。在MATLAB/Simulink環境下,針對兩種時變加權性能指標和一種定常加權性能指標,利用多變量優化算法完成了一個狀態點的控制律參數設計,并進行了時域和頻域對比分析,初步驗證了時變加權LQT設計方法的工程可行性和有效性。

線性二次型跟蹤器; 線性二次型調節器; 時變加權性能指標; 控制律; 多變量優化算法

0 引言

過去四十多年,現代多變量控制律綜合與分析技術獲得極大發展。然而,由于傳統的現代控制理論設計方法需要選擇較多的設計參數,且這些參數往往不具備直觀的物理含義,使得工程設計人員至今仍是很勉強地接受和應用這種新技術。

時變加權LQT設計方法繼承了傳統控制方法較為直觀的優點,在依據工程經驗所選控制系統結構的基礎上,能更快地同時求解所有反饋增益,避免了傳統方法逐個回路試湊設計的繁瑣過程,還兼顧了工程設計人員的實踐經驗。相比于常見的二次型,該方法采用的時變加權性能指標具有更加通用的形式,簡化了狀態加權陣和控制加權陣的選取,只需試湊選取少量設計參數。這些優點使其有望成為方便快捷、工程實用的多變量飛行控制律設計方法。文獻[1]給出了時變加權性能指標LQT輸出反饋設計方程,但未給出推導過程,也未在其他文獻中發現其推導過程[2-9]。

本文利用矩陣運算求導公式和極值原理,對此設計方程進行了理論推導,并以F-16飛機為被控對象,進行了俯仰速率控制系統的參數設計,并對設計結果進行了時域和頻域對比分析,初步驗證了該方法應用于工程設計的有效性和可行性。

1 時變加權LQT方法

1.1 階躍指令跟蹤器問題

圖1描述了一個具有期望補償器結構的控制系統。具體到飛行控制系統中,“被控對象”對應飛機本體、作動器等;“性能輸出”為期望控制的飛機響應,如俯仰速率;“補償器”對應設計人員依據工程經驗構造的控制結構,包含濾波和積分環節等。

圖1 具有期望補償器的控制系統Fig.1 Control system with desired compensator

將補償器與被控對象的狀態變量合并為x,則該控制系統可定義為:

(1)

其中:

u=-[KL]×[yv]T

再考慮輸入與輸出反饋成比例u=-Ky,則整個閉環系統的狀態方程可表示為:

=(A-BKC)x+(G-BKF)r

(2)

在此基礎上,考慮階躍輸入響應的跟隨問題,可以推導并轉化為如下偏差系統的調節器問題[1]:

(3)

(4)

而跟蹤誤差的穩態值為:

(5)

1.2 性能指標及設計方程推導

定義一個包含時間加權分量的性能指標:

(6)

(7)

假設存在Pk,使得

則有:

(8)

其中:

式中:Ωk為k維積分區域;dτk=dτk-1dτk-2…dτ0。

(9)

(10)

(11)

(12)

同理,迭代可得:

(13)

因此,存在一組{P0,P1,P2,…,Pk}滿足:

(14)

至此,時變加權性能指標的優化問題(8)被轉化為以一組李雅普諾夫方程(14)為等式約束條件的、不含時變加權項的常規優化問題:

(15)

為推導更快速的基于梯度的優化算法,定義下列哈密頓函數:

(16)

式中：Si為拉格朗日因子、半正定對角矩陣。

(2H)對Pi求偏導,得另一組李雅普諾夫方程:

(17)

(2H)對K求偏導:

(18)

則式(18)中右側的三項可分別展開為:

其中:

式中:[1ij]表示該矩陣的第(i,j)個元素為1,其余元素為0;Kij為矩陣K的第(i,j)個元素。

綜上所述,使H對K的偏導為零的條件為:

(19)

式(14)、式(16)、式(17)和式(19)構成時變加權性能指標下的線性二次型輸出反饋設計優化迭代方程。

2 俯仰速率控制律設計與分析

2.1 俯仰速率控制系統

以F-16飛機為例,利用時變加權LQT輸出反饋設計方法進行縱向俯仰速率控制律線性設計。選取設計狀態點參數為:高度為海平面;Ma=0.45,對應表速VC=550 km/h。依據工程經驗構造出俯仰速率控制系統框圖如圖2所示。

圖2 F-16飛機俯仰速率控制系統Fig.2 Pitch rate control system of F-16

2.2 飛機和控制系統動態模型

飛機采用二階線性模型,升降舵作動器模型采用二階模型。包含飛機、作動器、濾波器和積分器的增廣狀態變量x和輸出變量y為:

(20)

系統動態模型利用狀態方程矩陣來描述,參數見表1和隨后的矩陣。

表1 系統參數取值Table 1 Parameters of control system

A=[A1Α2]

B=[000wact20000]T

G=[00000100]T

F=[0001]T

H=[0000000cr2d]T

A1=

作動器和濾波器參數根據工程經驗選取。控制輸入u為升降舵指令:

(21)

2.3 性能指標和控制增益的確定

考慮三種性能指標,分別對應性能指標(6)中的k=2,1,0。前兩種為時變加權指標,設計時選擇P=HTH,Q=0,R=ρI，則只需要調節一個設計參數ρ,即

(22)

而第三種為定常加權指標,設計時需要調節兩個設計參數ρ和Q。

根據經驗,K的初值取[-0.1,-0.1,0.5,0.1],能夠使閉環系統穩定。對于k=2,1,分別選取不同ρ值,利用MATLAB平臺下的無約束多變量尋優算法求解設計方程得到最優增益。然后進行閉環系統線性階躍響應、開環系統頻率響應及穩定裕度分析,并進行等效系統擬配獲得短周期頻率、CAP、阻尼比等飛行品質指標,從中選取滿意的設計結果。對于k=0,積分器輸出加權系數固定為Q=100I。對于k=1,2利用同樣方法獲得滿意的設計結果。表2 給出了三種指標對應的設計結果,三種情況的迭代優化過程都在數秒內收斂。由表2可以看出,k=2的迭代次數最少,最終的性能指標也最小,k=1次之,k=0最差。

表2 優化設計結果Table 2 Optimized design results

2.4 數字仿真與分析

飛機模型使用四階線性模型,狀態變量x和輸出變量y分別為:

(23)

飛機狀態方程和輸出方程如下:

(24)

其中:

B=[0.173 7-0.002 15-0.175 550]T

D=[0000-0.048 52]T

其他模型與設計模型相同。

圖3給出了閉環系統單位階躍響應。無論是快速性、控制誤差,還是阻尼特性,k=2對應的時變加權結果最好;k=1稍差,但與k=2無本質差別;k=0最差。

圖4為開環系統尼克爾斯圖,斷開點位于升降舵指令處。可以看出，三個系統的穩定裕度都滿足規范要求。但k=0的尼克爾斯圖進入2.3 dB圓,系統的動態特性較差。

圖3 閉環系統單位階躍響應Fig.3 Unit step response of closed-loop control system

圖4 開環系統尼克爾斯圖Fig.4 Open-loop Nichols diagram

通過等效系統頻域擬配方法,獲得三個系統對應的飛機縱向短周期頻率ωsp、操縱期望參數Ke和阻尼比ζsp。飛行品質指標見表3。可以看出,計算結果均滿足一級品質要求,k=2,1的結果位于最優區。

表3 飛行品質指標計算結果Table 3 Results of flight quality indexes

3 結束語

本文利用矩陣運算公式和極值原理對時變加權性能指標下的LQT設計方程進行了理論推導,并以F-16飛機為例進行了俯仰速率控制系統單個狀態點的參數設計,初步驗證了該方法的工程可行性和有效性。

本文僅就縱向單操縱面飛機的控制律進行了應用研究,下一步希望推廣應用于多操縱面高度靜不安定飛機的飛行控制律設計。

[1] Stervens B L,Lewis F L.Aircraft control and simulation[M].USA:John Wiley & Sons Inc,1992:360-435.

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[9] 趙彥娟.線性系統二次型性能指標的模糊最優控制[D].南京:南京理工大學,2009.

(編輯：李怡)

Derivation and application of LQT design method with time-dependent-weighting performance index

LI Jian-ping1, TAO Cheng-gang1, LI Dao2

(1.Department of Flight Control, CADI, Chengdu 610091, China;2.School of Aeronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

Using the matrix and extreme principles, the iteration equation focusing on Linear-Quadratic-Tracker (LQT) design method with time-dependent-weighting performance index was inferred. Pitch rate control system of F-16 was designed based on the flight control experience. Using the MATLAB/Simulink tool and multivariable optimization algorithm, LQT controllers were designed at a single state point with two different time-weighting performance indexes and a constant weighting performance index, the time domains and frequency domains responses were analyzed. The results verified that the feasibility and efficacy of time-weighting LQT method when applying to engineering design.

linear-quadratic-tracker; linear-quadratic-regulator; time-dependent-weighting performance index; control law; multivariable optimization algorithm

2014-04-17;

2014-09-17;

時間:2014-11-18 16:56

成都飛機設計研究所創新基金資助(GCDSC170)

李建平(1963-)，男，河南偃師人，研究員，碩士，主要從事飛行品質和飛行控制研究。

V249.1

A

1002-0853(2015)01-0092-05