數學公式的教學應關注公式的來龍去脈（三）

筆者在文[1]和文[2]中提出“數學公式的教學應關注公式的來龍去脈”這一觀點.具體而言，文[1]以“扇形面積公式”的教學為例，指出在公式教學中，推導公式、明確公式的意義以及公式的應用上要下功夫;文[2]以“等差數列前n項和”的教學為例，提出公式的推導要順、公式的幾何意義要明確、公式的應用要關注數學思想.本文就“公式的推導要順”（或者更廣泛地講，是“數學教學要講順”）做進一步的敘述.

鄭毓信教授多次提到要把數學課“講活”“講懂”和“講深”.所謂“講活”，是指教師應通過自己的教學活動向學生展現“活生生的”數學研究工作，而不是死的數學知識;所謂“講懂”，則是教師應當幫助學生真正理解有關的教學內容，而不是囫圇吞棗，死記硬背;所謂“講深”，是指教師在數學教學中不僅應使學生掌握具體的數學知識，而且也能很好地領會與把握內在的思想方法[3].

在筆者看來，數學教學要講活、講懂和講深，前提是講順.講順了，各個知識點才可以活起來，展現出知識的發生發展過程;講順了，學生才聽的懂，記的住，而且理解了;講順了，可以掌握其思想方法，并順著知識點將其拓展、延伸和深入.那么，什么是講順？講順的數學課應該是有邏輯（講因果、有條理、成系統），連貫的（知識點與知識點之間連貫而不跳躍），也就是講清楚來龍去脈.

下文，我們以對數運算性質為例，進行分析說明.

人民教育出版社《數學（必修1）》是這樣處理的：首先利用指數與對數的關系以及指數的運算性質，得到logaMN=logaM+logaN，書中寫出了完整的推導（證明）過程.然后，要求學生仿照這一過程，得出logaMN=logaM-logaN和logaMn=nlogaM（n∈R）.

對于教科書的這一處理，我們作如下簡單的分析和評價.

順序：教科書主要呈現了三個作為知識結果的公式.三個公式按照加、減、乘、除、乘方的順序，依次呈現.

聯系：三者是并列關系，而不是“衍生”關系.公式之間是孤立的，而不是一個“渾然一體”的整體.公式之間的聯系在于它們的推導方法.即利用第一個公式的推導方法，簡單遷移，得到另兩個公式.

優點：簡潔明了，且第三個公式有很大的包容性，不需要將n為單位分數和-1時的情況分別羅列，學生的記憶負擔不重.

不足：

（1）書本上的“仿照”要求，限制了學生的思維.事實上還有其他推導方法，不應“關門”而應幫助學生打開思路.

（2）按書本的要求去做，另外兩個公式的推導，只是機械的模仿、低水平的重復.學生的思維沒有任何提高.

（3）學生容易獲得三個公式，但是否明白：公式間的深層聯系在哪里？是不是一個整體？如果學生對這些問題有清晰的理解，那么，通過這節課的學習，他們不僅有知識容量的增加，還有思維水平的提高.

（4）這樣的設計，以及依此而行的教學，是重“證明”還是重視公式的“應用”？答案是很顯然的，“重用輕理”的教學使公式本身所蘊含的思維價值被大大抹殺.

針對以上的問題，該如何來處理和改進呢？

在數學教學中，應呈現知識發生發展的順序，自然而然，有邏輯、連貫地展開.教科書這樣設計，制約了我們的教學;我們要做的是，從“教教科書”到“用教科書教”，經歷“教學重建”.“教學重建”的突破點在哪里？突破點就在公式之間的深層聯系！——這是本課教學設計的線索.

基于上述認識，我們對此進行如下的教學設計.

先按教科書上的方法得到第一個公式，然后根據幾個公式之間的聯系依次推出.

①logaMN=logaM+logaN

→②logaMn=logaMM…M=logaM+logaM+…+logaM=nlogaM

→③當n=-1時，loga1M=logaM-1=-logaM

→由①和③得，④logaMN=logaM·1N=logaM+loga1N=logaM-logaN

→當②中的n取1n時，⑤loganM=logaM1n=1nlogaM.

圖1

可由圖1來表示這些公式間的關系：

這樣的處理就非常地“順”.更進一步，我們可以做如下分析：

（1）由“打包”到“串線”，并形成知識網絡.

原有的教科書，僅僅是簡單地羅列幾個公式;或者說，僅是將幾個公式打包后呈現給學生，幾個公式之間是孤立的.而我們的設計，則通過“線索”——公式之間的深層聯系，將它們緊密地串在了一起，而學生對它們的理解和記憶是深刻的，形成了良好的知識結構（認知結構），這也會影響到其后對這些公式的提取和應用.

鄭毓信教授認為，對于所謂的“數學基礎知識”我們就不能理解成各個孤立的知識點，恰恰相反，以下即應被看成相關的數學與學習活動的關鍵所在：“不應求全，而應求聯”;類似地，為了幫助學生很好地掌握“數學基本技能”，我們也“不應求全，而應求變”，從而就能在各種變化了的情況下很好地加以辨識和應用[4].

這里的五個公式，是數學基礎知識，是個聯系的整體，而不是一個個孤立的、割裂開的個體.公式的證明方法，是數學基本技能，不應單純模仿，而應靈活地運用.借助已知的方法和結論，去簡便地獲得新的結果.有效地掌握了公式及其證明，由于有了“聯”與“變”的基礎，其后靈活的應用也會順理成章地展開.（對于此，我們也可以類似地提出，對于數學知識應用的教學，“不應求全，而應求通”.）

（2）從“教教科書”到“用教科書教”，教師進行教學深加工.

教師要正確處理好教科書和教學的關系，做到“用教科書教，而不是教教科書”.或者說，教師不是教科書的執行者，而是教學方案（課程）的開發者.教師教教科書，不需要太多的創造，只要按照教科書和教學參考書的方法和步驟，按序進行，就可以順利地完成教學任務.但是，教師的工作絕對不是機械的，不是單純模仿和重復他人的工作，教師應利用自己的知識和經驗，去創造具有個性色彩，更合適、更有效的教學.

教科書提供的是“藍本”，而不是“劇本”;教科書不是權威，它只是教師在教學過程中被加工和重新創造的對象，是教師在教學活動中需要加以利用的課程資源.教師要根據教學內容和學生的情況對教科書進行選擇、組織和排序等方式的“再度開發”，對課程內容進行“校本化”、“生本化”的處理，并適當引入一些與生活聯系緊密的實例，使課堂內容更貼近學生的生活和經驗，特別要精心設計“知識與能力”的教學過程和方法，保證課堂教學中能“突出重點、突破難點”，并從人力、物力、時間、方法與過程上保證重點內容的教學與難點的突破.

在教學中，教師應關注那些對學生終身發展起著“基礎”和“核心”作用的知識技能，創造性地使用教科書是教學內容與教學方式綜合優化的過程，是課程標準、教科書內容與學生生活實際相聯系的結晶，是教師智慧與學生創造力的有效融合.張奠宙教授認為：一個數學教師的職責，是把數學的學術形態轉化為學生容易接受的教育形態.那么，究意該如何創造性地使用教科書呢？可以從學的層面對教科書進行“學習化”的加工，對教科書從內容、結構、順序、呈現方式、教學方法等多個角度做出理性重構，力圖使學生手中的數學教科書成為一本能有效激發學生數學學習潛能、引導學生自主探索的“學習資源”.

筆者在文[5]、文[6]中提出數學教學“要在教材的深加工上下工夫”.具體而言，數學是中學課程中最富有系統性和內部聯系的學科，教學設計應讓學生充分感受數學內部的聯系以及運動與變化.考慮到教材的編寫是線性的、封閉的體系，而真正的教學是生動的、靈活的，這就需要教師根據學生的認知水平，深入挖掘數學內部的聯系，對教材進行處理，設計出一個既以教材內容為基礎的，又不同于教材編排順序的教學過程，使之成為非線性的、開放的教學.

（3）優化學生的CPFS結構，促進知識的深入理解.

對于上文（1）中提及的知識網絡，我們還可以進一步從CPFS結構理論進行分析.

喻平教授將概念域、概念系、命題域、命題系形成的結構稱作CPFS結構.CPFS是一種優良的數學認知結構，有助于學生數學理解水平的提升和遠遷移的產生[7].吳慶麟認為數學理解的本質是學習者在頭腦中建立了關于這個知識的圖式，即形成了該知識的內部網絡[8].學生理解水平的高低是由該內部網絡中知識點之間聯系的數目和強度來確定的.優良的CPFS結構可以促進學生對數學的理解，事實上，學生頭腦中的CPFS結構不斷優化、完善的過程就是學生的數學理解水平層次不斷提升的過程.因而，在數學教學時，教師可通過優化學生的CPFS結構來促進學生對數學知識的深入理解.

學生所學習的數學知識與經驗在頭腦中的穩固程度直接影響到遷移的發生.學生必須對所學知識做到深入的理解與內化，才有可能在遇到新的問題情境時快速準確地辨認出“相同要素”和“共同原理”.換言之，學生若擁有完善的CPFS結構，更容易實現應用過去的知識經驗來解決當前問題的遷移[9].因此，教師在教學實踐中應有意識地去完善學生的CPFS結構：一方面需要豐富學生頭腦中儲存的陳述性知識與程序性知識，另一方面需要明晰這些知識點之間的聯系以及在長時記憶中的定位，完善知識網絡.

本文中的五個公式，通過相互之間的關系推導出來，明晰了各個公式之間的聯系，這些公式構成了如圖1的命題網絡，該命題網絡均與對數的運算有關，學生如果能對該命題網絡進行內化，完善關于對數運算的命題系，那么以后在解決與對數運算有關的命題時就能迅速激活長時記憶中的相關知識點，有效調用適當的模式來解決問題.

參考文獻

[1] 朱哲.數學公式的教學應關注公式的來龍去脈[J].中學數學雜志，2011，（6）：35-37.

[2] 朱哲.數學公式的教學應關注公式的來龍去脈（二）[J].中學數學雜志，2012，（3）：12-14.

[3] 鄭毓信.數學哲學與數學教育哲學[M].南京：江蘇教育出版社，2007：280.

[4] 鄭毓信，謝明初.“雙基”與“雙基教學”：認知的觀點[J].中學數學教學參考，2004，（6）：1-5.

[5] 劉智強，朱哲.圓錐曲線概念教學重新設計[J].數學教學，2003，（10）：5-7.

[6] 朱哲.教師成長：以教學案例為載體的行動研究[J].數學教學，2005，（4）：5-8.

[7] 喻平.數學學習心理的GPFS結構理論[M].南寧：廣西教育出版社，2008.

[8] 吳慶麟.認知教學心理學[M].上海：上海科學技術出版社，2000.

[9] 喻平.數學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2010.