把握數學學科本質 實現高效課堂教學

劉琳娜

（北京教育學院 初等教育系，北京 100120）

1 問題提出

《義務教育數學課程標準（2011版）》指出，通過義務教育階段的數學學習，學生能夠“獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”，其中，“基礎知識”和“基本技能”是大家熟悉而又常抓不懈的，但是“基本思想”和“基本活動經驗”的提出使得老師們的課堂似乎失去了方向，在“活動”中學生的種種表現經常讓老師們“讀不懂”，學生為什么會這么想？學生想的為什么跟老師想的不一樣？老師該怎樣有效地引導學生的思維？可以說，從“雙基”到“四基”的變化，使得數學課堂“有效教學”或“高效教學”的問題更加值得思考.

2 兩個案例

下面的兩個案例分別來自五年級和一年級，是研究者在小學數學課堂上親自看到的.

案例1：數字編碼（五年級）

“數字編碼”這節課是義務教育課程標準實驗教科書人教版小學數學五年級上冊的一節實踐活動課.這節課是通過學生從身邊觀察、了解，查找資料得到的信息，初步了解數字在日常生活中的實際應用，進一步探索數字和編碼應用的簡單方法，運用所學數學知識解決簡單實際問題，培養學生的實際能力.數字編碼之所以被廣泛應用，是因為其重要特性之一就是“簡潔性”，但是在“數字編碼”一課上，研究者多次發現孩子認為加上符號、加上漢字、多加一個數字會使編碼的意義表達得更加清晰，教師也常常被孩子的“振振有詞”搞的很困惑，孩子們怎么就轉不過這個彎兒呢？

課上，教師讓學生嘗試著給自己編編號，使得這個編號能夠在本年級范圍內代表自己，有學生編出“五（1）32”，有學生編出“1519”，有學生編出“159”，教師依次呈現了學生的編碼，當呈現到“159”時，有學生提出異議，別人有可能認為是15班9號，也有可能認為是1班59號，容易混，于是教師引導學生討論：那怎么辦？有學生說，加上一個“.”，變成“15.9”就好了.教師繼續追問，“這個點兒加的好不好？”大部分學生認為還不錯，加的挺好，能使人們的理解更加清楚.正當此時，一個女生站起來說“我覺得把點換成0更好！”女生的這個建議也得到了大家的肯定，學生紛紛認為加“0”比加“.”要好.教師也松了口氣，肯定了這個女生的看法：能用數字解決的，加了符號進去，就變復雜了.

但這時一個男生又站起來說到：“我還是覺得加上漢字比較好，在別人不知情的情況下就不知道這些數字是什么意思.”教師又說，那就復雜了，又有學生說，那還可以用字母表示，也可以在數字上面標出這些數字都是什么意思，老師解釋說能夠用數字解決的問題，加上字母或者漢字就復雜了……教師繼續引導學生討論如果把范圍擴大到全校范圍，又該如何編碼呢？教學進入下一個環節.

當討論到由于學生升級會帶來學號的變化，怎么辦時，有學生提出加入入學年份，教師讓學生再次修改自己的編碼，有學生寫出了“200851528”，有學生寫出了“20081511”，教師引導學生討論代表5年級的“5”是不是要寫上時，問到“5寫上好不好”？不少學生都說，寫上挺好的，能夠清楚地讓大家看出是幾年級.教師繼續引導說，已經有入學年份了，知道是幾年級了，不用寫了，寫上就復雜了.

案例2：認識人民幣（一年級）

在最開始觀察、介紹人民幣時，很多學生把自己的認識積極的和大家交流，有一個學生經過觀察和思考，高高地舉起了手，站起來提出了自己的想法：“我發現錢只有1角（元）、2角（元）、5角（元）、10元、20元、50元的，沒有30元、40元的.”教師直接回答他“這是你的發現，就這些人民幣誰還能介紹它們嗎？”孩子沒有從教師這里得到任何評價和回饋，默默的坐下看著屏幕，靜靜的聽著其他同學介紹各種面值的人民幣.本以為他的想法到這就停止了，可是后來在認識人民幣單位，觀察元的家族時，教師故意漏掉了10元面額的人民幣，問學生：“元這個家族中你覺得少誰了？”那個學生再次提出：“元的家族里還缺30元、40元.”教師說道：“你們見過30元、40元的錢嗎？生活中沒有30元、40元的錢.”學生們紛紛表示贊同，確實自己沒有見過30元和40元.那個孩子吐了吐舌頭，看到同學們都應和著，自己也知道沒有30和40元的，好像感覺到自己說錯話了有些不好意思，對自己與眾不同的發現終于放棄了.課后在跟該教師交流時，教師說：“我當時沒有經過思考，心想生活中當然沒有30和40元，于是就沒有給這個愛思考的孩子相應的回答，過后我把兩次孩子的發言聯系到一起思考，難道是孩子真的不知道我們生活中沒有30元、40元的人民幣嗎？他的話只是突發奇想說的沒有價值嗎？從孩子的幾次表達中不難看出這個孩子是非常注意觀察的，他發現了人民幣中有1、2、5，卻沒有3和4，但為什么是這樣的，我也不知道……”

3 對案例的分析與討論

在上面的兩個案例中，可以發現，教師在課堂上似乎“讀不懂”學生的語言，當學生三番五次表達出自己的觀點時，教師表現得不知所措，只能用自己的方式回復學生，把學生的思維拉向自己“預期”的方向，這樣一來，課堂顯得“高效”了，然而這一“高效”的背后，犧牲的是學生的探究精神、好奇心和求知欲.細細分析，教師之所以“讀不懂”學生，其根源還在于對數學學科本質的把握不夠.

在案例1中，“簡簡單單的0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個數字能表達出豐富的信息，為了使這種表達合理有效，數字排列就要有一定的規則.”[1]這些規則是根據需要制定的，如果不知道規則，則無法解讀這些簡單的數字背后的意義，正如大家所知道的，“破解密碼”是一項高技術、高難度的工作，在各種諜戰片中，多少人為了破解某個密碼而絞盡腦汁，因此，編碼的簡潔性是體現在其表現形式上而不是意義理解上，如果僅僅追求理解上的簡潔，不正如課堂上孩子們所言，加上漢字理解起來多簡便！不然加上個符號或者字母也可以啊，這也正是讓孩子經歷“編碼過程”所要達到的目的之一——理解編碼背后的規則，因此，孩子心目中的“簡潔”是不同于教師所說的“簡潔”的，孩子的理解也是非常正常和樸實的，放在不同的情境之中，數字便產生了不同的意義，解讀每個數字背后的意義也正是數字編碼、是10個阿拉伯數字的魅力之所在.要使編碼合理，就要保證這個規則能使每一個人擁有一個與眾不同的編碼；編碼規則要盡可能簡捷；在一定時間內編碼要保持不變.正因如此，造就了數字編碼應用上的廣泛性.

美國麻省理工學院教授尼葛洛龐帝曾經說過：“數字化的社會將變革我們的學習方式、工作方式、娛樂方式——一句話，我們的生活方式.”之所以追求編碼方式的簡潔性，就是因為這種簡潔使得人們的生活變得更加簡捷，這也導致了編碼在生活中被普遍運用，如身份證號、車牌號、電話號碼、郵政編碼、各種密碼的設置，甚至火車票、機票、排隊等座位的號碼、考試時所用的答題卡等，數字編碼幾乎無所不在，數字編碼表達方式的簡潔、蘊含意義的豐富、制定規則的統一、對應上的唯一，都使得生活變得簡便，比如全中國13億人，用一個18位的身份證號碼就能夠一一鎖定；用6位數字的郵政編碼，就能夠準確地將郵件投遞到全國各地，這是因為很多掃描識別的儀器都能夠識別0～9這10個數字，如果要把這些復雜的意思用漢字表達，或者再加上諸如點兒、各種其它符號，就給儀器識別造成了相當的困難，相應地，工作效率則要低很多，很難想象，在今天這個社會，如果沒有數字編碼，人們的生活將會變得怎樣？

課堂上學生之所以總是在追求用加上點兒、加上漢字、加上字母、多加一個“5”等方式來使得編碼的意義表達的更加清晰，在很大程度上是受到了教師“加上好不好”？的引導，在學生心目中，表達清晰、不產生歧義是最重要的，加上一個什么能夠使得表達更清晰，當然是一件好事兒，然而追求表達方式上的“簡潔”則需要追問“在不影響意義的前提下，去掉這個行不行？”如果去掉也可以不影響編碼的規則，也可以表達出同樣的意義，也可以實現彼此間的交流，為了“簡潔”，當然就可以去掉.因此，“加上好不好”與“去掉行不行”其實表達的意義是不一樣的，傳遞給學生的信息也是不同的.既然數字編碼追求的是“簡潔”，當然就應該在制定規則時追問“去掉這個行不行？”

在案例2中，“為什么沒有3元、4元、30元、40元呢？”這一問題，應該引發人們的思考：沒有這幾種面額的人民幣是否會影響人們的生活呢？有了這幾種面額的人民幣是讓人們的生活變得簡單還是麻煩了呢？其實在制作人民幣的過程中就利用1、2、5這幾個“重要數”來進行交流，為了可以方便流通，省去不必要的麻煩，通過重要數，可以組成其它“非重要數”，就可以省去3、4、6、7、8、9這些數的面值.孩子的這一發現很有想法，這里只是這么一層窗戶紙，輕輕一點便可以捅破.如果當時教師能夠先肯定這個愛思考的孩子把這個發現告訴給大家，之后可以讓學生思考：你們覺得沒有30元和40元行不行？課下想一想有沒有辦法用其它面額幫忙？學生經過思考、討論不難發現，通過現有的面值進行拼湊，就可以滿足不同面值的需求，這樣不僅不耽誤下一步內容的學習，還使學生的好奇心得到滿足.

從上述案例的描述和分析中，可以看出，課改十多年來，“尊重學生”的理念深入人心，也得到了廣大一線教師的認可，學生在課堂上是“敢說敢表達”的，但是還存在著諸多的“不盡如人意”，學生往往是“經歷”了，卻沒有獲得應有的“經驗”，我們有理由相信，這種“不盡如人意”并非教師的本意，教師把握數學學科本質的欠缺是制約教師專業發展的瓶頸所在，也是阻礙課堂走向真正“高效”的絆腳石.

4 結 論

1987年，舒爾曼將教師知識基礎劃分為7類：內容知識、一般教學法知識、課程知識、內容教學法知識、關于學生及其特性的知識、教育情境知識、教育目標與價值的知識[2].后來舒爾曼及其他一些研究者把目光聚焦在了PCK（即內容教學法知識）上，但PCK的提出并沒有弱化學科知識，學科本體性內容知識是作為PCK知識的基礎出現的.上述兩個案例，盡管教學內容不同，但卻體現了共通之處：教師之所以“讀不懂”學生，是因為對所教內容數學本質的把握還有所欠缺.研究者在與一線教師研討的過程中也發現，一線教師最欠缺的正是對數學學科本質的把握.“教師的學科性知識的質量是導致課堂中出現教與學‘擦肩而過’現象的更為根本的原因.”[3]因此，高效課堂不僅要關注“怎么教”，更要關注“教什么”.提升一線教師對數學學科本質的把握是提高數學課堂有效性的重要途徑，那么數學學科的本質到底是什么？正如劉加霞教授所指出的，“數學學科本質既包括對數學基本概念的理解，包括對數學思想方法的把握，也包括對數學特有思維方式的感悟、對數學美的鑒賞，更有對數學精神的不斷追求.”[4]有了對數學學科本質的深刻理解，才有課堂上教師對學生學習過程的關注，才能實現課堂上的真正“高效”.

[1]張丹.從“知識”到“見識”——有感于“數字的用處”一課[J].小學教學（數學版），2008，（1）：13.

[2]Shulman.Knowledge and Teaching: Foundations of the New Reform [J].Harvard Educational, 1987, 57(1): 45.

[3]頓繼安.數學課堂中教與學“擦肩而過”的現象研究——兼談PCK的利與弊[J].數學教育學報，2013，22（2）：83.

[4]劉加霞.把握數學本質是一切教學法的根[J].小學教學（數學版），2007，（8）：49.