微觀探析數學本質的三重境界

【摘要】一線數學教師往往因為自身學術修養的不足和視野的局限性，致使數學本質形式化、片面化乃至虛幻化缺失等現象的發生。要從微觀上正確理解數學本質的內涵，需要我們樹立整體的、聯系的、發展的觀念，準確把握并合理地處理教材內容，努力探尋數學知識背后的本質屬性、數學規律和數學思想方法。

【關鍵詞】數學本質;缺失現象;微觀;數學規律;數學思想方法

【中圖分類號】G622.3 【文獻標識碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）25-0023-03

【作者簡介】彭永新，江蘇省蘇州工業園區星海小學（江蘇蘇州，215021），高級教師。

一、數學課堂數學本質缺失的現象透視

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“新課標”）開篇即指出：數學是研究數量關系和空間形式的科學。數學知識作為客觀事物在數與形方面的特征與聯系在人腦中的能動反映，反映的是一類對象在數與形方面的內在的、固有的屬性，不僅表現為數學概念、法則、公式等抽象的言語信息，還表現為數學思想方法等策略性知識。在實際教學中，一些教師往往只專注于浮于表面的教學內容，而看不清楚教學內容背后的數學本質，從而不能準確地把握數學本質，甚至輕視數學知識的教學。下面選取幾個教學案例進行簡單的分析：

1.數學本質“形式化”。

【案例1】某教師教學蘇教版四上《線段、射線、直線之間的關系》，先出示一條線段，然后一邊擦端點一邊告訴學生：“擦掉線段的一個端點，就變成了射線;再擦掉射線的一個端點，就變成了直線。”

我們知道，線段是直線的一部分，它有兩個端點，可以度量，而直線和射線都是無限長的，射線只有一個端點，而直線沒有端點。因此，“擦掉線段的一個端點”，而不作延長的標示，它依然是一條線段，因為“擦掉”一個端點，必然會產生新的端點。同理，只“擦掉射線的一個端點”，它依然是一條射線。這位教師告訴學生“擦掉線段的一個端點，就變成了射線;再擦掉射線的一個端點，就變成了直線”，顯然是淺顯地理解了“習慣上教材有意識地把射線的一個端點或線段的兩個端點放大，使在線上隱形的、抽象的點顯性化、形象化”的真實用意。如此看來，“擦掉一個端點”，迎合的只是一種數學概念外在的“形似”，而忽略了直線和射線的本質特點——“無限長”。這樣的教學有可能會使學生產生錯誤的理解——“直線就是線段去掉兩個點，射線就是線段去掉一個點”，從而誤解直線、線段、射線的本質屬性。

2.數學本質“片面化”。

【案例2】教學蘇教版三上《倍的認識》，一位教師出示下圖，●表示紅花，讓學生猜一猜：藍花可能有幾朵？紅花的朵數是藍花的幾倍？

有的學生說有2朵，有的說可能有3朵、4朵，也有的說可能有5朵或者8朵……

接著，教師請學生用○表示藍花，在練習紙上先畫一畫、圈一圈，看看紅花的朵數是藍花的幾倍。數分鐘后，教師展示藍花分別有2朵、3朵、4朵和6朵這四種情況，并讓學生說出紅花的朵數分別是藍花的幾倍。

教師再問：藍花可以是5朵或者8朵嗎？

學生齊答：不可以。

為什么不可以呢？執教者的解釋是二年級學生對“倍”的認識僅限于整數范圍。其實，倍的本質是“比”。兩個量之間不僅僅是整數倍的關系，也可以是比率關系，關鍵是確定比的標準。將被比量看作一個單位，通過比較量有幾個或幾分之幾個這樣的單位來確定兩者之間的倍比關系。比如：藍花有5朵，就把5朵看作一份，紅花有12朵，可以圈出2個5朵，還多2朵，我們就可以說紅花的朵數比藍花的2倍還多2朵。如果藍花是8朵，也可以把4朵看作一份，藍花有2份，紅花有這樣的3份，紅花的朵數是藍花的二分之三。由此看來，學生出現的5朵、8朵的猜想，不僅不能被排除在對倍的認識的討論之外，相反，它們是教學走向深刻的一個契機。

3.數學本質“虛幻化”。

【案例3】一位教師執教蘇教版五下《圓的周長》一課，課前先引導學生觀看微課：通過電腦演示圓的周長分別與它的外接正方形的周長和內接正六邊形的周長相比較，得出圓的周長比它的直徑的三倍多一些，又比它的直徑的四倍小一些。

接著，教師讓學生分組用滾圓法或繞圓法開展測量活動，并計算出圓的周長與它的直徑的比值（要求保留兩位小數），巧合的是，學生測量的結果大多接近3.14。然后，教師讓學生交流前面微課學習的體會，引出古今中外關于圓周率的研究歷史，如“周三徑一”、祖沖之的歷史貢獻等。

本節課意圖通過微課的形式充分展示圓周率的歷史文化，而對操作測量活動的安排一帶而過。筆者認為，如果沒有測量法的實踐感受，學生很難會產生深刻的“文化”體驗。這里不僅需要讓學生做真實的測量活動，而且應該讓學生從取一位小數到兩位小數再到三位小數甚至四位小數的近似值結果，使他們感受到用測量法求圓周率的誤差難以把握，在此基礎上，再借機探求古代數學家們計算圓周率的方法，這不僅僅是一種科學精神的教育，更重要的是一種數學思想的滲透過程。

二、數學課堂數學本質缺失的對策探析

從上述三個案例的分析來看，一些教師在教學時之所以會出現數學本質的偏差，一個重要的原因就是：他們不能從微觀出發來認識、把握和處理數學概念的數學本質。所謂微觀，即從小的方面、局部去研究，這種研究方法，叫作微觀方法。在微觀上，數學本質是指具體數學內容的本真意義。對此，章建躍、張翼等人提出：數學本質不僅體現在數學知識、數學思想、數學文化、數學精神上，還體現在數學的抽象、嚴密、簡潔等特點上。這對我們的教學實踐具有一定的指導意義。下面筆者談幾點個人體會：

1.由表及里，用整體的觀點分析數學知識背后的本質屬性。

當代教學論從三個層面對教材進行了廣義的界定：首先，教材是兒童應當掌握的知識體系，包括事實、概念、法則、原理等;第二，教材是知識背后的能力體系，通過各種作業和活動促進兒童能力的發展;第三，教材還包括能力體系背后的價值觀、世界觀和倫理道德規范。這三個層面是統一而不可分割的。從這個意義上講，我們在教學前必須認真研讀教材，深入理解教學內容的前后聯系，把握住教學動態發展的主脈絡，居高臨下看教材，這樣才能擺脫只依據例題、習題或照搬教師用書所帶來的局限和狹隘。

比如：大家一般都認為“分數的意義”就是課本上的一段話：“把單位‘1’平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數，叫作分數。”對此，有人提出這只是分數的一種定義，即份數定義。孫京紅、張丹等人在閱讀文獻、分析教材和實踐反思等的基礎上，提出從四個方面來完成對分數意義豐富性的認識，即比、測量、運算和商。所謂比，就是指部分與整體的關系和兩個量之間的（比的）關系。“測量”指的是可以將分數理解為分數單位累積的結果（即按照一定測量單位所測得的量）。例如： 里面有3個 ，就是用分數 作為單位度量3次的結果。“運算”主要指的是將對分數的認識轉化為一個運算的過程。“商”主要是指分數轉化為除法之后運算的結果，它使學生對于分數的認識由“過程”凝聚到“對象”，即分數也是一個數。這四個方面對于學生從多個角度認識分數都發揮著重要的作用。它們相輔相成，共同承擔著學生對于分數意義豐富性認識的建構。

這個例子說明，一些重要的數學內容、方法、思想，或者說“核心知識”（數學本質），學生需要經歷一個整體的建構過程，才能逐步感悟、理解和掌握。

2.由此及彼，用聯系的觀點豐富數學概念的意義世界。

新課標十分強調數學與現實生活的聯系，它提出：數學知識的教學，應注重學生對所學知識的理解，體會數學知識間的關聯，使他們有更多的機會從周圍熟悉的事物中學習和理解數學，體會到數學就在身邊，感受到數學的趣味和作用。

教學蘇教版六上《認識比》一課，筆者大膽改編教材例題，呈現三張長寬比不同的學校圖片。在學生分析最美圖片的長和寬之間的關系后，呈現兩張放大后的圖片：其中一張為按“倍數關系”放大的圖片，另一張為按“相差關系”放大的圖片。然后組織學生觀察比較：為什么按“倍數關系”放大就不變形，而按“相差關系”放大會變形呢？引導學生觀察圖形的屬性：按“相差關系”放大會改變圖形的比例關系。這樣，通過觀察、比較上述圖形和原圖形，學生深刻感悟到按“相差關系”放大圖形不合適，“比”的數學本質自然就凸顯出來了。

數學之間總存在著千絲萬縷的聯系。新課標指出：幫助學生理解類似的實質性聯系，是數學教學的重要任務。這就要求我們：在教學中，要善于用聯系的觀點看待數學，幫助學生溝通知識之間的實質性聯系，不斷豐富他們對數學本質意義的理解。

3.由近及遠，用發展的觀點探尋數學本質的源與流

學生在對數學知識的抽象、內化過程中，必然會出現一系列的“是什么”“為什么”“怎么做”的疑難困惑。這就需要我們對具體內容進行深入挖掘，一層一層地追問：隱藏在客觀事物背后的規律是什么？統攝具體數學知識與技能的數學思想方法是什么？用辨析的眼光來了解和分析數學本質的源和流，構建活的數學知識結構。

比如：教學蘇教版五下《解決問題的策略：轉化》，讓學生解決這樣一道計算題： + + + 的和是多少？如果把這個加法過程一直繼續下去，結果又會是多少？很多學生愣住了。有人猜測會不會是1，有人卻表示懷疑：不可能，因為不管你把多少片填進正方形里，總有一小塊是空的，總是填不滿的。

對于怎樣解決這個問題，學生爭論得很厲害。筆者引導學生思考：“我們在前面學習圓的面積時，曾經也遇到過類似的問題，還記得當時把圓分割成8等份和16等份后，大家就不愿意繼續分下去了，是什么原因嗎？”學生恍然大悟：圓如果等分越來越多的份數后，就能拼成一個近似的長方形。這里如果也一直這樣加下去，它們的和一定會接近1。這不就是數學的極限思想嗎？極限思想正是解決這一計算問題的本源所在。

這里，學生雖然沒有進行嚴謹的證明（暫時也不需要），但他們經歷了一種體驗性的和探索性的過程，積累了豐富的數學活動經驗，更重要的是，他們在解決問題的過程中經歷了數學思想的洗禮，不僅有轉化思想，還有遷移思想、極限思想……他們覺得數學不再是機械枯燥的，而是神奇有趣的。

綜上所述，教師要實現對數學知識本質的準確認識和把握，應該樹立整體的、聯系的、發展的觀點，深入分析教材細節，努力豐富數學意義，不斷探尋數學知識背后的本質屬性、數學規律和數學思想方法，以實現學生的知識與技能、數學思考和問題解決能力以及情感態度的和諧發展。

【參考文獻】

[1]義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]章建躍，張翼.對數學本質特征的若干認識[J].數學通報，2001（6）：3-5.

[3]孫京紅，張丹，李紅云.分數意義教學的整體設計[J].小學教學（數學版），2014（5）：11-14.

[4]魏光明.長程設計：關注階段性和一致性[J].江蘇教育（小學教學版），2014（5）：57-58.

注：本文獲2014年江蘇省“教海探航”征文競賽一等獎，有刪改。